人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式教案设计，共10页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习等内容，欢迎下载使用。

人教B版必修4的《同角三角函数的基本关系式》是在学习了三角函数定义、三角函数线之后，安排的一节继续深入学习的内容，是求角度的函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，也是整个三角函数的基础，在教材中起着承上启下的作用。同时，它体现的数形思想方法在整个中学数学学习中也起着非常重要的作用。在三角函数定义和三角函数线学习的过程中，学生已经充分认识到了借助单位圆、利用数形结合思想是研究三角函数的工具。本节课的重点是利用定义、数形结合思想来发现探究同角三角函数基本关系式，并应用公式解决问题。应用三角函数进行求值、证明和化简这三类问题是学生第一次接触，因此求值过程中角度范围问题，恒等式证明的不同角度、化简最终结果，以及在恒等式变形过程中公式的灵活应用是本节课的难点，通过解题探讨、分析、总结，变式训练和后续的巩固来逐步突破这些难点。
【教学重点】
同角三角函数基本关系式的推导、利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简、证明
【教学难点】
求值过程中角度范围问题，恒等式证明的不同角度、化简，恒等式的变形
引入：
我们已经知道，如果是终边上不同于坐标原点的点，记，则：
由此可以看出：
以上两个关系式叫做同角三角函数的基本关系式。
思考1：对于平方关系可作哪些变形？
（1）
（2）
（3）
思考2：对于商数关系可作哪些变形？

思考3：结合平方关系和上述关系，可以得到哪些恒等式？

【对点快练】
1．已知sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan α的值是( )
A．－eq \f(3,4) B．－eq \f(4,3)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(4,3)
答案：B 因为sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－eq \f(3,5)，tan α＝－eq \f(4,3).
2．下列四个命题中可能成立的一个是( )
A．sin α＝eq \f(1,2)且cs α＝eq \f(1,2) B．sin α＝0且cs α＝－1
C．tan α＝1且cs α＝－1 D．tan α＝eq \f(－sin α,cs α)(α为第二象限角)
答案：B 选项A不符合sin2α＋cs2α＝1，B符合sin2α＋cs2α＝1，又由tan α＝eq \f(sin α,cs α)知D不正确，C也不可能正确．
例1.已知，且是第二象限角，求角的余弦和正切。
解：由，得，所以
因为是第二象限角，，所以

。
例2.已知，且是第二象限角，求角的正弦和余弦。
解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有

由（2）得，代入（1）整理得，
因为是第二象限角，所以，代入（2）式得

例3.已知，求的值。
解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有

消去，得，解得
或
当时，可得，此时
当，可得，此时
【变式练习】
(1)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值；
(2)已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，a∈(0，π)，求tan α的值．
(3)已知tan α＝eq \f(2,3)，且α是第三象限的角，求sin α，cs α的值．
解 (1)当α是第二象限角时，
sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))2)＝eq \f(15,17)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8).
当α是第三象限角时，
sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).
综上所述：当α是第二象限角时，
sin α＝eq \f(15,17)，tan α＝－eq \f(15,8).
当α是第三象限角时，
sin α＝－eq \f(15,17)tan α＝eq \f(15,8).
(2)因为sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，①
所以sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(49,169).
即2sin αcs α＝－eq \f(120,169).
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cs α<0.
所以sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(17,13).②
由①②解得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13).
所以tan α＝－eq \f(12,5).
(3) 解 因为tan α＝eq \f(2,3)，所以eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(2,3)，即
sin α＝eq \f(2,3)cs α.因为sin2α＋cs2α＝1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)cs α))2＋cs2α＝1，
则cs2α＝eq \f(9,13)，
又因为α是第三象限的角，所以cs α＝－eq \f(3\r(13),13)，
则sin α＝－eq \f(2\r(13),13).
所以sin α＝－eq \f(2\r(13),13)，cs α＝－eq \f(3\r(13),13).
例4.化简
解：原式
【变式练习】
(1)化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cs2αcs2β＝____________.
(2)若0<θ(3)若角α是第二象限角，化简：tan α eq \r(\f(1,sin2α)－1).
解：(1)1 原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cs2αcs2β
＝sin2αcs2β＋cs2αcs2β＋sin2β
＝(sin2α＋cs2α)cs2β＋sin2β
＝1.
(2)原式＝eq \f(sin θ,1－cs θ)·eq \r(\f(tan θ－tan θ·cs θ,tan θ＋tan θ·cs θ))
＝eq \f(sin θ,1－cs θ)·eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))＝eq \f(sin θ,1－cs θ)·eq \r(\f(1－cs θ2,1－cs2θ))
又0<θ0,0故原式＝eq \f(sin θ,1－cs θ)·eq \f(1－cs θ,\r(sin2θ))＝eq \f(sin θ,sin θ)＝1.
（3）原式＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))，
因为α是第二象限角，所以sin α>0，cs α<0，
所以原式＝eq \f(sin α,cs α)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
例5.求证
（1） （2）
（2）
证明：（1）原式左边=
右边
因此：
（2）原式右边
左边
因此
（3）（方法一）因为

所以
（方法二）由题知，因而，即，从而
原式左边
右边
因此
注：从例5可以看出，证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边；也可以用作差法，证明等式两边之差等于零；还可以先证得另一个等式成立，并由此推出需要证明的等式成立。
【变式练习】
求证：2(1－sin α)(1＋cs α)＝(1－sin α＋cs α)2.
证明 左边＝2(1－sin α)(1＋cs α)
＝2(1＋cs α－sin α－sin αcs α)，
右边＝(1－sin α＋cs α)2
＝(1－sin α)2＋2(1－sin α)cs α＋cs2α
＝1－2sin α＋sin2α＋2cs α－2sin αcs α＋cs2α
＝2(1＋cs α－sin α－sin αcs α)，
因为左边＝右边，
所以原等式成立．
例6.已知eq \f(sin α－3cs α,3sin α＋5cs α)＝－eq \f(1,11)，求下列各式的值：
(1)tan α；(2)eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)；(3)sin2α－2cs2α.
解 (1)显然cs α≠0，
eq \f(sin α－3cs α,3sin α＋5cs α)＝eq \f(tan α－3,3tan α＋5)，即eq \f(tan α－3,3tan α＋5)＝－eq \f(1,11)，
解得tan α＝2.
(2)∵tan α＝2，cs α≠0，
∴eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)＝eq \f(3tan α－1,2tan α＋3)＝eq \f(3×2－1,2×2＋3)＝eq \f(5,7).
(3)∵tan α＝2，cs α≠0，
∴原式＝eq \f(sin2α－2cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－2,tan2α＋1)＝eq \f(22－2,22＋1)＝eq \f(2,5).
【变式练习】
(1)已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(1＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)的值是( )
A．eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3) D．－3
答案：C eq \f(1＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sin αcs α,sin2α－cs2α)
＝eq \f(sin α＋cs α2,sin2α－cs2α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)
＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－eq \f(1,3).
(2)若eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5，则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．eq \f(23,16) D．－eq \f(23,16)
答案：D 由eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，所以tan α－2＝－15tan α－25，得tan α＝－eq \f(23,16).
小结：
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求是：
①项数尽量少；②次数尽量低；③分母、根式中尽量不含三角函数；④能求值的尽可能求值．
3．已知sin α＋cs α，sin α－cs α，sin α·cs α三个中的一个，便可求出另外两个，进而求出sin α，cs α，tan α等．
4．关于sin α，cs α的齐次式，不管是等式还是给定条件后的分式，可同除以cs α化成α的正切函数进行相关计算．
考点
教学目标
核心素养
同角三角函数关系式的推导
理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导和简单应用
数学抽象、逻辑推理、数学运算
同角三角函数关系式的应用
会利用同角三角函数基本关系式进行求角的三角函数值、化简、证明
逻辑推理、数学运算