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2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八下期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八下期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2021 年 3 月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书 2020 》，华为对遵循 5G 标准的单台手机专利许可费不高于 2.5 美元，则下面表示专利许可费 x 的不等关系正确的是
A. x>2.5B. x<2.5C. x≤2.5D. x≥2.5
2. 下列交通标识中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 已知 aA. a−3>b−3B. a3>b3C. −3a>−3bD. 3a−1>3b−1
4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. 2xx−1=2x2−2xB. x2−2x+3=xx−2+3
C. x+y2=x2+2xy+y2D. −x2+2x=−xx−2
5. 不等式组 2x−4≤0,x+2>0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
6. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有 20 道题，对于每一道题，答对得 10 分，答错或不答扣 5 分，则至少答对多少题，得分才不低于 80 分．设答对 x 题，可列不等式为
A. 10x−520−x≥80B. 10x+520−x≥80
C. 10x−520−x>80D. 10x+520−x>80
7. 下列说法，正确的是
A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B. “若 a>b ， 则 a2>b2”的逆命题是真命题
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 60∘”，先假设这个三角形中有一个内角大于 60∘
8. 如图，在 △ABC 中，∠A=45∘，∠B=30∘，尺规作图如下：分别以点 B，点 C 为圆心，大于 12BC 为半径作弧，连接两弧交点的直线交 AB 于点 D，连接 CD，则 ∠ACD 的度数为
A. 45∘B. 65∘C. 60∘D. 75∘
9. 如图，已知在 ABC 中，CD 为 AB 边上的高线，BE 平分 ABC，交 CD 于点 E，BC=5，DE=2，则 △BCE 的面积等于
A. 10B. 5C. 4D. 7
10. 如图，点 P 为定角 ∠AOB 平分线上的一个定点，且 ∠MPN 与 ∠AOB 互补，且 ∠AOB=120∘．若 ∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA，OB 相交于 M，N 两点，则以下结论：① PM=PN；② OM+ON 的值不变；③ MN 的长不变；④四边形 PMON 的面积不变，其中，正确结论的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 分解因式：a2+3a= ．
12. 等腰三角形的一个内角为 70∘，则这个等腰三角形的顶角为 ．
13. 某商店对一商品进行促销活动，将定价为 10 元的商品，按以下方式优惠销售：若购买不超过 5 件按原价付款；若一次性购买 5 件以上，超过部分打 8 折．现有 98 元钱，最多可以购买该商品 件．
14. 如图，已知函数 y=x+1 和 y=ax+3 的图象交于点 P ， 点 P 的横坐标为 1，则关于 x 的不等式 x+1≥ax+3 的解集是 ．
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=23，AC=2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上的一动点，沿 DE 所在直线把 △BDE 翻折到 △BʹDE 的位置，BʹD 交 AB 于点 F，若 △ABʹF 是直角三角形，则 AE 的长为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
16. 因式分解．
（1）−20a−15ax．
（2）a−32−2a−6．
17. 解不等式（组）．
（1）3x+2<9−4x．
（2）5x<1+4x, ⋯⋯①1−x2−1≥x+43. ⋯⋯②
18. 按要求画图及填空：在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点 O 及 △ABC 的顶点都在格点上．
（1）图中线段 AB 的长度为 ；
（2）将 △ABC 先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1；
（3）将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘，画出旋转后得到的 △A2B2C2，直接写出点 A2，C2 的坐标．
19. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，且 BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）当 ∠A=40∘ 时，求 ∠DEF 的度数．
20. 如图，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，DB=DC．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果 BD∥AC，∠DAF=15∘，求证 AB=2DF．
21. 某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液 20 瓶和乙品牌消毒液 10 瓶，共需资金 1300 元；若购进甲品牌消毒液 10 瓶和乙品牌消毒液 10 瓶，共需资金 800 元．
（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元?
（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共 50 瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过 1900 元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案?哪种方案花费资金最少?
22. 如图 1 ， 在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴相交于 A6,0，B0,2 两点，动点 C 在线段 OA 上，将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CD，此时点 D 恰好落在直线 AB 上时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求经过 A，B 两点的一次函数表达式．如图 2，将 △BCD 沿 x 轴正方向平移得 △BʹCʹDʹ，当直线 BʹCʹ 经过点 D 时，求点 D 的坐标及 △BʹCʹDʹ 的面积；
（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得以 C，D，P 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请写出 P 点的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】抓住不等关系词“不高于”列不等式，故选C．
2. D
3. C【解析】依不等式性质 1 可判别选项A错误，依不等式性质 2 可判别选B，D错误，故选C．
4. D【解析】选项A、B、C：结果不是乘积式，故选D．
5. A
【解析】解得不等式组得 x≤2,x>−2,
故选A．
6. A【解析】依不等关系式“对的题数 × 每题得分 − 错的题数 × 每题扣分 ≥80”列不等式．
7. C【解析】选项A：一个三角形两边的角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等；
选项B：当 a=−3，b=−1 时不成立，故逆命题是假命题；
选项D：用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 60∘”，先假设这个三角形中每一个都大于 60∘．
8. D【解析】由作法可知作的是线段 BC 的垂直平分线，则 CD=BD，∠B=∠DCB=30∘，由外角性质可得 ∠ADC=60∘，
∴∠ACD=180∘−60∘−45∘=75∘，
9. B【解析】作 EF⊥BC 于点 F，
由角平分线性质可得 EF=DE=2，
则 △BCE 的面积 =BC⋅EF÷2=5．
10. B
【解析】数学典型模型“对角互补”模型：作 PF⊥OA 于点 F，作 PE⊥OB 于点 E，
（1）由 OP 是角平分线可得 PF=PE，
由四边形内角和 360∘ 可得 ∠FOE+∠FPE=180∘，
∵∠FOE+∠MPN=180∘，
∴∠FPE=∠NPN，
∴∠MPF=∠NPE，
∵∠PFM=∠PEN=90∘，
∴△PFM≌△PEN，
∴PM=PN；①正确；
（2）由 △OPF≌△OPE 可得 OF=OE，
由 △PFM≌△PEN 可得 FM=EN，则 OM+ON=OF+MF+ON=OF+NE+ON=OF+OE=2OF，
在 Rt△OPF 中，
∵∠FOP=60∘，
∴OP=2OF，
∴OM+ON=OP，
∵ 点 P 为定角 ∠AOB 平分线上的一个定点，OP 是定长，
∴OM+ON 的值不变，②正确；
（3）由 ∠MPN=60∘ 及 PM=PN 可知 △PMN 是等边三角形，MN=PM=PN，
由于 M，N 是动点，故 MN 长在变化，③错误；
（4）由 △PFM≌△PEN 可知 S△PFM=S△PEN，由 △OPF≌△OPE 可得 S△OPF=S△OPE，则
S四边形PMON=S△PFM+S△OPF+S△OPN=S△OPF+S△OPN+S△PEN=S△OPF+S△OPE=2S△OPF,
在 Rt△OPF 中，由 ∠FOP=60∘ 可得 OF=12OP，PF=32OP，S四边形PMON=2S△OPF=2×12OF⋅PF=12OP⋅32OP=34OP2,，
∵OP 长是定值，
∴ 四边形 PMON 的面积不变，④正确；
综上所述，正确结论为①②④，故选B．
第二部分
11. aa+3
12. 70∘ 或 40∘
【解析】分 70∘ 可以是顶点或底角两种情况分别进行计算，可得顶角为 70∘ 或 40∘．
13. 11
【解析】总价 98 元，说明购买件数超过 5 件，即其中 5 件按原价、剩下打 8 折后的总价，设可买 x 件，10×5+10×0.8⋅x−5≤98，解得 x≤11，则最多购买该商品 11 件．
14. x≥1
【解析】直接看图得结果．不等式 x+1≥ax+3 的解集，即是函数 y=x+1 的图象在函数 y=ax+3 图象上方那条射线的 x 的取值范围：x≥1．
15. 3 或 145
【解析】数学典范题型：“折叠问题”，
解题方法：“1，2，3”，
此题属“3”种题型变化中的“折过去的图形未知时要分类讨论”，
△ABʹF 是直角三角形，分以下两种情况分别论证计算：
①当 ∠BʹFA=90∘ 时，如图 1，
由勾股定理可得 AB=4，可知 ∠B=30∘，
在 Rt△BDF 中，由 ∠B=30∘，BD=3 可得 DF=32，BF=32，则 AF=52，
在 Rt△BDF 中，由折叠性质可得 ∠BDE=∠FDE=30∘，则 EF=33DF=12，
∴AE=AF+EF=3；
② ∠FBʹA=90∘，如图 2，连接 AD，
则 AD=7，由 HL 易证 Rt△ACD≌Rt△ABʹD，则 ∠CDA=∠BʹDA，
易得 ∠EDA=90∘，只需求出 DE 长便可得 AE 长，
而 ∠B=30∘ 必须放在 Rt△ 中才能发挥作业，故作 ME⊥BD 于点 M，
设 AE=x，则 DE2=x2−7，BE=4−x，
则 ME=4−x2，BM=43−3x2，则 MD=3x−232，
在 Rt△MED 中，由 ME2+MD2=DE2 可得 4−x22+3x−2322=x2−7，
解得 a=145，即 AE=145．
综上所述，AE 的长为 3 或 145．
第三部分
16. （1） 原式=−5a4+3x．
（2） 原式=a−32−2a−3=a−3a−5．
17. （1） 原不等式可变形为：
3x+4x<9−2,
即
7x<7,
解得
x<1.
（2） 由①可得：
x<1,
由②可得：
x≤−115,∴
不等式组的解集为
x≤−115.
18. （1） 10
【解析】由勾股定理可直接得出 AB=10．
（2） △A1B1C1 如图所示：
（3） △A2B2C2 如图所示，
A20,0，C23,2．
19. （1） 由 BD=CE，∠B=∠C，DE=CF，易证 △BDE≌△CEF，可得 DE=EF，则 △DEF 是等腰三角形；
（2） 数学典型模型：“一线三等角”模型；
由 ∠A=40∘ 可得 ∠B=70∘，由外角性质可得 ∠CED=∠B+∠BDE，即 ∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
由 △BDE≌△CEF 可得 ∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B=70∘．
20. （1） 由角平分线性质可得 DE=DF，
由 DE=DF，DB=DC，
可证 Rt△DEB≌Rt△DFCHL，
可得 BE=CF；
（2） 数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰三角形”，
由 AD 是角平分线，BD∥AC，
易证 AB=BD，
则 ∠BAD=∠BDA=15∘，
由外角性质可得 ∠EBD=30∘，
在 Rt△EBD 中，
由性质“30 所对直角边等于斜边的一半”可得 BD=2DE，
由（1）可知 DE=DF，
∴BD=2DF，
即 AB=2DF．
21. （1） 设甲品牌消毒液的单价是 x 元，乙品牌消毒液的单价是 y 元，由等量关系式“20 甲 +10 乙 =1300，10 甲 +10 乙 =800”列方程组，得
20x+10y=1300,10x+10y=800,
解得
x=50,y=30.∴
甲品牌消毒液的单价是 50 元，乙品牌消毒液的单价是 30 元．
（2） 设购进甲品牌消毒液 a 瓶，则购进乙品牌消毒液 50−a 瓶，由不等关系式“甲总钱 + 乙总钱 ≤1900，甲数量 ≥ 乙数量的一半”列不等式组，得
50a+3050−a≤1900,a≥1250−a,
解得
503≤a≤20∵a
为整数，
∴a 可取 17，18，19，20，
设购买消毒液共花费 w 元，则 w=50a+3050−a=20a+1500，
∵a>20，w 随 a 的增大而增大，
∴a=17 时，w 有最小值，最小值为 1840 元，此时 50−a=33（瓶）．
∴ 共有 4 种购买方案，其中花费最少的是购进甲品牌消毒液 17 瓶，购进乙品牌消毒液 33 瓶．
22. （1） 数学典型模型“一线三垂直”模型，由 ∠BOC=∠DEC，∠OBC=∠DCE，BC=CD，可证 △BOC≌△CED；
（2） 由 B，A 坐标及待定系数法可得直线 AB 的解析式为：y=−13x+2．
由（1）的 △BOC≌△CED 可得 CE=OB=2，OC=DE ，
设 DE=a，则 OC=a，OE=a+2，
则 D 点的坐标为 a+2,a，代入 y=−13x+2 中可得 a=1，
则 D 点坐标为 3,1，OC=1，由勾股定理可得 BC=5，
由平移性质可知：S△BʹCʹDʹ=S△BCD=12BC⋅CD=12×52=52．
（3） “两圆一线”解题．
①当 CD=CP=5 时，以点 C 为圆心，CD 为半径画圆，交 x 轴于 P1，P2，如图 1，可得 P15+1,0，P25−1,0；
②当 DC=DP=5 时，以点 D 为圆心，CD 为半径画圆，交 x 轴于 P3，如图 2，作 DE⊥x 轴于 E，则 CE=EP3=2，可得 P35,0；
③当 PC=PD 时，作线段 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 F，交 x 轴于 P4，如图 3，
由 C，D 两点坐标可得直线 CD 的解析式为 y=12x−12，
由 FP4⊥CD 可设直线 FP4 的解析式为 y=−2x+b，
由 F 点是 C，D 中点及中点坐标公式可得 F2,12 ， 代入 y=−2x+b 中，可得直线 FP4 的解析式为 y=−2x+92，
当 y=0 时 x=94，
所以 P494,0，
综上所述，P 点坐标为 5+1,0，5−1,0，5,0 或 94,0．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2021 年 3 月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书 2020 》，华为对遵循 5G 标准的单台手机专利许可费不高于 2.5 美元，则下面表示专利许可费 x 的不等关系正确的是
A. x>2.5B. x<2.5C. x≤2.5D. x≥2.5
2. 下列交通标识中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 已知 a
4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. 2xx−1=2x2−2xB. x2−2x+3=xx−2+3
C. x+y2=x2+2xy+y2D. −x2+2x=−xx−2
5. 不等式组 2x−4≤0,x+2>0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
6. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有 20 道题，对于每一道题，答对得 10 分，答错或不答扣 5 分，则至少答对多少题，得分才不低于 80 分．设答对 x 题，可列不等式为
A. 10x−520−x≥80B. 10x+520−x≥80
C. 10x−520−x>80D. 10x+520−x>80
7. 下列说法，正确的是
A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B. “若 a>b ， 则 a2>b2”的逆命题是真命题
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 60∘”，先假设这个三角形中有一个内角大于 60∘
8. 如图，在 △ABC 中，∠A=45∘，∠B=30∘，尺规作图如下：分别以点 B，点 C 为圆心，大于 12BC 为半径作弧，连接两弧交点的直线交 AB 于点 D，连接 CD，则 ∠ACD 的度数为
A. 45∘B. 65∘C. 60∘D. 75∘
9. 如图，已知在 ABC 中，CD 为 AB 边上的高线，BE 平分 ABC，交 CD 于点 E，BC=5，DE=2，则 △BCE 的面积等于
A. 10B. 5C. 4D. 7
10. 如图，点 P 为定角 ∠AOB 平分线上的一个定点，且 ∠MPN 与 ∠AOB 互补，且 ∠AOB=120∘．若 ∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA，OB 相交于 M，N 两点，则以下结论：① PM=PN；② OM+ON 的值不变；③ MN 的长不变；④四边形 PMON 的面积不变，其中，正确结论的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 分解因式：a2+3a= ．
12. 等腰三角形的一个内角为 70∘，则这个等腰三角形的顶角为 ．
13. 某商店对一商品进行促销活动，将定价为 10 元的商品，按以下方式优惠销售：若购买不超过 5 件按原价付款；若一次性购买 5 件以上，超过部分打 8 折．现有 98 元钱，最多可以购买该商品 件．
14. 如图，已知函数 y=x+1 和 y=ax+3 的图象交于点 P ， 点 P 的横坐标为 1，则关于 x 的不等式 x+1≥ax+3 的解集是 ．
15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=23，AC=2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上的一动点，沿 DE 所在直线把 △BDE 翻折到 △BʹDE 的位置，BʹD 交 AB 于点 F，若 △ABʹF 是直角三角形，则 AE 的长为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
16. 因式分解．
（1）−20a−15ax．
（2）a−32−2a−6．
17. 解不等式（组）．
（1）3x+2<9−4x．
（2）5x<1+4x, ⋯⋯①1−x2−1≥x+43. ⋯⋯②
18. 按要求画图及填空：在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点 O 及 △ABC 的顶点都在格点上．
（1）图中线段 AB 的长度为 ；
（2）将 △ABC 先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1；
（3）将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘，画出旋转后得到的 △A2B2C2，直接写出点 A2，C2 的坐标．
19. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，且 BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF 是等腰三角形；
（2）当 ∠A=40∘ 时，求 ∠DEF 的度数．
20. 如图，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，DB=DC．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果 BD∥AC，∠DAF=15∘，求证 AB=2DF．
21. 某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液 20 瓶和乙品牌消毒液 10 瓶，共需资金 1300 元；若购进甲品牌消毒液 10 瓶和乙品牌消毒液 10 瓶，共需资金 800 元．
（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元?
（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共 50 瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过 1900 元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案?哪种方案花费资金最少?
22. 如图 1 ， 在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴相交于 A6,0，B0,2 两点，动点 C 在线段 OA 上，将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 CD，此时点 D 恰好落在直线 AB 上时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求经过 A，B 两点的一次函数表达式．如图 2，将 △BCD 沿 x 轴正方向平移得 △BʹCʹDʹ，当直线 BʹCʹ 经过点 D 时，求点 D 的坐标及 △BʹCʹDʹ 的面积；
（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得以 C，D，P 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请写出 P 点的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】抓住不等关系词“不高于”列不等式，故选C．
2. D
3. C【解析】依不等式性质 1 可判别选项A错误，依不等式性质 2 可判别选B，D错误，故选C．
4. D【解析】选项A、B、C：结果不是乘积式，故选D．
5. A
【解析】解得不等式组得 x≤2,x>−2,
故选A．
6. A【解析】依不等关系式“对的题数 × 每题得分 − 错的题数 × 每题扣分 ≥80”列不等式．
7. C【解析】选项A：一个三角形两边的角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等；
选项B：当 a=−3，b=−1 时不成立，故逆命题是假命题；
选项D：用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 60∘”，先假设这个三角形中每一个都大于 60∘．
8. D【解析】由作法可知作的是线段 BC 的垂直平分线，则 CD=BD，∠B=∠DCB=30∘，由外角性质可得 ∠ADC=60∘，
∴∠ACD=180∘−60∘−45∘=75∘，
9. B【解析】作 EF⊥BC 于点 F，
由角平分线性质可得 EF=DE=2，
则 △BCE 的面积 =BC⋅EF÷2=5．
10. B
【解析】数学典型模型“对角互补”模型：作 PF⊥OA 于点 F，作 PE⊥OB 于点 E，
（1）由 OP 是角平分线可得 PF=PE，
由四边形内角和 360∘ 可得 ∠FOE+∠FPE=180∘，
∵∠FOE+∠MPN=180∘，
∴∠FPE=∠NPN，
∴∠MPF=∠NPE，
∵∠PFM=∠PEN=90∘，
∴△PFM≌△PEN，
∴PM=PN；①正确；
（2）由 △OPF≌△OPE 可得 OF=OE，
由 △PFM≌△PEN 可得 FM=EN，则 OM+ON=OF+MF+ON=OF+NE+ON=OF+OE=2OF，
在 Rt△OPF 中，
∵∠FOP=60∘，
∴OP=2OF，
∴OM+ON=OP，
∵ 点 P 为定角 ∠AOB 平分线上的一个定点，OP 是定长，
∴OM+ON 的值不变，②正确；
（3）由 ∠MPN=60∘ 及 PM=PN 可知 △PMN 是等边三角形，MN=PM=PN，
由于 M，N 是动点，故 MN 长在变化，③错误；
（4）由 △PFM≌△PEN 可知 S△PFM=S△PEN，由 △OPF≌△OPE 可得 S△OPF=S△OPE，则
S四边形PMON=S△PFM+S△OPF+S△OPN=S△OPF+S△OPN+S△PEN=S△OPF+S△OPE=2S△OPF,
在 Rt△OPF 中，由 ∠FOP=60∘ 可得 OF=12OP，PF=32OP，S四边形PMON=2S△OPF=2×12OF⋅PF=12OP⋅32OP=34OP2,，
∵OP 长是定值，
∴ 四边形 PMON 的面积不变，④正确；
综上所述，正确结论为①②④，故选B．
第二部分
11. aa+3
12. 70∘ 或 40∘
【解析】分 70∘ 可以是顶点或底角两种情况分别进行计算，可得顶角为 70∘ 或 40∘．
13. 11
【解析】总价 98 元，说明购买件数超过 5 件，即其中 5 件按原价、剩下打 8 折后的总价，设可买 x 件，10×5+10×0.8⋅x−5≤98，解得 x≤11，则最多购买该商品 11 件．
14. x≥1
【解析】直接看图得结果．不等式 x+1≥ax+3 的解集，即是函数 y=x+1 的图象在函数 y=ax+3 图象上方那条射线的 x 的取值范围：x≥1．
15. 3 或 145
【解析】数学典范题型：“折叠问题”，
解题方法：“1，2，3”，
此题属“3”种题型变化中的“折过去的图形未知时要分类讨论”，
△ABʹF 是直角三角形，分以下两种情况分别论证计算：
①当 ∠BʹFA=90∘ 时，如图 1，
由勾股定理可得 AB=4，可知 ∠B=30∘，
在 Rt△BDF 中，由 ∠B=30∘，BD=3 可得 DF=32，BF=32，则 AF=52，
在 Rt△BDF 中，由折叠性质可得 ∠BDE=∠FDE=30∘，则 EF=33DF=12，
∴AE=AF+EF=3；
② ∠FBʹA=90∘，如图 2，连接 AD，
则 AD=7，由 HL 易证 Rt△ACD≌Rt△ABʹD，则 ∠CDA=∠BʹDA，
易得 ∠EDA=90∘，只需求出 DE 长便可得 AE 长，
而 ∠B=30∘ 必须放在 Rt△ 中才能发挥作业，故作 ME⊥BD 于点 M，
设 AE=x，则 DE2=x2−7，BE=4−x，
则 ME=4−x2，BM=43−3x2，则 MD=3x−232，
在 Rt△MED 中，由 ME2+MD2=DE2 可得 4−x22+3x−2322=x2−7，
解得 a=145，即 AE=145．
综上所述，AE 的长为 3 或 145．
第三部分
16. （1） 原式=−5a4+3x．
（2） 原式=a−32−2a−3=a−3a−5．
17. （1） 原不等式可变形为：
3x+4x<9−2,
即
7x<7,
解得
x<1.
（2） 由①可得：
x<1,
由②可得：
x≤−115,∴
不等式组的解集为
x≤−115.
18. （1） 10
【解析】由勾股定理可直接得出 AB=10．
（2） △A1B1C1 如图所示：
（3） △A2B2C2 如图所示，
A20,0，C23,2．
19. （1） 由 BD=CE，∠B=∠C，DE=CF，易证 △BDE≌△CEF，可得 DE=EF，则 △DEF 是等腰三角形；
（2） 数学典型模型：“一线三等角”模型；
由 ∠A=40∘ 可得 ∠B=70∘，由外角性质可得 ∠CED=∠B+∠BDE，即 ∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
由 △BDE≌△CEF 可得 ∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B=70∘．
20. （1） 由角平分线性质可得 DE=DF，
由 DE=DF，DB=DC，
可证 Rt△DEB≌Rt△DFCHL，
可得 BE=CF；
（2） 数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰三角形”，
由 AD 是角平分线，BD∥AC，
易证 AB=BD，
则 ∠BAD=∠BDA=15∘，
由外角性质可得 ∠EBD=30∘，
在 Rt△EBD 中，
由性质“30 所对直角边等于斜边的一半”可得 BD=2DE，
由（1）可知 DE=DF，
∴BD=2DF，
即 AB=2DF．
21. （1） 设甲品牌消毒液的单价是 x 元，乙品牌消毒液的单价是 y 元，由等量关系式“20 甲 +10 乙 =1300，10 甲 +10 乙 =800”列方程组，得
20x+10y=1300,10x+10y=800,
解得
x=50,y=30.∴
甲品牌消毒液的单价是 50 元，乙品牌消毒液的单价是 30 元．
（2） 设购进甲品牌消毒液 a 瓶，则购进乙品牌消毒液 50−a 瓶，由不等关系式“甲总钱 + 乙总钱 ≤1900，甲数量 ≥ 乙数量的一半”列不等式组，得
50a+3050−a≤1900,a≥1250−a,
解得
503≤a≤20∵a
为整数，
∴a 可取 17，18，19，20，
设购买消毒液共花费 w 元，则 w=50a+3050−a=20a+1500，
∵a>20，w 随 a 的增大而增大，
∴a=17 时，w 有最小值，最小值为 1840 元，此时 50−a=33（瓶）．
∴ 共有 4 种购买方案，其中花费最少的是购进甲品牌消毒液 17 瓶，购进乙品牌消毒液 33 瓶．
22. （1） 数学典型模型“一线三垂直”模型，由 ∠BOC=∠DEC，∠OBC=∠DCE，BC=CD，可证 △BOC≌△CED；
（2） 由 B，A 坐标及待定系数法可得直线 AB 的解析式为：y=−13x+2．
由（1）的 △BOC≌△CED 可得 CE=OB=2，OC=DE ，
设 DE=a，则 OC=a，OE=a+2，
则 D 点的坐标为 a+2,a，代入 y=−13x+2 中可得 a=1，
则 D 点坐标为 3,1，OC=1，由勾股定理可得 BC=5，
由平移性质可知：S△BʹCʹDʹ=S△BCD=12BC⋅CD=12×52=52．
（3） “两圆一线”解题．
①当 CD=CP=5 时，以点 C 为圆心，CD 为半径画圆，交 x 轴于 P1，P2，如图 1，可得 P15+1,0，P25−1,0；
②当 DC=DP=5 时，以点 D 为圆心，CD 为半径画圆，交 x 轴于 P3，如图 2，作 DE⊥x 轴于 E，则 CE=EP3=2，可得 P35,0；
③当 PC=PD 时，作线段 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 F，交 x 轴于 P4，如图 3，
由 C，D 两点坐标可得直线 CD 的解析式为 y=12x−12，
由 FP4⊥CD 可设直线 FP4 的解析式为 y=−2x+b，
由 F 点是 C，D 中点及中点坐标公式可得 F2,12 ， 代入 y=−2x+b 中，可得直线 FP4 的解析式为 y=−2x+92，
当 y=0 时 x=94，
所以 P494,0，
综上所述，P 点坐标为 5+1,0，5−1,0，5,0 或 94,0．
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