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第五讲 三角形及其应用.ppt
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这是一份第五讲 三角形及其应用.ppt，共24页。PPT课件主要包含了三角形的边角关系，基础知识回顾，三角形的分类，不等边，三角形全等的性质，对应边，对应角，一角所对的边，直角边，证明外心定理等内容，欢迎下载使用。
(1)三角形三个内角的和等于____°,三个外角和为____°；一个外角等于和它不相邻的两个内角的____；一个外角大于任何一个和它不相邻的______；(2)三角形的任意两边之和_____第三边,任意两边之差______第三边.
(1)按角分类：_______三角形、________三角形、______三角形；(2)按边分类：_______三角形,______三角形、______三角形.
全等三角形的________相等，__________相等
(1)两边及其_______对应相等的两个三角形全等(2)两角及其_______对应相等的两个三角形全等(3)两角及其_______________对应相等的两个三角形全等(4)_______边对应相等的两个三角形全等(5)斜边和一条_______对应相等的两个直角三角形全等
4.三角形全等的判定：
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心．
三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′ 的中垂线；同理BE、CF也分别为 A′C′、A′B′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证．
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, 过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID． 因此I也在∠C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点．
三角形三边的关系（选择、填空为主）三角形内角和定理、外角与内角的关系、外角和定理（选择、填空及简单的计算题为主）三角形分类（选择为主）三角形的中线、高线、角平分线（选择及简单的计算）直角三角形角的关系、边的关系（计算、填空、证明题为主）等腰三角形、等边三角形的性质（填空、计算、证明题为主）全等三角形的判定和性质（简答题，证明题为主）
例1．解答下列各题 (1)长度分别为10cm，12cm，22cm的三条线段是否能构成三角形。
(2)已知三角形两边长分别为7和5，求第三边x的取值范围。
解： (2)由于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 故三角形中任意两边之差＜x＜两边之和， 因此第三边2＜x＜12，
(3)已知等腰三角形两边长分别为8cm，13cm。求这个三角形的周长。
解：①当8cm长的一边为底边时，腰长就为13， 这时三角形三边分别为8，13， 13， 而8＋13＝21＞13即两较小边之和大于第三边故一定能组成三角 形， 此时周长为8＋13＋13＝34cm。 ②当13cm长的边为底边时，腰长8cm， 这时三边分别为：8、8、13， 而两较小边之和大于第三边，即8＋8＞13， 此时也能组成三角形，周长为 8＋8＋13＝29cm。 所以，这个三角形的周长为29cm或34cm。
(4)三角形三内角度数之比为∠A:∠B:∠C＝3:4:5，求各内角度数。
解：(4)设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x° ∵∠A＋∠B＋∠C＝180° ∴3x＋4x＋5x＝180 ∴ x＝15 ∴∠A＝45° ∠B＝60° ∠C＝75°
（5）如果a,b,c表示ΔABC的三边长，那么
=___________。
（6）等腰三角形有一个角 50°， 求另外两个角的度数分别为 ______________________.
50°, 80°或 65°, 65°
（7）等腰三角形有一个角是100°， 求另外两个角的度数分别为___________.
（9）如图,AD与BC相交于点O, ∠B=40°,∠D=70°, ∠C=30°， 则 ∠A= ____.
（8）如图, AC⊥DC ，∠ABD=130°, 则 ∠A = ______.
如图，在△ABC 中，BF与CE交于点D.
(3)请用几何道理说明为何 ∠2 一定大于∠A.
(1)图中共有________个三角形.
(2)∠BDC是_____的内角,是_____________的外角.
★ 三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角。
解：∵ ∠2 是△DCF的外角
∴ ∠2 ＞ ∠1
∵ ∠1是△AFB的外角
∴ ∠1 ＞ ∠A
∴ ∠2 ＞ ∠A
若BF和CE分别平分∠ABC 和∠ACB.
如图，在△ABC 中，BF与CE交于点D,
(2)已知∠A = 40°,求∠BDC的度数.
已知∠BDC=130°,求∠A的度数.
★三角形的三个内角和等于180°.
如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，他叔叔想了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D,使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；(1)DE=AB吗？请说明理由；(2)如果DE的长度是8m,则AB的长度是多少？
例一：如图所示，AD为三角形ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE=FE.求证：BF=AC
例二：已知，如图，在三角形ABC中，AB
如果有与角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的边相交构造等腰三角形
（1）如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D， 求证：BC＝AB＋CD。
（2）如图，D为等边△ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝120°，M、N分别 在AB、AC上，若BM＋CN＝MN，求证： ∠MDN＝60°。
(1)三角形三个内角的和等于____°,三个外角和为____°；一个外角等于和它不相邻的两个内角的____；一个外角大于任何一个和它不相邻的______；(2)三角形的任意两边之和_____第三边,任意两边之差______第三边.
(1)按角分类：_______三角形、________三角形、______三角形；(2)按边分类：_______三角形,______三角形、______三角形.
全等三角形的________相等，__________相等
(1)两边及其_______对应相等的两个三角形全等(2)两角及其_______对应相等的两个三角形全等(3)两角及其_______________对应相等的两个三角形全等(4)_______边对应相等的两个三角形全等(5)斜边和一条_______对应相等的两个直角三角形全等
4.三角形全等的判定：
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心．
三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′ 的中垂线；同理BE、CF也分别为 A′C′、A′B′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证．
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, 过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID． 因此I也在∠C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点．
三角形三边的关系（选择、填空为主）三角形内角和定理、外角与内角的关系、外角和定理（选择、填空及简单的计算题为主）三角形分类（选择为主）三角形的中线、高线、角平分线（选择及简单的计算）直角三角形角的关系、边的关系（计算、填空、证明题为主）等腰三角形、等边三角形的性质（填空、计算、证明题为主）全等三角形的判定和性质（简答题，证明题为主）
例1．解答下列各题 (1)长度分别为10cm，12cm，22cm的三条线段是否能构成三角形。
(2)已知三角形两边长分别为7和5，求第三边x的取值范围。
解： (2)由于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 故三角形中任意两边之差＜x＜两边之和， 因此第三边2＜x＜12，
(3)已知等腰三角形两边长分别为8cm，13cm。求这个三角形的周长。
解：①当8cm长的一边为底边时，腰长就为13， 这时三角形三边分别为8，13， 13， 而8＋13＝21＞13即两较小边之和大于第三边故一定能组成三角 形， 此时周长为8＋13＋13＝34cm。 ②当13cm长的边为底边时，腰长8cm， 这时三边分别为：8、8、13， 而两较小边之和大于第三边，即8＋8＞13， 此时也能组成三角形，周长为 8＋8＋13＝29cm。 所以，这个三角形的周长为29cm或34cm。
(4)三角形三内角度数之比为∠A:∠B:∠C＝3:4:5，求各内角度数。
解：(4)设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x° ∵∠A＋∠B＋∠C＝180° ∴3x＋4x＋5x＝180 ∴ x＝15 ∴∠A＝45° ∠B＝60° ∠C＝75°
（5）如果a,b,c表示ΔABC的三边长，那么
=___________。
（6）等腰三角形有一个角 50°， 求另外两个角的度数分别为 ______________________.
50°, 80°或 65°, 65°
（7）等腰三角形有一个角是100°， 求另外两个角的度数分别为___________.
（9）如图,AD与BC相交于点O, ∠B=40°,∠D=70°, ∠C=30°， 则 ∠A= ____.
（8）如图, AC⊥DC ，∠ABD=130°, 则 ∠A = ______.
如图，在△ABC 中，BF与CE交于点D.
(3)请用几何道理说明为何 ∠2 一定大于∠A.
(1)图中共有________个三角形.
(2)∠BDC是_____的内角,是_____________的外角.
★ 三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角。
解：∵ ∠2 是△DCF的外角
∴ ∠2 ＞ ∠1
∵ ∠1是△AFB的外角
∴ ∠1 ＞ ∠A
∴ ∠2 ＞ ∠A
若BF和CE分别平分∠ABC 和∠ACB.
如图，在△ABC 中，BF与CE交于点D,
(2)已知∠A = 40°,求∠BDC的度数.
已知∠BDC=130°,求∠A的度数.
★三角形的三个内角和等于180°.
如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，他叔叔想了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D,使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；(1)DE=AB吗？请说明理由；(2)如果DE的长度是8m,则AB的长度是多少？
例一：如图所示，AD为三角形ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE=FE.求证：BF=AC
例二：已知，如图，在三角形ABC中，AB
如果有与角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的边相交构造等腰三角形
（1）如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D， 求证：BC＝AB＋CD。
（2）如图，D为等边△ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝120°，M、N分别 在AB、AC上，若BM＋CN＝MN，求证： ∠MDN＝60°。
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