高中数学沪教版高中一年级 第一学期4.2指数函数的图像与性质教学设计

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知识梳理与应用
主要考察一：函数的零点与零点存在定理
零点：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.
零点存在性定理：
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内一定有零点.
基础1：零点存在定理的应用
【例1】（2018·上海市金山中学高一月考）★☆☆☆☆
在下列给出的区间中，函数存在零点的区间是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
则；；；；
根据零点存在定理得到在存在零点.
故选.
【练习】（2016·上海虹口区·上外附中高一期末）★☆☆☆☆
若是函数的零点，则属于区间（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得，
所以，即.
又为上的减函数，
由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点.
故选：C.
基础2：二分法的应用
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
【例2】（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）★★☆☆☆
用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得到下表
若精确到0. 1，至少运算次，则为___________.
【答案】5. 3.
【详解】
因为，
满足.
且区间长度
所以，，.
故答案为：.
【练习】（2021·上海松江区·高一期末）★☆☆☆☆
用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________．
【答案】
【详解】
，，，，
因此，的下一个有零点的区间是.
故答案为：.
主要考察二：图像法解决函数零点分布问题
综合1：根据图像确定零点个数
【例3】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆
函数有________个零点.
【答案】4
【详解】
函数的零点个数，
等价于与的交点个数，
作出与的图像，如图：

由图可知已有个交点，
当时，指数函数的增长速度比幂函数的增长速度快，
故在时还有一个交点，
所以函数有4个零点.
故答案为：4
【练习】（2021·浦东新区·上海师大附中高三月考）★★★★☆
已知函数，则关于x的方程在上的根的个数为（ ）.
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】
根据题意得，，分别作出与的图象，
则根据图象可知，关于x的方程在上的有4个根.
故选：B.
综合2：复合函数零点个数问题
常见形式：,解析式较为复杂，但图像可画，求的零点相关问题.
对应思路：令，分别画出的图像，根据 的图像可知对应的，再由的图像可知对应的.
【例4】（2020·上海市金山中学高一月考）★★★★☆
已知函数，则方程的不相等的实数根的个数为（ ）.
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【详解】
方程可解出或
方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和，
方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同，
如图：
的图象与函数的图象的交点个数有个
的图象与函数的图象的交点个数有个，
故方程有个解，
故选：A
【练习】（2018·上海格致中学）★★★★☆
已知函数, 则函数的零点有.
A．个B．个C．个D．多于个
【答案】C
【详解】
由题得,则可画出图像
若,令 则,由图得,
由图像得与与共有3个交点.即有三个零点.
故选C.
综合3：已知零点个数，求参数
常见形式：零点个数或方程的解个数已知，求参数取值范围.
对应思路：
移项：先进行恒等变形（最常见是移项）转化为两个图像易画的函数；
画图：在同一坐标系中画出两个函数的图像，含有参数（往往是直线）的函数画出一个初始位置；
变换：根据参数平移或旋转其中较简单的那个图形（往往是直线），找出满足题目的参数范围（注意临界位置）.
【例5】（2019秋•青浦区高一上期末8期末）★★★☆☆
函数恰有两个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【解答】
移项：即，转化为与的图像交点有两个，
画图：函数的图象如图所示，
变换：变化时，相当于上下平移，
函数恰有两个零点，
或．
故答案为：或．
【例6】（2017•松江区一模11）★★★★☆
已知函数，若在其定义域内有3个零点，则实数 ．
【答案】
【解答】
移项：若，即，转化为和有3个交点，
画图：画出函数和的图像，如图示：
变换：变化时，相当于绕原点旋转，
由图可知，符合题意的为大于0到第二张图的临界条件为止，
临界条件： 有唯一解，两边平方后解得
由图易知，故答案为.
【例7】（2019•虹口区一模）★★★★☆
已知函数，函数，若函数恰好有2个不同零点，则实数的取值范围是 .
A． B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【解答】
移项：，而图像比较难画，
移项转化为，
而，
画图：作函数与函数的图象如下，
，
变换：不合题意；
时，开口向上，由0开始增大，开口相应变小，
满足题意的临界状态是与中间段相切的时候，
即有两相等实根，由判别式得，故；
时，开口向下，由0开始减小，则开口相应变小，
所有的都满足题意；
所以实数的取值范围是，，，
故选：．
【练习】（2021·上海复旦附中高一期末）★★★★☆
已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为________.
【答案】
【详解】
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
令，可得
当时，；当时，；
，作出函数的图像，如图所示
由图可知，在单调递增，在单调递减，
若函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，故，故答案为：
【练习】（2021·上海黄浦区·高三一模）★★★★☆
已知，函数的定义域为，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）.
A．B．或
C．D．
【答案】A
【详解】
令，利用参数分离法得，令
函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数的图像与直线在区间上有两个交点，
作出函数的草图，如图所示：
由图可知，的取值范围是：
故选：A
【练习】（2019•吴淞中学高一上期末12）★★★★★
已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解答】
移项：转化为，即看作和的交点.
画图：
本题的参数在较复杂的中，给定初始值，此时，
这里，学过周期性的同学应该知道这是周期性，
没学过的也可以理解成，
区间和区间中，横坐标相差1的时候，纵坐标相同，也就是
区间上的图像可以由区间上的图像向左平移一个单位得到.
变换：
上下平移难度比较大，但可以用相对运动的观点，
向下（上）平移相当于向上（下）平移，
向下平移时可知和一直有且仅有2个交点，
向上平移至经过点时， 和有且仅有2个交点，
向上平移超过2个单位时，和有且仅有1个交点，
因此，相当于向下平移不超过2个单位时，方程有且仅有两个解.
即.
1、（2021·华东师范大学第三附属中学高三月考）★★★★☆
已知函数，下列关于函数零点个数的四个判断，正确的是___________.
①当时，有3个零点；
②当时，有2个零点；
③当时，有4个零点；
④当时，有1个零点.
【答案】①②
【分析】
由可得，利用换元法将函数分解为和
，作出函数的图象，利用数形结合即可得结论.
【详解】
由可得：，
设，则方程等价于，
若，作出函数的图象如图，
此时方程有两根，其中，
由有一解，
由有两解，此时共有个解，即函数有个零点，
当时，有3个零点；
当时，作出函数的图象如图，
此时方程有一根，
由有两解，即函数有个零点，
所以当时，有2个零点；
故答案为：①②.