2019年浙教版数学八年级上学期期末专项复习卷（二）特殊三角形

这是一份2019年浙教版数学八年级上学期期末专项复习卷（二）特殊三角形，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 等边三角形的对称轴有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

2. 下列各组数中，不可能属于同一个直角三角形三边长的是
A. 2，3，5B. 3，4，5C. 5，7，8D. 6，8，10

3. 若等腰三角形的一个外角为 70∘，则其底角为
A. 110∘B. 35∘C. 110∘ 或 35∘D. 70∘ 或 35∘

4. 已知：如图所示，AB=AC，∠A=36∘．AB 的垂直平分线交 AC 于点 D．给出下列结论：① ∠C=72∘；② BD 是 ∠ABC 的平分线；③ △ABD 是等腰三角形；④ △BCD 是等腰三角形．其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 如图所示，在 △ABC 中，BC=13 cm，AB=10 cm，AB 边上的中线 CD=12 cm，则 AC 的长是
A. 13 cmB. 12 cmC. 10 cmD. 269 cm

6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 A0,3，B0,8，动点 C 在直线 y=x 上，若以 A，B，C 三为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是
A. 2B. 3C. 4D. 5

7. 如图所示，在 △ABC 中，BC=8，AD 是中线，∠ADB=60∘．将 △ADB 沿 AD 折叠至 △ADBʹ，则点 C 到点 Bʹ 的距离是
A. 4B. 23C. 3D. 22

8. 如图所示，已知 P 是线段 AB 上的一个动点，AB=12，在 AB 的同侧分别以 AP，PB 为边作等边三角形 APC 和 BPD，则 CD 长度的最小值是
A. 5B. 55−1C. 6D. 7

9. 如图所示，梯子 AB 斜靠在墙面上，墙壁 AC 与地面 BC 互相垂直，且此时 AC=BC，当梯子的顶端 A 下滑 a m 时，梯足 B 沿 CB 方向滑动了 b m，则 a 与 b 的大小关系是
A. a=bB. aC. a>bD. 不能确定，与梯子长 AB 有关

10. 有一块两条直角边长分别为 3 m 和 4 m 的直角三角形绿地，现在要扩充成等腰三角形绿地，且扩充部分是直角边长为 4 m 的直角三角形，则扩充后的等腰三角形绿地的周长不可能是
A. 16 mB. 403mC. 10+20mD. 10+10m

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 等腰三角形的底角是 75∘，则它的顶角是 度．

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，AC=12，则斜边上的高线长为 ，中线长为 ．

13. 将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若 AB=16 cm．则阴影部分的面积为 cm2．

14. 已知 A，B 的坐标分别为 −2,0，4,0，点 P 在直线 y=12x+2 上，如果 △ABP 为等腰三角形，那么这样的点 P 共有 个．

15. 如图所示，等边三角形 ABC 与正方形 DEFG，其中 D，E 两点分别在 AB，BC 上，且 BD=BE．若 AC=18，GF=6，则点 F 到 AC 的距离为 ．

16. 如图所示，已知 ∠AOB=α，OA1=OB1，B1A2=B1B2，B2A3=B2B3，⋯，按此规律，记 ∠A1B1O=β1，∠A2B2O=β2，⋯，∠AnBnO=βn，则 βn= （用含 α 的代数式表示）．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．
请按下列步骤完成证明过程：
步骤一：按题意画出图形；
步骤二：结合图形，写出已知、求证；
步骤三：写出证明过程．

18. 如图所示，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA，PB，PC．以 BP 为边作 ∠PBQ=60∘，且 BP=BQ．连接 CQ．
（1）猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明理由．
（2）若 PA=3，PB=4，PC=5，连接 PQ，判断 △PQC 的形状并说明理由．

19. 一副三角尺按如图所示方式放置，其中 ∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠A=45∘，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 DE 上．
（1）当 AB∥CF 时，求 ∠DBC 的度数．
（2）当 AB∥CF，且 AB=24 时，求 CD 的长．

20. 如图所示，在四边形 ABCD 中，如果 ∠A=∠B=90∘，∠1=∠2=45∘，点 A，E，B 在同一直线上，连接 CD，且 AD=BE．
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
（2）若 AD=3，AB=7，求 △ECD 的面积．

21. （1）如图甲所示，已知：在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为 D，E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图乙所示，将（1）中的条件改为：在 △ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在直线 m 上，且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中 α 为任意锐角或钝角，结论 DE=BD+CE 是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

22. 如图所示，已知 △ABC 是等边三角形，BD 是 AC 上的高线，作 AE⊥AB 于点 A，交 BD 的延长线于点 E，取 BE 的中点 M，连接 AM．
（1）求证：△AEM 是等边三角形；
（2）若 AE=1，求 △ABC 的面积．

23. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，∠CAD=∠CBD=15∘，延长 AD 交 BC 于点 E．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求证：DE 平分 ∠CDB；
（3）若 CD=DM，EM=FM，CE=8，求线段 FB 的长．

24. 如图甲所示，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=72∘，小聪通过探索发现这个等腰三角形能被分割成 △ABD，△ACE，△CDE 3 个小的等腰三角形．
（1）如图乙所示，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=108∘，请你把它分割成 3 个小等腰三角形，并标出每个小等腰三角形顶角的度数．
（2）如图丙所示，在 △ABC 中，AC=BC，AD=AC，EB=EA，DB=DE．求 ∠C 的度数．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. B【解析】①当 70∘ 为顶角的外角时，则顶角为 110∘，底角为 35∘；
②当 70∘ 为底角的外角时，底角为 110∘，不合题意．故底角为 35∘．
4. D【解析】因为 ∠A=36∘，AB=AC，
所以 ∠ABC=∠C=72∘．
因为 MN 垂直平分 AB．
所以 AD=BD．
所以 ∠ABD=∠A=36∘．
所以 ∠ABD=∠CBD=36∘，即 BD 平分 ∠ABC．
因为 ∠BDC=180∘−∠CBD−∠C=72∘．
所以 ∠BDC=∠C．
所以 BD=BC，故①②③④都正确．
5. A
6. B
7. A【解析】作出折叠后的三角形并连接 BʹC .
因为 AD 是中线，
所以 BD=DC=12BC=4．
根据折叠得 DBʹ=BD=4，∠ADBʹ=∠ADB=60∘，
所以 ∠BʹDC=180∘−60∘−60∘=60∘．
又因为 BʹD=DC=4，
所以 △BʹDC 为等边三角形，故 BʹC=4．
8. C【解析】过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥PB 于点 F，过点 D 作 DG⊥CE 于点 G．
显然 DG=EF=12AB=6，CD≥DG．
∴ 当且仅当 P 为 AB 的中点时，CD 的最小值为 6．
9. C【解析】设 AC=BC=x，则可得 x2+x2=x−a2+x+b2，得 a2+b2=2xa−b>0．
因为 a2+b2>0，
所以 2xa−b>0，则 a>b．
10. D
【解析】如图甲所示，AB=AC，周长为 16；如图乙所示，AC=BC，周长为 10+20；如图丙所示，AB=BC，周长为 403．
第二部分
11. 30
12. 6013，132
【解析】高线长为 5×1213=6013，中线长是斜边长的一半 132．
13. 32
【解析】如图所示，
因为 AB=16 cm，∠B=30∘，
所以 AC=8 cm．
因为 ∠CAF=45∘，
所以 AC=CE=8 cm，S△ACE=12×8×8=32cm2．
14. 5
【解析】在坐标系中画出直线 y=12x+2 及 A，B 两点，作 AB 的中垂线，与直线 y=12x+2 有 1 个交点；
以 A 为圆心、 AB 长为半径画圆，与直线 y=12x+2 有 2 个交点；
以 B 为圆心、 AB 长为半径画圆，与直线 y=12x+2 也有 2 个交点，
故这样的点 P 共有 5 个．
15. 63−6
【解析】因为 BE=BD，∠B=60∘，
所以 △BED 为等边三角形．
所以 BE=DE=GF=6．
所以 EC=BC−BE=AC−BE=18−6=12．
延长 EF 交 AC 于点 P，可知 EP⊥AC，∠C=60∘，
所以 EP=63．
所以 FP=63−6．
16. 12n180−α
【解析】根据 OA1=OB1，B1A2=B1B2，B2A3=B2B3，⋯，
可得 βn=12βn−1=12⋅12βn−2=⋯=12n−1β1．
因为 2β1+α=180∘，
所以 β1=180∘−α2，
所以 βn=12n180∘−α．
第三部分
17. 如图所示，已知在 △ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE=DF．
证明：因为 AB=AC，
所以 ∠B=∠C，
因为 D 为 BC 的中点，
所以 BD=CD．
因为 DE⊥AB，DF⊥AC，
所以 ∠DEB=∠DFC=90∘，
在 △BED 和 △CFD 中，
因为 ∠B=∠C,∠DEB=∠DFC,BD=CD,
所以 △BED≌△CFD，
所以 DE=DF．
18. （1） AP=CQ．
因为 ∠ABC=∠PBQ=60∘，
所以 ∠ABP=∠CBQ．
在 △ABP 与 △CBQ 中，
因为 AB=CB,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,
所以 △ABP≌△CBQSAS．
所以 AP=CQ．
（2） 如图所示，连接 PQ．
由于已知 PA，PB，PC 的长度且由 △ABP≌△CBQ 可知在 △PQC 中，PQ=BP=4，QC=AP=3，PC=5．
所以 PC2=PQ2+CQ2．
所以 △PQC 为直角三角形．
19. （1） ∵ AB∥CF，
∴ ∠ABC=∠BCD=45∘．
∵ ∠E=30∘，
∴ ∠EDF=90∘−30∘=60∘．
∴ ∠DBC=∠EDF−∠BCD=60∘−45∘=15∘．
（2） 过点 B 作 BG⊥FC 于点 G，
∵ ∠ACB=90∘，AC=BC，AB=24，
∴ BC=AB2=242=122．
∵ AB∥CF，
∴ ∠BCG=∠ABC=45∘．
∵ BG⊥FC，
∴ GC=GB=BC2=1222=12．
∵ ∠BGC=∠F=90∘，
∴ BG∥EF，
∴ ∠GBD=∠E=30∘．
∵ BG=12，
∴ GD=BG3=123=43，
∴ CD=CG−DG=12−43．
20. （1） 在 △DEC 中，
因为 ∠1=∠2，
所以 DE=CE，
在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中，
因为 DE=CE，AD=BE，
所以 Rt△ADE≌Rt△BECHL．
（2） 因为 AB=AE+EB，AD=BE，
所以 AE=4．
在 Rt△AED 中，由勾股定理得 ED=AD2+AE2=5，
所以 S△ECD=12×5×5=252．
21. （1） 在 Rt△ABD 与 Rt△ACE 中，
∵ ∠BAD 与 ∠ABD 互余，∠BAD 与 ∠CAE 互余，
∴ ∠ABD=∠CAE．
又 ∵ AB=AC，∠ADB=∠CEA=90∘，
∴ Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴ DE=AD+AE=BD+CE．
（2） 成立．可设 ∠BAD=x，则在 △ABD 中，∠ABD=180∘−x−α，而 ∠CAE=180∘−x−α，故 ∠ABD=∠CAE．同理可证 △ABD≌△CAEAAS．
∴ DE=BD+CE．
22. （1） 因为 △ABC 是等边三角形，BD 是 AC 上的高线，
所以 BD 平分 ∠ABC，即 ∠ABE=30∘，
因为 AE⊥AB，
所以 ∠EAB=90∘，
所以 ∠E=180∘−90∘−30∘=60∘．
因为 M 为 BE 的中点，
所以在 Rt△EAB 中，AM=12BE=EM，
所以 △AEM 为等边三角形．
（2） 因为 AE=1，∠ABE=30∘，
所以 BE=2，
所以 AB=22−12=3，
所以 AD=32，
所以 BD=32−322=32，
所以 S△ABC=12⋅3⋅32=343．
23. （1） 因为 AC=BC，
所以 ∠CAB=∠CBA．
因为 ∠CAD=∠CBD=15∘，
所以 ∠DAB=∠DBA，
所以 AD=BD．在 △ACD 和 △BCD 中，
因为 AC=BC,CD=CD,AD=BD,
所以 △ACD≌△BCDSSS．
（2） 因为 ∠ACD=∠BCD=∠CAB=∠CBA=45∘，
所以 ∠CDE=∠CAD+∠ACD=15∘+45∘=60∘．
因为 ∠EAB=∠DBA=∠CAB−∠CAE=45∘−15∘=30∘，
所以 ∠EDB=∠DAB+∠DBA=60∘，
所以 ∠CDE=∠EDB，
即 DE 平分 ∠CDB．
（3） 易证 △CDE≌△MDE，
所以 ME=CE=8，∠DEC=∠DEM=75∘．
所以 ∠MEF=30∘．
因为 EM=FM，
所以 ∠MEF=∠MFE=30∘，
所以 ∠EMF=180∘−30∘−30∘=120∘，
所以 ∠FMB=180∘−120∘−45∘=15∘=∠CBD，
所以 FB=MF=8．
24. （1） 如图所示，分割后的 3 个等腰三角形为 △ABD，△ADE，△AEC．
（2） 设 ∠C=x，则 ∠CAD=180∘−2x，∠EBD=∠BED=x2，∠BAD=∠ABE=x4，∠CBA=34x．
∵BC=AC，
∴∠CAB=∠CBA，即 180∘−74x=34x，
解得 x=72∘．