高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.1 空间几何体与斜二测画法导学案及答案

11.1.1 空间几何体与斜二测画法

【学习重点】

空间几何体的概念、斜二测画法画平面、空间图形的直观图，直观图的还原与计算

【学习难点】

直观图的还原与计算

引入：

问题1:空间几何体 

生活中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑一个物体占有的空间的         和         ，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.

除了长方体外，我们以前还接触过的几何体还有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

问题2：斜二测画法

例1.如图所示是梯形ABCD，下面用斜二测画法来作出这个梯形水平放置时的直观图.

【方法提炼】

一般地，用斜二测画法作出水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下：

（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的轴和轴，使得它们正方向的夹角为                    ；

（2）平面图形与x轴平行（或重合）的线段画成                 ，且长度为原来长度的              ; 平面图形与y轴平行（或重合）的线段画成与                ，且长度为原来长度的              ;

（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.

注：用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴与y轴平行（或重合）的线段.

【知识点巩固】

1.平行四边形的直观图可能是梯形.(   )

2.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x′Oy′时，∠x′Oy′必须为45°.(    )

3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是(　　)

A.原来相交的仍相交 

B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行 

D.原来共点的仍共点

【变式训练】

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.

【知识点巩固】

1.如图所示为一个平面图形的直观图(A′D′∥B′C′)，则它的实际形状四边形ABCD为(　　)

A.平行四边形    B.梯形

C.菱形    D.矩形

2.在斜二测画法中，原图形中两条相等的线段，直观图中对应的线段还相等吗？

3.矩形的直观图的面积与原图形面积有怎样的关系？

例2.下面我们来画一个水平放置的长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图.

【方法提炼】

一般地，用斜二测画法作立体图形直观图地步骤如下：

（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直地x轴与y轴，作出水平平面上图形地直观图（保留轴与轴）

（2）在立体图形中，过x轴与y轴地交点取z轴，并使z轴         于x轴与y轴，过轴与轴的交点作z轴对应的轴，且轴          于轴；

图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度          ，连接有关线段.

（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.

【变式训练】

用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.

需要注意的是，立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的。例如水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆，因此，圆柱与球的直观图分别如图所示.

例3.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　)

A.a2    B.2a2

C.a2    D.2a2

【方法提炼】

由直观图还原平面图形关键有两点：

(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的           倍；

(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，变换确定其在xOy中的位置.

若平面图形的面积为S原，用斜二测画法得到的直观图面积为S直，则S直＝             

【变式训练】

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(　　)

A.a2    B.a2 

C.a2    D.a2

1.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是(　　)

A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形

B.正方形的直观图为平行四边形

C.梯形的直观图可能不是梯形

D.正三角形的直观图一定为等腰三角形

2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　)

A.2    B.

C.2    D.4

3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.

4.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.