人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数(Ⅰ)综合与测试课后作业题
展开《指数函数和对数函数》全章复习与巩固
【学习目标】
1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算.
2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点.
3.理解对数的概念及其运算性质.
4.重点理解指数函数、对数函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.
5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.
6.知道指数函数与对数函数互为反函数(a>0,a≠1).
【知识框图】
【要点梳理】
要点一:指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中
当为奇数时,正数的次方根为正数,负数的次方根是负数,表示为;当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.
式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数.
2.n次方根的性质:
(1)当为奇数时,;当为偶数时,
(2)
3.分数指数幂的意义:
;
要点诠释:
0的正分数指数幂等于0,负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质:
(1) (2) (3)
要点二:指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.
2.指数函数函数性质:
函数 名称 | 指数函数 | |
定义 | 函数且叫做指数函数 | |
图象 | ||
|
| |
定义域 | ||
值域 | ||
过定点 | 图象过定点,即当时,. | |
奇偶性 | 非奇非偶 | |
单调性 | 在上是增函数 | 在上是减函数 |
函数值的 变化情况 | ||
变化对图象的影响 | 在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小. |
要点三:对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化:.
2.几个重要的对数恒等式
,,.
3.常用对数与自然对数
常用对数:,即;自然对数:,即(其中…).
4.对数的运算性质
如果,那么
①加法:
②减法:
③数乘:
④
⑤
⑥换底公式:
要点四:对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域.
2.对数函数性质:
函数 名称 | 对数函数 | |
定义 | 函数且叫做对数函数 | |
图象 | ||
|
| |
定义域 | ||
值域 | ||
过定点 | 图象过定点,即当时,. | |
奇偶性 | 非奇非偶 | |
单调性 | 在上是增函数 | 在上是减函数 |
函数值的 变化情况 | ||
变化对图象的影响 | 在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向看图象,逐渐减小. |
要点五:反函数
1.反函数的概念
设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成.
2.反函数的性质
(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
(3)若在原函数的图象上,则在反函数的图象上.
(4)一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.
【典型例题】
类型一:指数、对数运算
例1.化简与计算下列各式
(1);
(2);
(3).
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂,而小数也要化为分数为好.
【答案】(1);(2)100;(3).
【解析】
(1)原式=
=1+=;
(2)原式=
=
=100
(3) 原式=
.
【总结升华】化简要求同初中要求,注意结果形式的统一,结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母又含有负指数;一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数位分数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的;
举一反三:
【变式一】化简下列各式:
(1); (2).
【答案】(1)-27;(2).
【解析】(1)
;
(2)
.
例2.已知:,求:的值.
【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法.
【答案】2
【解析】
∴ 当时,.
【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系,同时乘法公式要熟练,直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算. 解题时,要注意运用下列各式.,;
例3.计算
(1) ; (2);
(3).
【答案】(1);(2)1;(3)3;(4)14.
【解析】(1)原式=;
(2)原式=
=
=1-+=1
(3)原式=
=
=2+=3;
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧.
【变式1】=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】=.
【变式2】(1);(2).
【答案】(1)2;(2).
【解析】(1) 原式
;
(2) 原式
.
类型二:指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例4.已知函数则( )
A.4 B. C.-4 D.-
【答案】B
【解析】,.
【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值.
举一反三:
【变式一】已知函数若,则实数等于( ).
A. B. C. 2 D. 9
【答案】C.
【解析】,由,则有.,,选.
例5.(2016 湖南岳阳模拟)若函数y=f(x)的定义域是[2,4],则的定义域是( )
A. B.[4,16] C. D.[2,4]
【思路点拨】令,使t满足y=f(x)的定义域中x的取值范围相同,求出的定义域即可.
【答案】C
【解析】∵,令,
∴,
∵函数y=f(x)的定义域是[2,4],
∴y=f(t)的定义域也为[2,4],即2≤t≤4,
∴有,解得:,
∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围,
∴的定义域为,
即:.
故选C.
【总结升华】本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围,运用整体代换(换元法)即可迎刃而解.
【高清课堂:幂指对综合377495 例4】
例6.函数的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先作出的图象,然后作出这个图象关于轴对称的图象,得到的图象,再把的图象右移一个单位,得到的图象,故选B
【高清课堂:幂指对函数综合 377495 例1】
例7. 函数的单调递增区间是( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(4,+∞) D.(-∞,2)
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数,外层函数是对数函数的复合函数,其单调性由这两个函数的单调性共同决定,即“同增异减”.
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的,是减函数,在上单调递增,在上单调递减,由对数函数的真数必须大于零,即,解得或,所以原函数的单调递增区间是,故选D.
类型三:综合问题
例8.已知函数为常数)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若a=2,试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.
(3)若函数y=f(x)是增函数,求a的取值范围.
【思路点拨】(1)利用真数大于零求解(2)利用定义去证明函数的单调性
【答案】(1);(2)f(x)为增函数;(3)a>1.
【解析】(1)由
∵a>0,x≥0
∴f(x)的定义域是.
(2)若a=2,则
设 , 则
故f(x)为增函数.
(3)设
①
∵f(x)是增函数,
∴f(x1)>f(x2)
即 ②
联立①、②知a>1,
∴a∈(1,+∞).
【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可.
举一反三:
【变式1】已知.
(1)求定义域;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)解方程.
【答案】(1)当时,定义域为;当时,定义域为.
(2)当时,函数在上单增;当时,函数在上单增.
(3).
【解析】(1)由,得,
当时,定义域为;当时,定义域为.
(2)当时,设,则
,
当时,函数在上增函数;同理可证,当时,函数在上也是增函数.
(3)由,得,推出,所以,
,,,
,(舍),.
例9.已知函数为奇函数,函数.
(1)求函数的定义域;
(2) 当时,关于的不等式有解,求得取值范围.
【解析】(1)由为奇函数得
即
解得:,经检验符合题意.
的定义域为;
(2)不等式等价于
即在有解,故只需
函数在区间单调递增,
的取值范围是.
举一反三:
【变式】已知是上的单调递增函数,求实数的取值范围.
【解析】根据函数是上的单调递增函数,可得:
每一段均为增函数,且当时,左段函数值不大于右端函数值,
解得:
故实数的取值范围为.
人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.3 基本初等函数的导数达标测试: 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.3 基本初等函数的导数达标测试,共15页。试卷主要包含了下列各式中正确的个数是,已知f=x,则f'=,已知f=ln x,则f'的值为,求下列函数的导数等内容,欢迎下载使用。
数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步练习题: 这是一份数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步练习题,共8页。试卷主要包含了函数y=1x在x=4处的导数是,下列求导运算正确的是,求下列函数的导数等内容,欢迎下载使用。
高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数(Ⅰ)综合与测试同步练习题: 这是一份高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数(Ⅰ)综合与测试同步练习题,共6页。