2021届吉林省吉林市高三理数第三次调研测试试卷及答案

这是一份2021届吉林省吉林市高三理数第三次调研测试试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第三次调研测试试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 的子集的个数为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4



2.假设 是定义在 上的奇函数，且 ，那么 的值为〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 0                                           D. -1



3.直线 经过点 ，且与直线 垂直，那么直线 的方程为〔    〕
A.                 B. 

                C.                 D. 



4.?周髀算经?中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为〔    〕
A. 4.5尺                                   B. 3.5尺                                   C. 2.5尺                                   D. 1.5尺



5.假设圆 的半径为 ,圆心在第一象限,且与直线 和 轴都相切,那么该圆的标准方程是(   )
A. 
B. 


C. 
D. 



6.的展开式中 的系数为〔    〕
A. -6                                          B. -5                                          C. 9                                          D. 15



7.圆锥 的底面半径为 ，当圆锥的体积为 时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 



8.己知函数 的图象如下列图，那么函数 的图象可能是〔    〕

A. 
B. 


C. 
D. 



9. 是1和9的等比中项，那么圆锥曲线 的离心率为〔    〕
A.                                B. 或2                               C.                                D. 或



10.如图， 和 都是圆内接正三角形，且 ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 表示事件“豆子落在 内〞， 表示事件“豆子落在 内〞，那么 〔    〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
11. 、 为平面上的两个定点，且 ，该平面上的动线段 的端点 、 ，满足 ， ， ，那么动线段 所形成图形的面积为〔    〕
A. 36                                        B. 60                                        C. 72                                        D. 108



12.对于 恒成立，那么 的取值范围为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 



二、填空题
13. 是虚数单位，复数 ，那么 的虚部为________．
14.设 ，那么 按从小到大的顺序为________．
15.辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄〞“时代楷赘〞“全国道德模范〞称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄〞陈薇，“时代楷模〞毛相林、张连刚，林占禧，“全国道德模范〞张晓艳、周秀芳、张家丰，朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，那么不同的发言情况有________种.
16.己知圆 是圆 上任意点，假设 ，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，那么点 的轨迹方程是________﹔假设A是圆 所在平面内的一定点，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，那么点 的轨迹是:①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有________．
三、解答题
17. 的内角 所对的边分别为 ，假设向量 ， ，且
〔1〕求角
〔2〕假设 ，求角
18.2021年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚决如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，土地的使用面积 与相应的管理时间 的关系如下表所示:
土地使用面积 〔单位：亩〕
1
2
3
4
5
管理时间 〔单位：月〕
8
11
14
24
23
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的局部数据如下表所示;

愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
140
60
女性村民
40

参考公式：
参考数据：
〔1〕做出散点图，判断土地使用面积 与管理时间 是否线性相关;并根据相关系数 说明相关关系的强弱．(假设 ，认为两个变量有很强的线性相关性， 值精确到0.001) .
〔2〕假设以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，那么从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
19.如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 是 中点， 是 中点， 是 与 的交点，点 在线段 上.

〔1〕求证： 平面
〔2〕假设二面角 的余弦值是 ，求点 到平面 的距离
20.抛物线 上的点 到其焦点 的距离为 ，过点 的直线 与抛物线 相交于 两点.过原点 垂直于 的直线与抛物线 的准线相交于 点.
〔1〕求抛物线 的方程及 的坐标
〔2〕设 的面积分别为 ，求 的最大值.
21.函数 ， .
〔1〕求函数 的单调区间；
〔2〕、 ，使得不等式 成立，求 的取值范围；
〔3〕不等式 在 上恒成立，求整数 的最大值.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 〔 为参数〕，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
〔1〕求曲线 的直角坐标方程
〔2〕点 的直角坐标为 ， 与曲线 交于 两点，求
23.函数
〔1〕解不等式：
〔2〕记 的最小值为 ，假设正实数 满足 ，试求： 的最小值

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意 ，因此它的子集个数为4。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合交集的运算法那么，进而求出集合A和集合B的交集，再利用子集的定义，进而求出 的子集的个数 。
2.【解析】【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又因为 ，所以 是周期函数，周期为2，
所以 。
故答案为：C．

【分析】利用奇函数的性质得出， 再结合条件 结合周期函数的定义，得出函数的周期，再利用函数的周期性和， 进而求出函数值。
3.【解析】【解答】 直线 与直线 垂直， 设直线 的方程为 ，
直线 经过点 ， ，即 ，
直线 的方程为 。
故答案为：C

【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程，进而求出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线l的斜率，再利用直线 经过点 ，进而结合点斜式方程求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。
4.【解析】【解答】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列 ，设公差为d ， 由题意得：
，
解得：
所以 ，
所以 ，
即春分时节的日影长为4.5尺。
故答案为：A

【分析】利用条件结合等差数列的定义，将实际问题转化为等差数列的问题，再利用条件结合等差数列的通项公式，再解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列的通项公式，再利用代入法结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列第7项的值，从而求出实际问题中春分时节的日影长。
5.【解析】【解答】因为圆C的半径为1，圆心在第一象限且与直线 和 轴都相切，
所以圆心的纵坐标为1，设圆心坐标 ，那么 ，又因为 ,所以 ，
所以该圆的标准方程是 。
故答案为：C.

【分析】因为圆C的半径为1，圆心在第一象限且与直线 和 轴都相切，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，所以圆心的纵坐标为1，设圆心坐标 ，再利用点到直线的距离公式结合a的取值范围，从而求出a的值，进而求出圆的标准方程。
6.【解析】【解答】 的展开式通项为 ，且 ，
所以， 的展开式通项为 ，
由 ，可得 ，
因此， 的展开式中 的系数为 。
故答案为：C.

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的 的系数。
7.【解析】【解答】如图，根据圆锥的性质得 底面圆 ，

所以 即为母线与底面所成角，
设圆锥的高为 ，那么由题意，有
，所以 ，
所以母线的长为 ，
那么圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 。
故答案为：A

【分析】根据圆锥的性质得 底面圆 ，所以 即为母线与底面所成角，再利用圆锥的体积公式结合条件，进而求出圆锥的高与圆锥 的底面半径的关系，再利用勾股定理求出母线的长与圆锥 的底面半径的关系，再结合正弦函数的定义求出圆锥的母线与底面所成角的正弦值。
8.【解析】【解答】 的最大值为 ， ，那么最小值为 ， ， ，
最小正周期为 ，那么 ， ，即 ， ，
是减函数，向左平移 个单位得 的图象，只有A符合。
故答案为：A．

【分析】利用正弦型函数的图像确定正弦型函数的解析式，进而求出a,b的值，再利用对数函数的图象结合图象的平移变换，进而找出函数 可能的图象。
9.【解析】【解答】由 是 和 的等比中项，可得 ，
当 时，曲线方程为 ，该曲线为焦点在 轴上的椭圆，离心率 ，
当 时，曲线方程为 ，该曲线为焦点在 轴上的双曲线，离心率 。
故答案为：B.

【分析】由m是1和9的等比中项，再结合等比中项的公式，进而求出m的值，再利用分类讨论的方法结合椭圆和双曲线的定义，进而确定椭圆和双曲线的焦点的位置，再结合椭圆和双曲线的离心率公式，进而求出圆锥曲线 的离心率。
10.【解析】【解答】如下列图，作三条辅助线，
根据条件，这些小三角形全等， 包含 个小三角形，

同时又在 内的小三角形共有 个，
所以 ，
故答案为：D.

【分析】利用条件结合几何法，再利用条件概率公式，从而求出的值。
11.【解析】【解答】根据题意，建立如下列图的平面直角坐标系，那么 ， ，

设 ，所以 ， ，
由 得 ；又 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ；
因此，动点 在直线 且 上，即 ，
那么 扫过的三角形的面积为： ；
设点 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
因此，动点 在直线 且 上，所以 ，
那么 扫过的三角形的面积为： ；
所以动线段 所形成图形的面积为 。
故答案为：B

【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，进而求出点A,B的坐标，设 ，再利用向量的坐标表达求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示结合数量积的坐标表示，进而结合条件求出x的值，进而求出y的取值范围，因此，动点 在直线 且 上，即 ，从而结合三角形面积公式求出 扫过的三角形的面积，设点 ，再利用共线向量的坐标表示得出， ，因此，动点 在直线 且 上，所以 ，再结合三角形面积公式求出 扫过的三角形的面积，从而结合求和法求出动线段 所形成图形的面积。
12.【解析】【解答】由题得 恒成立，
因为函数 互为反函数，
所以原命题等价于 恒成立，
即 恒成立，
令 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 。
故答案为：D

【分析】由题得 恒成立，因为函数 互为反函数，再利用反函数的性质，所以原命题等价于 恒成立，即 恒成立，令再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 的虚部为-1。
故答案为：-1。

【分析】利用复数的乘除法运算结合复数求模公式，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
14.【解析】【解答】由指数函数性质知 ，由对数函数性质得 ， ，所以c＜b＜a。
故答案为：c＜b＜a。

【分析】利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数与对数的大小关系比较，进而比较出a,b,c的大小。从而得出 按从小到大的顺序。
15.【解析】【解答】从所有先进人物代表选出两位荣誉称号不同的代表给全国人民拜年，不同的发言情况有3类：
⑴2人来自“人民英雄〞“时代楷赘〞有 种；
⑵2人来自“人民英雄〞“全国道德模范〞有 种；
⑶2人来自“时代楷赘〞“全国道德模范〞有 种；
所以6+8+24=38种。
故答案为：38。

【分析】利用条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而求出不同的发言情况种数。
16.【解析】【解答】由圆 那么圆心 ，半径r=4，因为线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，如图〔1〕示：

所以 ， 所以 ，符合椭圆的定义，所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴为4 的椭圆，故 ,所以点 的轨迹方程是 ；
〔1〕假设点A在圆C内不同于点C处，如图〔1〕所示，那么有 ，符合椭圆的定义，故点 的轨迹是以 为焦点，长轴为4 的椭圆，所以③正确；
〔2〕假设点A与C重合，如图〔2〕所示，那么有 ，符合圆的定义，故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径 的圆，所以②正确；
〔3〕假设点A在圆C上，如图〔3〕所示，那么由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C,故Q与C重合故点 的轨迹一个点，所以①正确；

〔4〕假设点A在圆C外，如图〔4〕所示，那么 ，所以 ，故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为4的双曲线的一支，所以④不正确；

〔5〕点A不管在什么位置，点 的轨迹都不可能是抛物线，故⑤不正确。
故答案为： ；①②③。

【分析】由圆 那么圆心 ，半径r=4，因为线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，所以 ， 所以 ，再利用椭圆的定义，从而求出点 的轨迹方程；再利用条件结合分类讨论的方法，进而结合圆锥曲线的定义，从而求出点 的轨迹。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标运算，进而求出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值
〔2〕利用条件结合正弦定理，进而求出角A的正弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件画出散点图，再利用相关系数判断出管理时间 与土地使用面积 线性相关性较强。
〔2〕利用条件结合古典概型求概率公式，进而求出该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性树民的概率，进而求出随机变量X的取值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕 连结 ，设 ，连结 ， 再利用条件推出线线平行，再利用线线平行推出线面平行，即 面 ， 因为四边形 是平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，所以 面 ，再利用线面平行证出面面平行，再利用面面平行的性质定理，进而证出线面平行。
〔2〕 以A为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值，再利用二面角 的余弦值是 ， 进而结合数量积公式求出点 到平面 的距离。
20.【解析】【分析】〔1〕利用抛物线 上的点 到其焦点 的距离为 ，再结合抛物线的定义，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程，再结合抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点的坐标。
〔2〕 设 ，直线 斜率一定存在，设直线 方程为 ， 再利用过点 的直线 与抛物线 相交于 两点，联立二者方程结合韦达定理和抛物线的准线方程，从而过 作准线的垂线与准线分别交于 ，与 轴分别交于 ， 再利用三角形的面积公式和四边形的面积公式，再结合作差法求出 的面积，再利用当 时，直线 方程为 ，那么 得 ，即 ，所以 ，因为，那么 ，设 ，所以令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出 的最大值。
21.【解析】【分析】〔1〕利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数 的单调区间。
〔2〕 由〔1〕知，函数 ， 、 ，使得不等式 成立，等价于不等式 在 时有解，即不等式 在 时有解，设 ， ，再利用x的取值范围结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，从而求出实数a的取值范围。
〔3〕因为不等式 在 上恒成立， 所以 ， 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而等价于 ， 令 ，其中 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，从而结合m的取值范围，进而求出整数 的最大值。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出曲线 的直角坐标方程。
〔2〕利用参数方程与普通方程的转化方法求出直线的普通方程，再利用韦达定理结合条件，再结合两点距离公式和弦长公式，进而求出 的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出不等式的解集。
〔2〕利用条件结合绝对值三角不等式，进而求出函数 的最小值为 ， 再利用正实数 满足 ，结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。