数学必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像教学设计

7.3.2 正弦型函数的性质与图象（2）

本节课是人教B版必修3《三角函数》一章第二大节的第3课时，前一节课主要讲述了正弦函数图象的画法（五点法）及的实际意义，会用五点法画出函数的图象，观察参数 对函数图象变化的影响，掌握变换法作图。本节课的主要内容是从多角度理解正弦型函数的单调性，对称轴，对称中心，和值域，能从数和形两个角度理解正弦函数与正弦型函数的本质联系；会用换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解，体会转化划归的思想。在内容和思想逻辑上这两节是相辅相成、紧密联系的，前一节是后一节的基础，后一节是前一节的延续和深化，这两节内容又是整个三角函数内容的重中之重。通过重点学习正弦函数和正弦型函数，可以是学生进一步熟悉和掌握研究函数的过程和方法。

【教学重点】

正弦型函数的解析式、单调性，对称轴，对称中心，和值域求解

【教学难点】

正弦型函数图象变换，换元法对正弦型函数的性质划归为正弦函数模型求解相关问题

复习回顾：

1.正弦型函数的定义

一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且。

2.y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质

（1）正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是.

（2）y＝Asin(ωx＋φ)的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到．

（3）A，ω，φ的实际意义：(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；(2)φ在决定t＝0时小球的位置中起关键作用，称为初相；(3)周期T＝表示小球完成一次运动所需要的时间，f＝＝表示1 s内能完成的运动次数，称为频率.

3. A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响

（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响

（2）ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响

（3）A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响

【课前自测】

1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．3π，，　　　　　B．6π，，          C．3π，3，－          D．6π，3，

答案：B

2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的表达式是(　　)

A．y＝3sin      B．y＝3sin    C．y＝3sin    D．y＝3sin

解析：由已知得A＝3，T＝，φ＝，ω＝＝7，

所以y＝3sin.故选B.

3. 要得到y＝3sin的图像，只需将y＝3sin 2x的图像(　　)

A．向左平移个单位长度       B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度       D．向右平移个单位长度

解析.　y＝3sin 2x的图像

y＝3sin 2的图像，即y＝3sin的图像．

4．要得到函数y＝cos的图像，只需将函数y＝sin x的图像(　　)

A．向左平移个长度单位            B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位           D．向右平移个长度单位

解析：y＝cos＝cos，且y＝sin x＝cos.故选C.

问题1：求三角函数的解析式

例1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω>0，|φ|<，且图像如图所示，求其解析式．

解　由图像知，振幅A＝3，T＝－＝π，

所以ω＝2.又图像过点，

所以f＝3sin＝0

所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|<，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.

【解题方法】

确定函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的策略与步骤

若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.

(1)一般可由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.

(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.

(3)确定φ时常用以下方法：①代入法；②五点法．

【变式练习】

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像如图，求函数的表达式．

解　由函数图像可知A＝1，函数周期T＝2×[3－(－1)]＝8，∴ω＝＝.

又sin＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，

即φ＝kπ－(k∈Z)，

而|φ|<，∴φ＝－，

∴函数表达式为y＝sin.

问题2：y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质

例2.求函数y＝3sin的单调递增区间、对称轴与对称中心．

解　y＝3sin＝－3sin.

由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，

解得：＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，

所以函数y＝3sin的单调增区间为

(k∈Z)．

由－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝2kπ＋，k∈Z，

所以函数的对称轴是x＝2kπ＋，k∈Z.

由－＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ＋，k∈Z，所以函数的对称中心是k∈Z.

【解题方法】

1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数的单调区间，通过解不等式求得．

2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦函数单调性相反的单调区间．

【变式练习1】

函数y＝2sin图像的一条对称轴是__________．(填序号)

①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.

解析：由正弦函数对称轴可知．x＋＝kπ＋，k∈Z，

x＝kπ＋，k∈Z.k＝0时，x＝.

答案：③

【变式练习2】

　f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上为增函数，则ω的最大值为____________．

答案：　因为y＝sin x在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是解得ω≤，故ω的最大值为.

【变式练习3】

函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值．

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解析：(1)由题意得ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，

最大值为y0＝3，因为(x0，y0)可以看作“五点作图法”中五点后下一周期的第一点，所以2x0＋＝π，解得x0＝π，因此函数为最小正周期为π，x0＝π，y0＝3.

(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是当2x＋＝0，

即x＝－时，f(x)取得最大值0；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.

问题3：正弦函数性质综合问题

例3.已知函数 的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式及图像的对称轴方程；

（Ⅱ）把函数图像上点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求关于的方程在时所有的实数根之和.

【答案】(Ⅰ) ； ；(Ⅱ) .

解析：（Ⅰ）由题设图象知，周期， .

∵点在函数图象上， 即

又∵， ∴，从而.

又∵点在函数图象上， ∴.

 故函数的解析式为.

令，

解得即为函数图像的对称轴方程.

（Ⅱ）依题意，得

∵的周期，

∴在内有个周期.

令，所以，

即函数的对称轴为.

又，则

且，所以在内有个实根

不妨从小到大依次设为，则， .

∴关于的方程在时所有的实数根之和为 .

例4.已知函数 的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；

（2）将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) ， ；(2) .

解析：（1）设函数的周期为，由图可知，∴，即，

∵，∴，∴，

上式中代入，有，得， ，

即， ，

又∵，∴，∴，

令，解得，

即的递增区间为；

（2）经过图象变换，得到函数的解析式为，

于是问题即为“存在，使得等式成立”，

即在上有解，令，

即在上有解，

其中，

∴，∴实数的取值范围为.

小结：

1、本节课利用换元法研究了正弦型函数的最值，单调性和对称性，并进行了简单的应用.

2、在求解正弦型函数的性质时，采用化归转化的思想，用换元法将对正弦型函数的研究，转化为对正弦函数的研究，使问题得以简化.在整个研究过程中，体现形的变化和数的运算之间的对应关系，即数形结合思想.