2021学年第二章 圆锥曲线与方程综合与测试单元测试巩固练习

这是一份2021学年第二章 圆锥曲线与方程综合与测试单元测试巩固练习，共19页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 椭圆x25+y24=1焦点坐标是（ ）
A.(±1, 0)B.(±3, 0)C.(0, ±1)D.(0, ±3)

2. 已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（ ）
A.4B.−14C.14D.−4

3. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（ ）
A.x24+y23=1B.x23+y2=1C.x22+y2=1D.x24+y2=1

4. 已知双曲线C: x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )
A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12xD.y=±x

5. 准线方程为y=2的抛物线的标准方程是（ ）
A.x2=16yB.x2=8yC.x2=−16yD.x2=−8y

6. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为（ ）
A.4B.6C.8D.16

7. 已知点A0,1，抛物线C:y2=axa>0的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:5，则a=( )
A.2B.4C.6D.8

8. 若双曲线x24−m+y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（ ）
A.1B.74C.114D.5

9. 抛物线y=2x2的通径长为( )
A.2B.1C.12D.14

10. 若过点−2,1的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x−4y+1=0与圆M的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不能确定

11. 已知椭圆C:x213−2m+y2m−1=1的焦点在x轴上，且焦距为22，则m=( )
A.2B.3C.4D.5

12. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，过原点的直线l与C交于A，B不同的两点，且AF⊥BF，延长AF，交C于点D，若|AF|=2|DF|，则椭圆C的离心率是( )
A.12B.33C.53D.63
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 双曲线的渐近线方程是________．

14. 已知点M(−4,0)，椭圆x24+y2b2=1（0
15. 已知圆E：(x−a)2+y2=4a2(a>0)的圆心与抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F重合，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆E交于M，N两点，O为坐标原点，若S△OAB=2S△OMN=82，则实数a的值为________.

16. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，且双曲线C与椭圆x25+y2=1有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

17. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，直线x+y−6=0与圆x2+y2=b2相切.
(1)求椭圆的方程；

(2)过点N(4，0)的直线l与椭圆交于不同两点A，B，线段AB的中垂线为l′，求直线l′在y轴上的截距m的取值范围.

18. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.

19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点为A2,0，焦距为23．过点M−4,0的直线l（直线l的斜率不为零）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交y轴于点E，F．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：|OE|⋅ |OF|为定值．

20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长为4，左准线1的方程为 x=−4
（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线 l1 过椭圆E的左焦点 F1 且与椭圆E交于A、B两点.
①若 AB=247 ，求直线/的方程；
②过A作左准线l的垂线，垂足为 A1 G−52,0 ，求证： A1 B,G三点共线.

21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率是12，椭圆C过点1,32.
(1)求椭圆C的方程；

(2)已知F1,F2是椭圆C的左、右焦点，过点F2的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于A，B两点，求F1A→⋅F1B→的取值范围．

22. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2且双曲线过点P(4,−10)
1求双曲线的方程；

2若点 M3,m 在双曲线上，（其中 m<0) ，求MF1→⋅MF2→ 的值．
参考答案与试题解析
2021年人教A版选修1-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据椭圆的标准方程及基本量的平方关系，算出c=a2−b2=1，即可得到它的焦点坐标．
【解答】
解：∵ 椭圆的方程为x25+y24=1，
∴ 椭圆的焦点在x轴上，a2=5且b2=4，可得c=a2−b2=1．
因此可得椭圆的焦点坐标为(±1, 0)．
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
双曲线x2+my2=1的标准方程为x2−y2−1m=1，由已知得2−1m=2×2，由此能求出结果．
【解答】
解：∵ 双曲线x2+my2=1的标准方程为x2−y2−1m=1，
虚轴长是实轴长的两倍，
∴ 2−1m=2×2，
解得m=−14．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由|BF2|=|F1F2|=2，可得a=2c=2，即可求出a，b，从而可得椭圆的方程．
【解答】
解：∵ |BF2|=|F1F2|=2，
∴ a=2c=2，
∴ a=2，c=1，
∴ b=3，
∴ 椭圆的方程为x24+y23=1．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可.
【解答】
解：由题意可得，a=2，b=1，
则双曲线的渐近线方程为y=±bax=±12x.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可．
【解答】
解：准线方程为y=2的抛物线的标准方程是：x2=−8y．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，由椭圆的方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝4，|BF1|+|BF2|＝2a＝4，而△ABF1的周长l＝|AF1|+|BF1|+|AB|＝(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)，即可得答案．
【解答】
根据题意，椭圆，其中a2，
则有|AF1|+|AF2|＝2a＝4，|BF1|+|BF2|＝2a＝4，
△ABF1的周长l＝|AF1|+|BF1|+|AB|
＝(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)＝8，
7.
【答案】
D
【考点】
斜率的计算公式
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：依题意F点的坐标为a4,0，作MK垂直于准线，垂足为K，
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
因为|FM|:|MN|=2:5，
则|KN|:|KM|=1:2.
kFN=0−1a4−0=−4a，kFN=−|KN||KM|=−12，
所以−4a=−12，求得a=8.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
C
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】
抛物线y=−2x2，即x2=−12y，可得2p.
【解答】
解：抛物线y=2x2，
化为标准方程为x2=12y，
可得2p=12，
因此通径长为12.
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为圆M与两坐标轴都相切，且点−2,1在该圆上，
所以可设圆M的方程为x+a2+y−a2=a2，
所以−2+a2+1−a2=a2，
即a2−6a+5=0，
解得a=1或a=5．
当圆心坐标为−1,1时，圆的半径为1，
此时圆心到直线3x−4y+1=0的距离为65>1，
当圆心坐标为−5,5时，圆的半径为5，
此时圆心到直线3x−4y+1=0的距离为345>5．
故直线3x−4y+1=0与圆M相离．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，a2=13−2m，b2=m−1，
2c=22，c=2，
由题意可得，a2−b2=c2，
即13−2m−m−1=2，
解得m=4.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】

【解答】
解：设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，
设|AF|=2m，则|DF|=m，
|AF′|=2a−2m，|DF′|=2a−m．
由题意可知四边形AFBF′是矩形，
则2a−2m2+2m2=2c2,2a−2m2+3m2=2a−m2,解得a=3m,c=5m,
故椭圆C的离心率是ca=5m3m=53．
故选C．
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
14.
【答案】
12
【考点】
直线与椭圆的位置关系
【解析】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系.
【解答】
解：如图，作点B关于x轴的对称点C，则点C在直线AM上．设l:y=k(x+c)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立得y=k(x+c)，x24+y2b2=1，消去y得4k2+b2x2+8k2cx+4k2c2−4b2=0，则x1+x2=−8k2c4k2+b2，x1x2=4k2c2−4b24k2+b2，由角平分线的性质定理知|MA||MB|=|AF||BF|，所以x1+4x2+4=x1+c−x2−c（*），可得2x1x2+(4+c)x1+x2+8c=0，故8b2(c−1)=0，所以c=1，故离心率e=ca=12．
故答案为：12．
15.
【答案】
2
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知a=p2，
因为S△OAB=2S△OMN，
所以|AB|=2|MN|，
所以|MN|=4a=2p，|AB|=4p，
设直线l:x=ty+p2，代入y2=2px(p>0)得
y2−2pty−p2=0，
所以y1+y2=2pt,y1y2=−p2，
则|AB|=1+t24p2t2+4p2=2p(1+t2)=4p，
即1+t2=2，即t=±1，
所以直线l:x=y+a或x=−y+a，
△OMN的面积为
12×|MN|×d=12×4a×|a|2=2a2=42，
解得a=2.
故答案为：2.
16.
【答案】
32
【考点】
圆锥曲线的共同特征
双曲线中的平面几何问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得e=ca=2,c=5−1=2则a2=1，b2=4−1=3，
故双曲线C的方程为x2−y23=1，
其渐近线方程为3x±y=0．
设点Px0,y0，|PA|=m，|PB|=n，
则m=|3x0+y0|2，n=|3x0−y0|2，
故mn=|3x02−y02|4．
因为点P在双曲线C上，
所以x02−y023=1，则mn=34．
因为渐近线3x−y=0的倾斜角为π3，
所以∠AOB=2π3，故∠APB=π3．
在△APB中，
由余弦定理可得|AB|2=m2+n2−2mncsπ3
=m2+n2−mn≥mn=34，
当且仅当m=n时等号成立，
则|AB|≥32，即|AB|的最小值为32．
故答案为：32．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
17.
【答案】
解：(1)由题意得，e2=c2a2=a2−b2a2=14，
即a2=43b2，
直线x+y−6=0与圆x2+y2=b2相切，
得b=62=3，a=2.
故椭圆的方程是x24+y23=1.
(2)由题意得直线l的斜率k存在且不为零，
设l: y=k(x−4), k≠0, Ax1,y1，
Bx2,y2, AB中点Qx0,y0,
联立y=k(x−4)，x24+y23=1消去y并整理得
3+4k2x2−32k2x+64k2−12=0.
x1+x2=32k24k2+3，
由Δ=−32k22−43+4k264k2−12>0，
解得−12故−12x0=x1+x22=16k24k2+3,
y0=kx0−4=−12k3+4k2.
得Q16k23+4k2,−12k3+4k2，
由l′:y−y0=−1k(x−x0)，
即y+12k3+4k2=−1kx−16k23+4k2，
化简得：y=−1kx+4k4k2+3
令x=0，得m=4k4k2+3,−12∴m=4k4k2+3=44k+3k.
当08；
当−12∴−12综上，直线l′在y轴上的截距m的取值范围为
−12【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
直线与圆的位置关系
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得，e2=c2a2=a2−b2a2=14，
即a2=43b2，
直线x+y−6=0与圆x2+y2=b2相切，
得b=62=3，a=2.
故椭圆的方程是x24+y23=1.
(2)由题意得直线l的斜率k存在且不为零，
设l: y=k(x−4), k≠0, Ax1,y1，
Bx2,y2, AB中点Qx0,y0,
联立y=k(x−4)，x24+y23=1消去y并整理得
3+4k2x2−32k2x+64k2−12=0.
x1+x2=32k24k2+3，
由Δ=−32k22−43+4k264k2−12>0，
解得−12故−12x0=x1+x22=16k24k2+3,
y0=kx0−4=−12k3+4k2.
得Q16k23+4k2,−12k3+4k2，
由l′:y−y0=−1k(x−x0)，
即y+12k3+4k2=−1kx−16k23+4k2，
化简得：y=−1kx+4k4k2+3
令x=0，得m=4k4k2+3,−12∴m=4k4k2+3=44k+3k.
当08；
当−12∴−12综上，直线l′在y轴上的截距m的取值范围为
−1218.
【答案】
解：命题p：(a+6)(a−7)<0，解得−6命题q：Δ=(−4)2−4a>0，解得a<4.
∴ ¬q：a≥4.
∵ “p∧(¬q)”为真，
∴ p为真且¬q为真，
∴ 4≤a<7.
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
双曲线的标准方程
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：命题p：(a+6)(a−7)<0，解得−6命题q：Δ=(−4)2−4a>0，解得a<4.
∴ ¬q：a≥4.
∵ “p∧(¬q)”为真，
∴ p为真且¬q为真，
∴ 4≤a<7.
19.
【答案】
(1)解：由题意可知，a=2，焦距2c=23，即c=3，
所以b2=a2−c2=1 ，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)证明：点A的坐标为2,0，
设直线l的方程为y=kx+4k≠0，点P，Q的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
联立方程 x24+y2=1,y=kx+4消去y后整理为
(4k2+1)x2+32k2x+64k2−4=0，
有x1+x2=−32k24k2+1，x1x2=64k2−44k2+1，
由Δ=(32k2)2−4(4k2+1)(64k2−4)=16(1−12k2)>0，
可得−36直线AP的方程为：y=y1x1−2x−2，
令x=0，可得点E的纵坐标为−2y1x1−2=−2kx1+4x1−2，
同理可得点F的纵坐标为−2kx2+4x2−2，
有|OE|⋅|OF|=4k2|(x1+4)(x2+4)||(x1−2)(x2−2)|
=4k2|x1x2+4(x1+x2)+16||x1x2−2(x1+x2)+4|
=4k264k2−44k2+1−128k24k2+1+1664k2−44k2+1+64k24k2+1+4=4k2⋅124k2+1144k24k2+1=13，
故|OE|⋅|OF|为定值13．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
暂无
暂无
【解答】
(1)解：由题意可知，a=2，焦距2c=23，即c=3，
所以b2=a2−c2=1 ，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)证明：点A的坐标为2,0，
设直线l的方程为y=kx+4k≠0，点P，Q的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
联立方程 x24+y2=1,y=kx+4消去y后整理为
(4k2+1)x2+32k2x+64k2−4=0，
有x1+x2=−32k24k2+1，x1x2=64k2−44k2+1，
由Δ=(32k2)2−4(4k2+1)(64k2−4)=16(1−12k2)>0，
可得−36直线AP的方程为：y=y1x1−2x−2，
令x=0，可得点E的纵坐标为−2y1x1−2=−2kx1+4x1−2，
同理可得点F的纵坐标为−2kx2+4x2−2，
有|OE|⋅|OF|=4k2|(x1+4)(x2+4)||(x1−2)(x2−2)|
=4k2|x1x2+4(x1+x2)+16||x1x2−2(x1+x2)+4|
=4k264k2−44k2+1−128k24k2+1+1664k2−44k2+1+64k24k2+1+4=4k2⋅124k2+1144k24k2+1=13，
故|OE|⋅|OF|为定值13．
20.
【答案】
解：（1）设焦距为 2c 由题意可知：2a=4−a2c=−4b2=a2−c2，解得a=2b2=３c=1，
∴ 椭圆的标准方程为：x24+y23=1；
（2）①由（1）可知： F1 −1,0, AB=247≠4， 故直线 l1 不与x轴重合，设直线 l1 方程为： x=my−1, Ax1,y1 Bx2,,y2，
联立方程: x=my−13x2+4y2=12，消去x得: 3m2+4y2−6my−9=0,
△=144 m2+1>0 ，y1,2=3m±6m2+13m2+4，
∴|AB|=x1−x22+y1−y22=1+m2⋅|y1−y2|=12m2+12m2+4＝ 247，
解得： m=±1，
∴ 直线 l1 的方程为： x±y−1=0 ；
② A1=−4,y1， 由①可知： y1+y2=6m3m2+4, y2=−93m2+4，
kA1G−kBG=−2y13−y2x2+52= 2my1y2+3y1+y23my2+92=0
kA1G=kBG ，由此， A1,B，G 三点共线．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
(1)由题意列出a,b,c的方程组,解出a,b,c的值,即可求出椭圆的标准方程;
（2）①由（1）可知： F1−1,0,AB=247≠4 故直线1，不与x轴重合，设直线l,方程为： x=my−1, Ax1,y1, Bx2,y2 ,与椭圆方程联立，利用弦长公式求出 |AB|
的长，即可求出m的值，从而求出直线l1的方程: ②A1=(−4,y1)， 由①可知：y1+y2=6m3m2+4, y1=−93m2+4，得到kA1G=kBG,由此， A1 B, G 三点共线．
【解答】
解：（1）设焦距为 2c 由题意可知：2a=4−a2c=−4b2=a2−c2，解得a=2b2=３c=1，
∴ 椭圆的标准方程为：x24+y23=1；
（2）①由（1）可知： F1 −1,0, AB=247≠4， 故直线 l1 不与x轴重合，设直线 l1 方程为： x=my−1, Ax1,y1 Bx2,,y2，
联立方程: x=my−13x2+4y2=12，消去x得: 3m2+4y2−6my−9=0,
△=144 m2+1>0 ，y1,2=3m±6m2+13m2+4，
∴|AB|=x1−x22+y1−y22=1+m2⋅|y1−y2|=12m2+12m2+4＝ 247，
解得： m=±1，
∴ 直线 l1 的方程为： x±y−1=0 ；
② A1=−4,y1， 由①可知： y1+y2=6m3m2+4, y2=−93m2+4，
kA1G−kBG=−2y13−y2x2+52= 2my1y2+3y1+y23my2+92=0
kA1G=kBG ，由此， A1,B，G 三点共线．
21.
【答案】
解：(1)由条件知a2−b2a2=14,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,
因此椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
则F1A→=x1+1,y1，F1B→=x2+1,y2.
设直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆C的方程消去x，得3m2+4y2+6my−9=0，
由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
F1A→⋅F1B→=x1+1x2+1+y1y2=my1+2my2+2+y1y2
=1+m2y1y2+2my1+y2+4
=1+m2−93m2+4+2m−6m3m2+4+4
=−9m2+73m2+4=−3+193m2+4，
3m2+4≥4，
∴ 0<193m2+4≤194，
∴ −3<−3+193m2+4≤74，
∴ F1A→⋅F1B→∈−3,74．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由条件知a2−b2a2=14,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,
因此椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
则F1A→=x1+1,y1，F1B→=x2+1,y2.
设直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆C的方程消去x，得3m2+4y2+6my−9=0，
由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
F1A→⋅F1B→=x1+1x2+1+y1y2=my1+2my2+2+y1y2
=1+m2y1y2+2my1+y2+4
=1+m2−93m2+4+2m−6m3m2+4+4
=−9m2+73m2+4=−3+193m2+4，
3m2+4≥4，
∴ 0<193m2+4≤194，
∴ −3<−3+193m2+4≤74，
∴ F1A→⋅F1B→∈−3,74．
22.
【答案】
解：1∵ e=2，
∴ 可设双曲线的方程x2−y2=λ，
∵ 双曲线过点P(4, −10)，
∴ 16−10=λ，即λ=6，
∴ 双曲线的方程x2−y2=6.
2∵ MF1→=−3−23,−m,MF2→=23−3,−m
∴ MF1→⋅MF2→=−3−23×23−3+m2=−3+m2
∵ M点在双曲线上， ∴9−m2=6，
即m2−3=0，
∴ MF1→⋅MF2→=0．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1∵ e=2，
∴ 可设双曲线的方程x2−y2=λ，
∵ 双曲线过点P(4, −10)，
∴ 16−10=λ，即λ=6，
∴ 双曲线的方程x2−y2=6.
2∵ MF1→=−3−23,−m,MF2→=23−3,−m
∴ MF1→⋅MF2→=−3−23×23−3+m2=−3+m2
∵ M点在双曲线上， ∴9−m2=6，
即m2−3=0，
∴ MF1→⋅MF2→=0．