2021学年7.3.3 余弦函数的性质与图修学案

这是一份2021学年7.3.3 余弦函数的性质与图修学案，共5页。学案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acs(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【教学重难点】
会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
【教学过程】
一、问题导入
研究余弦函数y=csx的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，研究余弦函数的性质.
二、新知探究
1．用“五点法”作余弦型函数的图像
【例1】用“五点法”作函数y＝2＋cs x，x∈[0,2π]的简图．
[思路探究]在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
[解]列表：
描点连线，如图
【教师小结】
（1）“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．
（2）列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
2．求余弦型函数的单调区间
【例2】求函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递减区间．
[思路探究]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))化为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))形式，故只需求y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间即可．
[解]y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
令z＝x－eq \f(π,6)，则y＝cs z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7,6)π，k∈Z.
故函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递减区间为2kπ＋eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(7,6)π，k∈Z.
【教师小结】
（1）求形如y＝Acs(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
（2）具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
3．有关三角函数的最值问题
【例3】已知函数y1＝a－bcs x的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
[思路探究]欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
[解]∵函数y1的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，
当b>0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2)，,a－b＝－\f(1,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝1.))
当b<0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝\f(3,2)，,a＋b＝－\f(1,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－1.))
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.
函数的最大值均为2．
【教师小结】
（1）对于求形如y＝acs x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cs x的范围．
（2）求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
4．正、余弦函数的对称性
[探究问题]
观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示]正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示]正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝eq \f(π,2)＋kπ，(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．
如何求y＝Acs(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．
【例4】已知函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))).
（1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
（2）把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
[解]（1）令2x＋eq \f(2π,3)＝kπ，k∈Z，
解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)(k∈Z)．
令k＝0，x＝－eq \f(π,3)；
令k＝1，x＝eq \f(π,6).
∴函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝eq \f(π,6).
（2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x－φ＋\f(2π,3)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－2φ)).
∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2φ))＝0.
∴eq \f(2π,3)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
解得φ＝eq \f(π,12)－eq \f(kπ,2)(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝eq \f(π,12).
∴φ的最小正值是eq \f(π,12).
【教师小结】
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
1fx＝Asinωx＋φ或Acsωx＋φ的图象关于x＝x0对称⇔fx0＝A或－A.
2fx＝Asinωx＋φ或Acsωx＋φ的图象关于点x0，0中心对称⇔fx0＝0.
三、课堂小结
1．余弦曲线和正弦曲线的关系
2．余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3．余弦函数的奇偶性
(1)余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
4．余弦函数单调性的说明
(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．余弦函数最值的释疑
(1)明确余弦函数的有界性，即|cs x|≤1.
(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acs z的形式最值.
四、课堂检测
1．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )
A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝sin 2x
C．y＝cs eq \f(x,4)D．y＝cs 4x
D [∵T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,2)，∴ω＝4．]
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2 019,2)π))是( )
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
B [∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2 019,2)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)＋1 009π))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，∴函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2 019,2)π))是偶函数．]
3．函数y＝cs(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________．
[0，π] [y＝cs(－x)＝cs x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．用五点法作出函数y＝1－cs x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
描点连线，如图．
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
2＋cs x
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cs x
1
0
－1
0
1
1－cs x
0
1
2
1
0