第08讲数学思想选讲（一）（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）教案

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数学思想
数学思想一：分类思想
【例1】（2020·嘉定区第一中学高一月考）★★★☆☆
已知集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）4；（2）或.
【详解】，
（1）因为，所以，
所以和是的两个实根，
所以，即.
（2）因为，所以，所以或或或，
当时，无解，所以，即，
当时，有且只有一个实根，所以无解，
当时，有且只有一个实根，所以无解，
当时，有2个实根和，所以，即.
综上所述：实数的取值范围是或.
【例2】（2020·南洋模范中学高一月考）★★★☆☆
关于x的方程的解为不大于2的实数，则m的取值范围________.
【答案】
【详解】
由可得：
，
若，不成立；
，解得，不成立；
若且时，则，
即，可化为，
解得或，
综上，m的取值范围为.
故答案为：
【例3】（2016·控江中学）★★★★☆
设常数，函数，．
（1）当时，求函数的值域．
（2）若函数的最小值为，求的值．
【答案】（1）；（2）.
（1）时，，
令，，，，，即，，
则，，，
∵在，递增，且，
∴，
故的值域是.
（2）函数，，，
令，，，，，即，，
故，，，
当时，在，递增，
的最小值是，
解得：，符合题意；
当时，在，递减，在，递增，
故的最小值是，
解得：，不合题意；
当时，在，递减，
的最小值是，
解得：，不合题意；
综上所述：．
【例4】（2020·新场中学高一月考）★★★★☆
设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由；
（3）满足条件的集合S总共有多少个？
【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个.
【详解】
解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则；
若集合中有两个元素，则符合条件；
若集合中有三个元素，则符合条件.
（2）存在，一共有四个：
或或或.
（3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，
当集合中元素的个数为偶数时：
含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个；
含有个元素时，则共有个，
所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个，
同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个；
由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个，
综上所述，符合条件的共有个.
【练习】（2020·上海黄浦区·格致中学高一月考）★★★☆☆
（2020·上海黄浦区·格致中学高一月考）已知集合.
（1）若A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A；
（2）若A至多有两个子集，试求实数k的取值范围.
【答案】（1），；，；（2）．
【详解】
（1）①当时，方程化为：，解得，
此时集合，满足题意；
②当时，方程有一个根，
，
解得：，
此时方程为，解得，
集合，符合题意，
综上所述，时集合；时集合；
（2）至多有两个子集，集合中元素个数最多1个，
①当时，一元二次方程最多有1个实数根，
，
解得，
②当时，由（1）可知，集合符合题意，
综上所述，实数的取值范围为：．
数学思想二：数形结合
【例5】（2020复旦附中高一期中）★★☆☆☆
全集是不大于的素数，若，，，则集合___________.
【答案】
【详解】
因为全集是不大于的素数，所以，
因为，所以，
因为，，
所以可绘出韦恩图，如图所示：
由韦恩图可知，，
故答案为：.
【例6】（2015·长宁区·延安中学高一期中）★★★☆☆
已知关于x的不等式（）恰有5个整数解，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】
，
，
即，
若不等式恰有5个整数解，
则这5个整数解为0，1，2，3，4，
则满足，
即，
解得，
故答案为：
【例7】（2021·行知中学高一期末）★★★☆☆
设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】
设直线的方程为，由，得，所以点，
由，得，所以点，从而，
如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，所以，，
则点，
因为点在函数的图象上，则，
解得，所以点的纵坐标为.
故答案为：.
【练习】（编者精选）★★★☆☆
已知全集，，且，求实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】
解：由题知，，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【练习】（编者精选）★★★★☆
已知函数，设，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
画出函数图象如图所示，
由图象可知要使，
同时成立，
则.
，
所以.
故答案为：.
1、（2017·上海交大附中高一月考）★★★☆☆
，则满足的的取值范围__________．
【答案】
【详解】
解：，
结合幂函数图像可得：
故答案为
2、（2018·新中高级中学高一期末）★★★☆☆
已知集合，（其中为常数且）.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
【详解】
（1）由题知：
即：
（2），
整理得：.
即：.
因为，所以.
①当时，，符合.
②当时，，
因为，所以，即，所以.
③当时，，
因为，所以，即，所以.
综上：