高中数学人教B版 (2019)必修第二册第六章平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念导学案及答案

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第二册第六章平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念导学案及答案，共9页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，新知初探，自我检测，达标测评，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示
2．理解共线向量、相等向量的概念
3．正确区分向量平行与直线平行
【学习重难点】
1．向量的概念
2．共线向量、相等向量
3．向量与几何的关系
【学习过程】
问题导学
预习教材P133－P136的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？怎样表示向量？
2．向量的相关概念有哪些？
3．两个向量能比较大小吗？
【新知初探】
1．位移与向量
（1）向量的概念
一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）。
向量的大小也称为向量的模（或长度）；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。
（2）向量的表示方法
①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为eq \(AB,\s\up6(→))，此时向量eq \(AB,\s\up6(→))的模用|eq \(AB,\s\up6(→))|表示。除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))等来表示向量。
②始点和终点相同的向量称为零向量。零向量的模为0.零向量的方向是不确定。模不为0的向量通常称为非零向量。模等于1的向量称为单位向量。e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
■名师点拨
向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。
2．向量的相等与平行
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。
如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行。两个向量a和b平行，记作a∥B．两个向量平行也称为两个向量共线。
■名师点拨
共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）零向量没有方向。（）
（2）向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度和向量eq \(BA,\s\up6(→))的模相等。（）
（3）单位向量都平行。（）
（4）零向量与任意向量都平行。（）
2．在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速。其中可以看成是向量的有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．关于零向量，下列说法中错误的是（）
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度为0
C．零向量只与零向量相等
D．零向量的方向是任意的
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________（填序号）。
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；②eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OD,\s\up6(→))；
③eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))；④eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))。
探究一：向量的有关概念
1．判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
（2）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
（4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反。
[规律方法]eq \a\vs4\al()
（1）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。
（2）共线向量与平行向量
①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别。
②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同。
③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同。
2．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上。
其中正确命题的序号是________。
探究二、向量的表示及应用
1．（1）如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量。
（2）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
①eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°处；
②eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东处；
③eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°处。
[规律方法]
eq \a\vs4\al()（1）向量的两种表示方法
①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点。
②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))等。
（2）两种向量表示方法的作用
①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础。
②用字母表示法表示向量，便于向量的运算。
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点。
（1）作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
（2）求eq \(AD,\s\up6(→))的模。
探究三、相等向量和共线向量
3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝C．
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与a共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与a，b，c相等的向量。
[互动探究]
1．[变问法]本例条件不变，试写出与向量eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量。
2．[变条件，变问法]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长。
[规律方法]
eq \a\vs4\al()相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线。
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。
3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形。
（1）找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量；
（2）找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量。
【达标测评】
1．下列结论正确的个数是（）
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．设O是正方形ABCD的中心，则向量eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))是（）
A．相等的向量
B．平行的向量
C．有相同起点的向量
D．模相等的向量
3．在下列判断中，正确的是（）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向向量；
⑤任意向量与零向量都共线。
A．①②③
B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
4．在下列命题中：
①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。
正确命题的序号是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）√
（3）×
（4）√
2．解析：选B．①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量。
3．答案：A
4．答案：①④
探究一：向量的有关概念
1．【解】（1）不正确。因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小。
（2）不正确。由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系。
（3）正确。因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
（4）不正确。因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定。
2．解析：①错误。若b＝0，则①不成立。
②错误。起点相同的单位向量，终点未必相同。
③正确。对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的。
④错误。共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可。并不要求两个向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))必须在同一直线上。
答案：③
探究二、向量的表示及应用
1．【解】（1）可以写出12个向量，分别是：eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，故填12．
（2）①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等。又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up6(→))如图所示。
②由于点B在点A正东处，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up6(→))如图所示。
③由于点C在点B北偏东30°处，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up6(→))如图所示。
2．解：（1）作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米。△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋（10）2)＝5eq \r(5)（米），所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5eq \r(5)米。
3．【解】（1）与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))。
（2）与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))。
（3）与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))。
[互动探究]
1．解：与向量eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))。
2．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1．
3．解：（1）依据图形可知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量为eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))。
（2）由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))长度相等且方向相同，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→))。
【达标测评】
1．解析：选B．①错误。温度是数量不是向量；②错误。零向量的模为0.③正确。因为零向量与任意向量共线；④错误。向量不能比较大小。
2．解析：选D．由正方形的性质知|eq \(AO,\s\up6(→))|＝|eq \(BO,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OD,\s\up6(→))|。
3．解析：选D．由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确。显然③⑤正确，④不正确，故选D．
4．解析：由向量的相关概念可知④⑥正确。
答案：④⑥