2021年上海市普陀区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市普陀区中考二模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列计算中，正确的是
A. 2a2+3a=5a3B. 2a2⋅3a=5a3C. 2a2÷3a=23aD. 2a23=8a5

2. 下列单项式中，可以与 x2y3 合并同类项的是
A. x3y2B. y3x22C. 3x2yD. 2x2y3z

3. 方程 x+2=x 的根是
A. x=−2B. x=−1C. x=0D. x=2

4. 已知两组数据：x1，x2，x3，x4，x5 和 x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是
A. 平均数相等B. 中位数相等C. 众数相等D. 方差相等

5. 已知在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，AB=AʹBʹ，AC=AʹCʹ，下列条件中，不一定能得到 △ABC≌△AʹBʹCʹ 的是
A. BC=BʹCʹB. ∠A=∠Aʹ
C. ∠C=∠CʹD. ∠B=∠Bʹ=90∘

6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A，B 均在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，将 △ABC 绕着顶点 B 旋转后，点 C 的对应点 Cʹ 落在 y 轴上，点 A 的对应点 Aʹ 落在反比例函数 y=6x 在第一象限的图象上．如果点 B，C 的坐标分别是 0,−4，−2,0，那么点 Aʹ 的坐标是
A. 3,2B. 32,4C. 2,3D. 4,32

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解：a3−4a= ．

8. 已知 fx=2x−1，则 f3= ．

9. 不等式组 −2x<4,x−3<1 的解集是 ．

10. 已知正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数值 y 随 x 的值增大而减小，那么 k 的取值范围是 ．

11. 如果关于 x 的方程 x2−x+m−1=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值等于 ．

12. 抛物线 y=ax2+ax+2a≠0 的对称轴是直线 ．

13. 为了唤起公众的节水意识，从 1993 年起，联合国将每年的 3 月 22 日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内 100 户节约用水的家庭，5 月份这 100 户家庭节约用水的情况如表所示，那么 5 月份这 100 户家庭节水量的平均数是 吨．
每户节水量单位:吨567.2节水户户数622810

14. 小明已有两根长度分别是 2 cm 和 5 cm 的细竹签，盒子里有四根长度分别是 3 cm，4 cm，7 cm，8 cm 的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于 ．

15. 如图，两条平行线 l1，l2 分别经过正五边形 ABCDE 的顶点 B，C，如果 ∠1=20∘，那么 ∠2= ．

16. 如图，已知 △ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，点 F 在 DE 的延长线上，EF=DE，设 BC=a，AF=b，那么向量 AC 用向量 a，b 表示是 ．

17. 已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BC=6，以 A 为圆心 2 为半径长作 ⊙A，以 B 为圆心 BC 为半径作 ⊙B，如果 ⊙A 与 ⊙B 内切，那么 △ABC 的面积等于 ．

18. 如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 为边 BC 的中点，点 F 在 AE 上，过点 F 作 MN⊥AE，分别交边 AB，DC 于点 M，N，连接 FC，如果 △FNC 是以 CN 为底边的等腰三角形，那么 FC= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：−12020+13−12−∣3−2∣+27．

20. 解方程：2xx+3−24x2+2x−3=1．

21. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知直线 y=−12x+2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B，一个正比例函数的图象与这直线交于点 C，点 C 的横坐标是 1．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线 y=−12x+2 于点 D，设平移后函数图象的截距为 b，如果交点 D 始终落在线段 AB 上，求 b 的取值范围．

22. 如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定，窗钩的一个端点 A 固定在窗户底边 OE 上，且与转轴底端 O 之间的距离为 20 cm，窗钩的另一个端点 B 可在窗框边上的滑槽 OF 上移动，滑槽 OF 的长度为 17 cm，AB，BO，AO 构成一个三角形．当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是 7 cm 的位置时（如图 2），窗户打开的角 ∠AOB 的度数为 37∘．
（参考数据：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，tan37∘≈0.75，2≈1.4）
（1）求钩 AB 的长度（精确到 1 cm）；
（2）现需要将窗户打开的角 ∠AOB 的度数调整到 45∘ 时，求此时窗钩端点 B 与点 O 之间的距离（精确到 1 cm）．

23. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC 、边 BC 的延长线上，四边形 AEFD 是菱形，菱形的对角线 AF 分别交 DE，DC 于点 P，Q，AFBF=EFPF．求证：
（1）四边形 ABCD 为矩形；
（2）BE⋅DQ=FQ⋅PE．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−2,0，B6,0，与 y 轴交于点 C，点 D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线 AD 与直线 BC 交于点 E．
（1）求 b，c 的值和直线 BC 的表达式；
（2）设 ∠CAD=45∘，求点 E 的坐标；
（3）设点 D 的横坐标为 d，用含 d 的代数式表示 △ACE 与 △DCE 的面积比．

25. 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，CD=5，csC=35（如图）．M 是边 BC 上一个动点（不与点 B，C 重合），以点 M 为圆心，CM 为半径作圆，⊙M 与射线 CD 、射线 MA 分别相交于点 E，F．
（1）设 CE=185，求证：四边形 AMCD 是平行四边形．
（2）连接 EM，设 ∠FMB=∠EMC，求 CE 的长；
（3）以点 D 为圆心，DA 为半径作圆，⊙D 与 ⊙M 的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时 ⊙M 的半径长．
答案
第一部分
1. C【解析】A．2a2+3a，无法计算，故此选项错误；
B．2a2⋅3a=6a3，故此选项错误；
C．2a2÷3a=23a，故此选项正确；
D．2a23=8a6，故此选项错误．
2. B【解析】A、 x3y2 与 x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、 y3x22 与 x2y3，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符合题意；
C、 x2y 与 x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、 2x2y3z 与 x2y3，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
3. D【解析】将方程两边平方得：
x+2=x2．
解这个一元二次方程得：
x1=2，x2=−1．
检验：把 x1=2，x2=−1 分别代入原方程，
x=2 是原方程的根，x=−1 是原方程的增根．
∴ 原方程的根为：x=2．
4. D【解析】∵ 新数据是在原数据的基础上每个加 2，
∴ 这两组数据的波动幅度不变．
5. C
【解析】A．由 AB=AʹBʹ，AC=AʹCʹ，BC=BʹCʹ 可以判定 △ABC≌△AʹBʹCʹSSS，不符合题意．
B．由 AB=AʹBʹ，AC=AʹCʹ，∠A=∠Aʹ 可以判定 △ABC≌△AʹBʹCʹSAS，不符合题意．
C．由 AB=AʹBʹ，AC=AʹCʹ，∠C=∠Cʹ 不可以判定 △ABC≌△AʹBʹCʹSSA，符合题意．
D．由 AB=AʹBʹ，AC=AʹCʹ，∠B=∠Bʹ=90∘ 可以判定 Rt△ABC≌Rt△AʹBʹCʹHL，不符合题意．
6. A【解析】设 AʹB 与 x 轴的交点为 D，
由题意可知 D2,0，
设直线 AʹB 的解析式为 y=kx−4，
把 D2,0 代入得 0=2k−4，解得 k=2，
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=2x−4，
由 y=6x,y=2x−4 解得 x=3,y=2 或 x=−1,y=−6,
∴ 点 Aʹ 的坐标是 3,2．
第二部分
7. aa+2a−2
【解析】a3−4a=aa2−4=aa+2a−2．
8. 3+1
【解析】当 x=3 时，f3=23−1=23+13−13+1=3+1．
9. −2【解析】解不等式 −2x<4，得：x>−2，
解不等式 x−3<1，得：x<4，
则不等式组的解集为 −210. k<0
【解析】∵ 对于正比例函数 y=kxk≠0，y 随 x 的值增大而减小，
∴k<0．
11. 54
【解析】∵ 方程 x2−x+m−1=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=−12−4m−1=0，解得 m=54．
12. x=−12
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴方程 x=−b2a，
∴ 抛物线 y=ax2+ax+2a≠0 的对称轴是 x=−a2a=−12，
即对称轴是 x=−12．
13. 5.5
【解析】5 月份这 100 户家庭节水量的平均数是 5×62+6×28+7.2×10100=5.5（吨）．
14. 14
【解析】∵ 已有两根长度分别是 2 cm 和 5 cm 的细竹签，
∴ 设第 3 根，竹签长为 x cm，则第三根可以构成三角形的范围是：3故只有 4 cm，符合题意，
则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：14．
15. 92∘
【解析】∵ 正五边形 ABCDE 的一个内角是 108∘，
∴∠3=108∘−∠1=108∘−20∘=88∘，
∵l1∥l2，∠3=88∘，
∴∠2=180∘−88∘=92∘．
16. 2b−a
【解析】如图，在 △ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE∥BC，且 DE=12BC．
∵BC=a，
∴DE=12a．
又 ∵EF=DE，
∴EF=DE=12a．
∵AF=b，
∴AE=AF−EF．
∵ 点 E 是 AC 的中点，
∴AC=2AE=2AF−EF=2b−12a=2b−a．
17. 37
【解析】∵⊙A 的半径为 2，⊙B 的半径为 6，⊙A 与 ⊙B 内切，
∴AB=6−2=4，
过点 A 作 AD⊥BC 于 D，
则 BD=12BC=3，
由勾股定理得，AD=AB2−BD2=42−32=7，
∴△ABC 的面积 =12×6×7=37．
18. 435
【解析】延长 AE，DC 交于点 Aʹ，过点 F 作 FH⊥CD 于 H，
∵ABCD 是正方形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，
∴∠1=∠Aʹ．
在 △ABE 和 △AʹCE 中，
∠1=∠Aʹ,∠AEB=∠AʹEC,BE=EC,
∴△ABE≌△AʹCEAAS．
∴AB=AʹC=4．
∵E 为边 BC 的中点，
∴BE=EC=12BC=2．
∴AE=AB2+BE2=25．
∴sin∠1=BEAE=55．
∴sin∠Aʹ=55．
∵AE⊥MN，
∴∠AʹFN=90∘．
∴∠Aʹ+∠2=90∘．
∴cs∠2=sin∠Aʹ=55．
∵FN=FC，FH⊥CN，
∴NH=CH=12CN．
设 NH=x，则 NC=2x．
∴AʹN=AʹC+NC=4+2x．
在 Rt△FHN 中，cs∠2=NHFN=55，
∴FN=5x．
在 Rt△AʹFN 中，cs∠2=FNAʹN=55，
∴5x4+2x=55．
∴x=43．
∴FC=FN=5x=435．
第三部分
19. 原式=−1+312−2−3+33=−1+3−2+3+33=53−3.
20. 方程两边同乘以 x+3x−1 得：
2xx−1−24=x+3x−1.
整理得：
2x2−2x−24=x2+2x−3.
则
x2−4x−21=0.x−7x+3=0.
解得：
x1=7,x2=−3.
检验：当 x=−3 时，x+3x−1=0，
故 x=−3 是方程的增根，
当 x=7 时，x+3x−1≠0，
故 x=7 是原方程的根．
21. （1） 把 x=1 代入 y=−12x+2 得，y=32，
∴ C1,32，
设正比例函数解析式为 y=kx，
把 C 的坐标代入得 k=32，
∴ 正比例函数的解析式为 y=32x．
（2） 直线 y=−12x+2 中，令 y=0，则 x=4，
∴ A4,0，B0,2，
设平移后的直线解析式为 y=32x+b，
把 A4,0 代入得，32×4+b=0，
解得 b=−6，
∴ 符合题意的 b 的取值范围是 −6≤b≤2．
22. （1） 如图 2，过点 A 作 AH⊥OF 于 H，
∵sinO=AHAO=0.6，
∴AH=20×0.6=12cm，
∴OH=AO2−AH2=400−144=16cm，
∴BH=16−7=9cm，
∴AB=AH2+BH2=144+81=15cm．
（2） ∵∠AOB=45∘，AH⊥OF，
∴AH=OH=102cm，
∴BH=AB2−AH2=225−200=5cm，
∴OB=OH−BH=14−5=9cm，
答：此时窗钩端点 B 与点 O 之间的距离为 9 cm．
23. （1） ∵ 四边形 ADFE 是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EPF=90∘，
∵AFBF=EFPF，∠PFE=∠AFB，
∴△ABF∽△EPF，
∴∠ABE=∠EPF=90∘，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=EF，
∴EC+CF=BE+CE，
∴BE=CF，
∵∠DPF=∠QCF=90∘，∠CQF=∠PQD，
∴△DPQ∽△FCQ，
∴FQDQ=CFDP，
∴FQDQ=BEPE，
∴BE⋅DQ=FQ⋅PE．
24. （1） 因为抛物线 y=12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−2,0，B6,0，
所以 0=12×4−2b+c,0=12×36+6b+c,
解得 b=−2,c=−6,
所以抛物线解析式为 y=12x2−2x−6，
当 x=0 时，y=−6，
所以点 C0,−6，
设直线 BC 解析式为 y=mx+n，
则 n=−6,0=6m+n,
解得：m=1,n=−6,
所以直线 BC 解析式为 y=x−6；
（2） 如图 1，过点 E 作 EH⊥OC 于 H，
因为点 C0,−6，点 B6,0，点 A−2,0，
所以 OB=OC=6，OA=2，
所以 ∠OBC=∠OCB=45∘，BC=62，AC=OA2+OC2=4+36=210，
因为 ∠ABC=∠CAD=45∘，∠ACE=∠ACB，
所以 △ACE∽△BCA，
所以 ACBC=CEAC，
所以 21062=CE210，
所以 CE=1023，
因为 EH⊥CO，∠ECH=45∘，
所以 EH=HC=103，
所以 OH=83，
所以点 E103,−83；
（3） 因为点 D 的横坐标为 d，
所以点 Dd,12d2−2d−6 0如图 2，过点 D 作 DF∥AB 交 BC 于点 F，
所以 △ABE∽△DFE，
所以 ABDF=AEDE，
因为 S△ACES△DCE=AEDE，
所以 S△ACES△DCE=ABDF．
因为点 F 在直线 BC 上，
所以点 F12d2−2d,12d2−2d−6，
所以 DF=3d−12d2，
所以 S△ACES△DCE=83d−12d2=166d−d2．
25. （1） 如图 1 中，连接 EM，过点 M 作 MG⊥CD 于 G，
则 EG=CG=95，
在 Rt△CGM 中，CM=CGcsC=9535=3，
∴AD=CM，
∵AD∥CM，
∴ 四边形 AMCD 是平行四边形．
（2） 如图 2 中，过点 E 作 EH⊥BC 于 H，过点 M 作 MT⊥EC 于 T．
∵ME=MC，MT⊥EC，
∴CT=ET，
∴csC=CTCM=35，
设 EC=6k，则 CT=ET=3k，MC=ME=5k，
在 Rt△CEH 中，EH=45CE=245k，CH=35EC=185k，
∴MH=CM−CH=75k，
∴tan∠EMH=247，
∵∠FMB=∠EMC，
∴tan∠FMB=ABBM=4BM=247，
∴BM=76，
∴CM=BC−BM=296=5k，
∴CE=6k=295．
（3） 如图 3−1 中，当公共弦经过点 A 时，过点 D 作 DP⊥BC 于 P，
则四边形 ABPD 是矩形．
∴AD=BP=3，
在 Rt△CDP 中，csC=PCCD=35，
∵CD=5，
∴PC=3，AB=PD=4，
∴BC=3+3=6，
设 CM=AM=x，
在 Rt△ABM 中，则有 x2=42+6−x2，
解得 x=133，
∴⊙M 的半径为 133．
如图 3−2 中，当公共弦经过点 D 时，连接 MD，MP，过点 M 作 MN⊥AD 于 N．
设 CM=ME=MP=x，则 DN=x−3，
∵DM2=MN2+DN2=MP2−DP2，
∴42+x−32=x2−32，
∴x=173，
综上所述，满足条件的 ⊙M 的半径为 133 或 173．