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2018_2019学年成都市大邑县九上期末数学试卷
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这是一份2018_2019学年成都市大邑县九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. sin30∘=
A. 13B. 12C. 22D. 32
2. 在 △ABC 中，MN∥BC 分别交 AB，AC 于点 M，N，若 AM=1，MB=2，BC=3，则 MN 的长为
A. 1B. 43C. 32D. 2
3. 关于 x 的方程 x2−2x−1=0 的根的判别式 Δ 说法正确的是
A. Δ<0B. Δ≠0C. Δ>0D. Δ=0
4. 点 x1,3，x2,−2 在反比例函数 y=−1x 的图象上，则下列一定正确的是
A. x1>x2B. x1≥x2C. x1
5. 将二次函数 y=x2+4x+3 化成顶点式，变形正确的是
A. y=x−22−1B. y=x+1x+3
C. y=x−22+1D. y=x+22−1
6. 如图所示的几何体的左视图是
A. B.
C. D.
7. 不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共 20 个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取 2020 次球，发现有 505 次摸到白球，则口袋中白球的个数是
A. 5B. 10C. 15D. 20
8. 已知菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是
A. 36B. 30C. 24D. 20
9. 如图，四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 是以点 O 为位似中心的位似图形，若 OB:OBʹ=2:3，则四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为
A. 4:9B. 2:5C. 2:3D. 2:3
10. 下列四个函数图象中，当 x<0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
11. 函数 y=−x2+2x−1 的图象与 x 轴的交点坐标为 ．
12. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，∠B=37∘，则 BC 的长为 （注：tanB=0.75，sinB=0.6，csB=0.8）．
13. 如图所示，此时树的影子是在 （填太阳光或灯光）下的影子．
14. 在二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x⋯−2−1012⋯y⋯0−2−204⋯
则 a+b+c= ．
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 计算：
（1）2×−12017+12−1−2cs45∘−2；
（2）解方程：x2−2x−3=0．
16. 若关于 x 的方程 kx2−k+1x+k4=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）是否存在实数 k，使方程的一个实数根是 1，若存在，求出 k 的值，若不存在，说明理由．
17. 小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字 1，2 的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成 3 个相等的扇形，并分别标有数字 −1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积为负数的概率．
18. 某校“我爱应用数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆 AC 的高度”，如表是该课题小组成员在课外实践活动中的部分记录内容：
（1）设 AB 的长为 x 米，分别求 BD，BE 的长（分别用含 x 的代数式表示）．
（2）将（1）中求出的结果代入等式 BE−BD=12 中，求出 x 的值．
（3）求出旗杆 AC 的高度．
19. 如图一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=4xx>0 的图象交于点 Am,4，B2,n 两点，与坐标轴分别交于 M，N 两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 kx+b−4x<0 中 x 的取值范围；
（3）求 △AOB 的面积．
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点 D，点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒．
（1）求线段 CD 的长；
（2）当 △CPQ 与 △BDC 相似时，求 t 值；
（3）设 △CPQ 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式，并判断 △PCQ 的面积是否有最大值或者最小值?若有，求出 t 为何值时 y 的最值，若没有，则说明理由．
四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 x1，x2 是方程 x2+5x−6=0 的两根，则 x22−5x1+6 的值为 ．
22. 从 −3，−1，0，1，2 这 5 个数中任意取出一个数记作 k，则既能使函数 y=kx 的图象经过第一、第三象限，又能使关于 x 的一元二次方程 x2−kx+1=0 有实数根的概率 = ．
23. 在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF，GH，分别交平行四边形 ABCD 的四条边于 E，G，F，H 四点，连接 EG，GF，FH，HE．
（1）如图①，四边形 EGFH 的形状是 ；
（2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，四边形 EGFH 的形状是 ．
24. 如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y=kx（k>0）的图象与 BC 边交于点 E．当常数 k= 时，△EFA 的面积有最大值，其最大面积 = ．
25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为 −1,0，其部分图象如图所示，下列结论：
① b2>4ac；
②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3；
③ a>−c3；
④当 y>0 时，x 的取值范围是 −1⑤当 x>0 时，y 随 x 增大而增大．
上述五个结论中正确的有 （填序号）．
五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第 1 天算起，第 x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元），求 y 与 x1≤x<15 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大?
（3）在（2）的条件下，若要使第 15 天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元?
27. 如图已知正方形 ABCD，点 M 是边 AB 的中点．
（1）如图 1，点 G 为线段 CM 上一点，且 ∠AGB=90∘，延长 AG，BG 分别与边 BC，CD 交于点 E，F．
①求证：BE=CF=CG；
②求证：BE2=BC⋅CE．
（2）如图 2，若点 E 为边 BC 的黄金分割点时（BE>CE），连接 BG 并延长交 CD 于点 F，求 tan∠CBF 的值．
28. 如图 1，已知抛物线 y=ax2−5ax+2a≠0 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A1,0 和点 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求经过点 B 且与抛物线只有一个交点的直线 PQ 的解析式；
（3）若点 N 是抛物线上的动点，过点 N 作 NH⊥x 轴，垂足为 H，以 B，N，H 为顶点的三角形是否能够与 △OBC 相似?若能，请求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴AMAB=MNCB，
∵AM=1，MB=2，BC=3，
∴11+2=NM3，
∴MN=1．
3. C【解析】∵a=1，b=−2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×−1=8>0．
4. C【解析】如图，观察图形可知：x15. D
【解析】y=x2+4x+3=x2+4x+4−1=x+22−1．
6. B
7. A【解析】设白球有 x 个，
根据题意得：x20=5052020，
解得：x=5，
即白球有 5 个．
8. D
9. A【解析】∵ 四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 是以点 O 为位似中心的位似图形，OB:OBʹ=2:3，
∴AB:AʹBʹ=OB:OBʹ=2:3，
∴ 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为：232=49．
10. D
第二部分
11. 1,0
【解析】解方程 −x2+2x−1=0 得：x1=x2=1，
∴ 函数 y=−x2+2x−1 的图象与 x 轴的交点坐标为 1,0．
12. 4
【解析】∵∠C=90∘，
∴tanB=ACBC，
∴BC=3tan37∘=30.75=4．
13. 太阳光
【解析】此时的影子是在太阳光下（太阳光或灯光）的影子，
理由是：通过作图发现相应的直线是平行关系．
14. 0
【解析】因为 x=1 时，y=0，
所以 a+b+c=0．
第三部分
15. （1） 原式=2×−1+2−2×22−2=−2+2−2+2=0.
（2）
x2−2x−3=0.x−3x+1=0.x−3=0,x+1=0.x1=3,x2=−1.
16. （1） ∵ 关于 x 的方程 kx2−k+1x+k4=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0 且 k≠0，即 k+12−4k×k4>0 且 k≠0，
解得 k>−12 且 k≠0．
（2） 存在，理由如下：
若方程的一个实数根是 1，则 k−k+1+k4=0，解得 k=4，符合条件，
即当 k 的值为 4 时方程有一个实数根为 1．
17. （1） 列表如表：
−13411,−11,31,422,−12,32,4
（2） ∵ 由表格知共有 6 种等可能结果，两数之积为负数的情况共有 2 种可能：1,−1，2,−1，
∴P两数之积为负数=26=13．
18. （1） 在 Rt△ABD 中，
∵∠ADB=60∘，∠ABD=90∘，AB=x，
∴BD=AB⋅tan30∘=33x，
在 Rt△ABE 中，BE=AB⋅tan60∘=3x．
（2） ∵BE−BD=12，
∴3x−33x=12，
解得 x=63．
（3） 旗杆 AC 的高度为 AB+BC=63+85 米．
19. （1） 把 Am,4，B2,n 代入反比例解析式得：m=1，n=2，
∴A1,4，B2,2，
把 A 与 B 代入一次函数解析式得：k+b=4,2k+b=2.
解得：k=−2,b=6.
则一次函数解析式为 y=−2x+6；
（2） 根据图象得：kx+b−4x<0 时，x 的取值范围为 02；
（3） 对于一次函数 y=−2x+6，
令 x=0，得到 y=6；令 y=0，得到 x=3，即 M0,6，N3,0，∴S△AOB=S△NMO−S△AOM−S△BON=12×6×3−12×6×1−12×2×3=9−3−3=3．
20. （1） ∵∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD．
∴CD=BC⋅ACAB=6×810=4.8．
∴ 线段 CD 的长为 4.8．
（2） 由题可知有两种情形，
设 DP=t，CQ=t，则 CP=4.8−t．
①当 PQ⊥CD 时，如图 1，
∵△QCP∽△CBD，△ABC∽△CBD，
∴△QCP∽△ABC，
∴CQAB=CPBC，即 t10=4.8−t6，
∴t=3；
②当 PQ⊥AC，如图 2，
∵△PCQ∽△CBD，△ABC∽△CBD，
∴△PCQ∽△ABC，
∴CPAB=CQBC，即 4.8−t10=t6，解得 t=95．
∴ 当 t 为 3 或 95 时，△CPQ 与 △BDC 相似．
（3） 结论：△PCQ 的面积有最大值．
理由：过点 P 作 PH⊥AC，垂足为 H，如图 3 所示．
由题可知 DP=t，CQ=t，则 CP=4.8−t．
∵∠ACB=∠CDB=90∘，
∴∠HCP=90∘−∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90∘．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴PHAC=PCAB，
∴PH8=4.8−t10，
∴PH=9625−45t．
∴S=S△CPQ=12CQ⋅PH=12t9625−45t=−25t2+4825t=−25t2−245t=−25t−1252+288125,
∵−25<0，
∴S 有最大值，
∴ 当 t=125 时，S最大=288125．
第四部分
21. 37
【解析】∵x1，x2 是方程 x2+5x−6=0 的两根，
∴x22+5x2=6，x1+x2=−5，
∴x22−5x1+6=x22+5x2−5x2−5x1+6=6−5x1+x2+6=12+25=37.
22. 15
【解析】这 5 个数中能使函数 y=kx 的图象经过第一、第三象限的有 1，2 这 2 个数，
∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−kx+1=0 有实数根，
∴k2−4≥0，解得 k≤−2 或 k≥2，能满足这一条件的数是：−3，2 这 2 个数，
∴ 能同时满足这两个条件的只有 2 这个数，
∴ 此概率为 15．
23. 平行四边形，菱形，菱形，正方形
【解析】（1）结论：四边形 EGFH 是平行四边形．
理由：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AE∥CF，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
同理可证：OG=OH，
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形，
（2）∵ 四边形 EGFH 是平行四边形，EF⊥GH，
∴ 四边形 EGFH 是菱形；
（3）菱形；
由（2）知四边形 EGFH 是菱形，
当 AC=BD 时，对四边形 EGFH 的形状不会产生影响；
（4）四边形 EGFH 是正方形；
证明：
∵AC=BD，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形；
又 ∵AC⊥BD，
∴ 平行四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BOC=90∘，∠GBO=∠FCO=45∘，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90∘；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90∘，
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COFASA，
∴OG=OF，
同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形 EGFH 是菱形，
又 EF=GH，
∴ 四边形 EGFH 是正方形．
24. 3，34
【解析】由题意知 E，F 两点坐标分别为 Ek2,2，F3,k3，
∴S△EFA=12AF⋅BE=12×13k3−12k=12k−112k2=−112k2−6k+9−9=−112k−32+34,
在边 AB 上，不与 A，B 重合，即 0 ∴ 当 k=3 时，S 有最大值．
S最大值=34．
25. ①②
【解析】∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴b2−4ac>0，即 b2>4ac，
∴ ①正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，而点 −1,0 关于直线 x=1 的对称点的坐标为 3,0，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3，
∴ ②正确；
∵x=−b2a=1，即 b=−2a，而 x=−1 时，y=0，即 a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，即 a=−c3，
∴ ③错误；
∵ 抛物线与 x 轴的两点坐标为 −1,0，3,0，
∴ 当 −10，
∴ ④错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 当 x<1 时，y 随 x 增大而增大，
∴ ⑤错误．
第五部分
26. （1） 设该种水果每次降价的百分率是 x，
101−x2=8.1,x=10%或x=190%舍去,
答：该种水果每次降价的百分率是 10%．
（2） 当 1≤x<9 时，第 1 次降价后的价格：10×1−10%=9（元），
∴y=9−4.180−3x−40+3x=−17.7x+352，
∵−17.7<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=1 时，y 有最大值，
Y最大=−17.7×1+352=334.3，
当 9≤x<15 时，第 2 次降价后的价格：8.1 元，
∴y=8.1−4.1120−x−3x2−64x+400=−3x2+60x+80=−3x−102+380,
∵−3<0，
∴ 当 9≤x≤10 时，y 随 x 的增大而增大，
当 10 ∴ 当 x=10 时，y 有最大值，
Y最大=380，380>334.3，
综上所述，y 与 x1≤x<15 之间的函数关系式为：y=−17.7x+352,1≤x<9−3x2+60x+80,9≤x<15．
第 10 天时销售利润最大．
（3） 设第 15 天在第 14 天的价格基础上可降 a 元，
由题意得：
380−127.5≤8.1−4.1−a120−15−3×152−64×15+400,252.5≤1054−a−115,a≤0.5,
答：第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降 0.5 元．
27. （1） ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90∘，
∴∠ABG+∠CBF=90∘，
∵∠AGB=90∘，
∴∠ABG+∠BAG=90∘，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90∘，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∵∠AGB=90∘，点 M 为 AB 的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠MBG=∠MGB，
∵∠MBG=∠GFC，∠MGB=∠FGC，
∴∠GFC=∠FGC，
∴CF=CG，
∴BE=CF=CG，
② ∵∠AGB=90∘，点 M 为 AB 的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又 ∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又 ∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴CECG=CGCB，
即 CG2=BC⋅CE，
由①知 BE=CG，
∴BE2=BC⋅CE．
（2） 延长 AE，DC 交于点 N，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又 ∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∼△BEA，
∴CEBE=CNBA，即 BE⋅CN=AB⋅CE，
∵AB=BC，BE2=BC⋅CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴CNAM=CGGM=CFBM，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为 1，BE=x，
由 BE2=BC⋅CE 可得 x2=1⋅1−x，
解得：x1=5−12，x2=−5−12（舍），
∴BEBC=5−12，
则 tan∠CBF=CFBC=BEBC=5−12．
28. （1） 把 A1,0 代入抛物线 y=ax2−5ax+2 中得：
∴a−5a+2=0，
∴a=12，
∴ 抛物线的解析式为：y=12x2−52x+2．
（2） 当 y=0 时，12x2−52x+2=0，
解得：x1=1，x2=4，
∴B4,0，
设直线 PQ 的解析式为：y=kx+bk≠0，
12x2−52x+2=kx+b，
12x2+−52−kx+2−b=0，
Δ=−52−k2−4×12×2−b=0, ⋯⋯①
把 B4,0 代入 y=kx+b=0 中，得：4k+b=0, ⋯⋯②
由 ①② 得：k=32,b=−6,
∴ 直线 PQ 的解析式为：y=32x−6 或 x=4．
（3） 设 Nx,12x2−52x+2，分三种情况：
①当 N 在第四象限时，△OBC∽△HBN，如图 1，
∴OBBH=OCHN，即 44−x=2−12x2−52x+2，
解得：x1=2，x2=4（不合题意舍去），
∴N2,−1，
②当 N 在第一象限时，△OBC∽△HNB，如图 2，
∴OB:HN=OC:BH，即 4−12x2−52x+2=24−x，
解得：x1=5，x2=4（不合题意舍去），
∴N5,2．
③当 N 在第二象限时，△OBC∽△HNB，如图 3，
∴OB:HN=OC:BH，即 412x2−52x+2=24−x，
解得：x1=−3，x2=4（不合题意舍去），
∴N−3,14．
综上所述，N 点的坐标为 5,2，2,−1 或 −3,14．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. sin30∘=
A. 13B. 12C. 22D. 32
2. 在 △ABC 中，MN∥BC 分别交 AB，AC 于点 M，N，若 AM=1，MB=2，BC=3，则 MN 的长为
A. 1B. 43C. 32D. 2
3. 关于 x 的方程 x2−2x−1=0 的根的判别式 Δ 说法正确的是
A. Δ<0B. Δ≠0C. Δ>0D. Δ=0
4. 点 x1,3，x2,−2 在反比例函数 y=−1x 的图象上，则下列一定正确的是
A. x1>x2B. x1≥x2C. x1
5. 将二次函数 y=x2+4x+3 化成顶点式，变形正确的是
A. y=x−22−1B. y=x+1x+3
C. y=x−22+1D. y=x+22−1
6. 如图所示的几何体的左视图是
A. B.
C. D.
7. 不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共 20 个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取 2020 次球，发现有 505 次摸到白球，则口袋中白球的个数是
A. 5B. 10C. 15D. 20
8. 已知菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是
A. 36B. 30C. 24D. 20
9. 如图，四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 是以点 O 为位似中心的位似图形，若 OB:OBʹ=2:3，则四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为
A. 4:9B. 2:5C. 2:3D. 2:3
10. 下列四个函数图象中，当 x<0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
11. 函数 y=−x2+2x−1 的图象与 x 轴的交点坐标为 ．
12. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，∠B=37∘，则 BC 的长为 （注：tanB=0.75，sinB=0.6，csB=0.8）．
13. 如图所示，此时树的影子是在 （填太阳光或灯光）下的影子．
14. 在二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x⋯−2−1012⋯y⋯0−2−204⋯
则 a+b+c= ．
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 计算：
（1）2×−12017+12−1−2cs45∘−2；
（2）解方程：x2−2x−3=0．
16. 若关于 x 的方程 kx2−k+1x+k4=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）是否存在实数 k，使方程的一个实数根是 1，若存在，求出 k 的值，若不存在，说明理由．
17. 小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字 1，2 的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成 3 个相等的扇形，并分别标有数字 −1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积为负数的概率．
18. 某校“我爱应用数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆 AC 的高度”，如表是该课题小组成员在课外实践活动中的部分记录内容：
（1）设 AB 的长为 x 米，分别求 BD，BE 的长（分别用含 x 的代数式表示）．
（2）将（1）中求出的结果代入等式 BE−BD=12 中，求出 x 的值．
（3）求出旗杆 AC 的高度．
19. 如图一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=4xx>0 的图象交于点 Am,4，B2,n 两点，与坐标轴分别交于 M，N 两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 kx+b−4x<0 中 x 的取值范围；
（3）求 △AOB 的面积．
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点 D，点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒．
（1）求线段 CD 的长；
（2）当 △CPQ 与 △BDC 相似时，求 t 值；
（3）设 △CPQ 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式，并判断 △PCQ 的面积是否有最大值或者最小值?若有，求出 t 为何值时 y 的最值，若没有，则说明理由．
四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知 x1，x2 是方程 x2+5x−6=0 的两根，则 x22−5x1+6 的值为 ．
22. 从 −3，−1，0，1，2 这 5 个数中任意取出一个数记作 k，则既能使函数 y=kx 的图象经过第一、第三象限，又能使关于 x 的一元二次方程 x2−kx+1=0 有实数根的概率 = ．
23. 在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF，GH，分别交平行四边形 ABCD 的四条边于 E，G，F，H 四点，连接 EG，GF，FH，HE．
（1）如图①，四边形 EGFH 的形状是 ；
（2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，四边形 EGFH 的形状是 ．
24. 如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F 的反比例函数 y=kx（k>0）的图象与 BC 边交于点 E．当常数 k= 时，△EFA 的面积有最大值，其最大面积 = ．
25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为 −1,0，其部分图象如图所示，下列结论：
① b2>4ac；
②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3；
③ a>−c3；
④当 y>0 时，x 的取值范围是 −1
上述五个结论中正确的有 （填序号）．
五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第 1 天算起，第 x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元），求 y 与 x1≤x<15 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大?
（3）在（2）的条件下，若要使第 15 天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元?
27. 如图已知正方形 ABCD，点 M 是边 AB 的中点．
（1）如图 1，点 G 为线段 CM 上一点，且 ∠AGB=90∘，延长 AG，BG 分别与边 BC，CD 交于点 E，F．
①求证：BE=CF=CG；
②求证：BE2=BC⋅CE．
（2）如图 2，若点 E 为边 BC 的黄金分割点时（BE>CE），连接 BG 并延长交 CD 于点 F，求 tan∠CBF 的值．
28. 如图 1，已知抛物线 y=ax2−5ax+2a≠0 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A1,0 和点 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求经过点 B 且与抛物线只有一个交点的直线 PQ 的解析式；
（3）若点 N 是抛物线上的动点，过点 N 作 NH⊥x 轴，垂足为 H，以 B，N，H 为顶点的三角形是否能够与 △OBC 相似?若能，请求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴AMAB=MNCB，
∵AM=1，MB=2，BC=3，
∴11+2=NM3，
∴MN=1．
3. C【解析】∵a=1，b=−2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×−1=8>0．
4. C【解析】如图，观察图形可知：x1
【解析】y=x2+4x+3=x2+4x+4−1=x+22−1．
6. B
7. A【解析】设白球有 x 个，
根据题意得：x20=5052020，
解得：x=5，
即白球有 5 个．
8. D
9. A【解析】∵ 四边形 ABCD 和 AʹBʹCʹDʹ 是以点 O 为位似中心的位似图形，OB:OBʹ=2:3，
∴AB:AʹBʹ=OB:OBʹ=2:3，
∴ 四边形 ABCD 与四边形 AʹBʹCʹDʹ 的面积比为：232=49．
10. D
第二部分
11. 1,0
【解析】解方程 −x2+2x−1=0 得：x1=x2=1，
∴ 函数 y=−x2+2x−1 的图象与 x 轴的交点坐标为 1,0．
12. 4
【解析】∵∠C=90∘，
∴tanB=ACBC，
∴BC=3tan37∘=30.75=4．
13. 太阳光
【解析】此时的影子是在太阳光下（太阳光或灯光）的影子，
理由是：通过作图发现相应的直线是平行关系．
14. 0
【解析】因为 x=1 时，y=0，
所以 a+b+c=0．
第三部分
15. （1） 原式=2×−1+2−2×22−2=−2+2−2+2=0.
（2）
x2−2x−3=0.x−3x+1=0.x−3=0,x+1=0.x1=3,x2=−1.
16. （1） ∵ 关于 x 的方程 kx2−k+1x+k4=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0 且 k≠0，即 k+12−4k×k4>0 且 k≠0，
解得 k>−12 且 k≠0．
（2） 存在，理由如下：
若方程的一个实数根是 1，则 k−k+1+k4=0，解得 k=4，符合条件，
即当 k 的值为 4 时方程有一个实数根为 1．
17. （1） 列表如表：
−13411,−11,31,422,−12,32,4
（2） ∵ 由表格知共有 6 种等可能结果，两数之积为负数的情况共有 2 种可能：1,−1，2,−1，
∴P两数之积为负数=26=13．
18. （1） 在 Rt△ABD 中，
∵∠ADB=60∘，∠ABD=90∘，AB=x，
∴BD=AB⋅tan30∘=33x，
在 Rt△ABE 中，BE=AB⋅tan60∘=3x．
（2） ∵BE−BD=12，
∴3x−33x=12，
解得 x=63．
（3） 旗杆 AC 的高度为 AB+BC=63+85 米．
19. （1） 把 Am,4，B2,n 代入反比例解析式得：m=1，n=2，
∴A1,4，B2,2，
把 A 与 B 代入一次函数解析式得：k+b=4,2k+b=2.
解得：k=−2,b=6.
则一次函数解析式为 y=−2x+6；
（2） 根据图象得：kx+b−4x<0 时，x 的取值范围为 0
（3） 对于一次函数 y=−2x+6，
令 x=0，得到 y=6；令 y=0，得到 x=3，即 M0,6，N3,0，∴S△AOB=S△NMO−S△AOM−S△BON=12×6×3−12×6×1−12×2×3=9−3−3=3．
20. （1） ∵∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD．
∴CD=BC⋅ACAB=6×810=4.8．
∴ 线段 CD 的长为 4.8．
（2） 由题可知有两种情形，
设 DP=t，CQ=t，则 CP=4.8−t．
①当 PQ⊥CD 时，如图 1，
∵△QCP∽△CBD，△ABC∽△CBD，
∴△QCP∽△ABC，
∴CQAB=CPBC，即 t10=4.8−t6，
∴t=3；
②当 PQ⊥AC，如图 2，
∵△PCQ∽△CBD，△ABC∽△CBD，
∴△PCQ∽△ABC，
∴CPAB=CQBC，即 4.8−t10=t6，解得 t=95．
∴ 当 t 为 3 或 95 时，△CPQ 与 △BDC 相似．
（3） 结论：△PCQ 的面积有最大值．
理由：过点 P 作 PH⊥AC，垂足为 H，如图 3 所示．
由题可知 DP=t，CQ=t，则 CP=4.8−t．
∵∠ACB=∠CDB=90∘，
∴∠HCP=90∘−∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90∘．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴PHAC=PCAB，
∴PH8=4.8−t10，
∴PH=9625−45t．
∴S=S△CPQ=12CQ⋅PH=12t9625−45t=−25t2+4825t=−25t2−245t=−25t−1252+288125,
∵−25<0，
∴S 有最大值，
∴ 当 t=125 时，S最大=288125．
第四部分
21. 37
【解析】∵x1，x2 是方程 x2+5x−6=0 的两根，
∴x22+5x2=6，x1+x2=−5，
∴x22−5x1+6=x22+5x2−5x2−5x1+6=6−5x1+x2+6=12+25=37.
22. 15
【解析】这 5 个数中能使函数 y=kx 的图象经过第一、第三象限的有 1，2 这 2 个数，
∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−kx+1=0 有实数根，
∴k2−4≥0，解得 k≤−2 或 k≥2，能满足这一条件的数是：−3，2 这 2 个数，
∴ 能同时满足这两个条件的只有 2 这个数，
∴ 此概率为 15．
23. 平行四边形，菱形，菱形，正方形
【解析】（1）结论：四边形 EGFH 是平行四边形．
理由：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AE∥CF，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
同理可证：OG=OH，
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形，
（2）∵ 四边形 EGFH 是平行四边形，EF⊥GH，
∴ 四边形 EGFH 是菱形；
（3）菱形；
由（2）知四边形 EGFH 是菱形，
当 AC=BD 时，对四边形 EGFH 的形状不会产生影响；
（4）四边形 EGFH 是正方形；
证明：
∵AC=BD，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形；
又 ∵AC⊥BD，
∴ 平行四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BOC=90∘，∠GBO=∠FCO=45∘，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90∘；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90∘，
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COFASA，
∴OG=OF，
同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形 EGFH 是菱形，
又 EF=GH，
∴ 四边形 EGFH 是正方形．
24. 3，34
【解析】由题意知 E，F 两点坐标分别为 Ek2,2，F3,k3，
∴S△EFA=12AF⋅BE=12×13k3−12k=12k−112k2=−112k2−6k+9−9=−112k−32+34,
在边 AB 上，不与 A，B 重合，即 0
S最大值=34．
25. ①②
【解析】∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴b2−4ac>0，即 b2>4ac，
∴ ①正确；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，而点 −1,0 关于直线 x=1 的对称点的坐标为 3,0，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3，
∴ ②正确；
∵x=−b2a=1，即 b=−2a，而 x=−1 时，y=0，即 a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，即 a=−c3，
∴ ③错误；
∵ 抛物线与 x 轴的两点坐标为 −1,0，3,0，
∴ 当 −1
∴ ④错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 当 x<1 时，y 随 x 增大而增大，
∴ ⑤错误．
第五部分
26. （1） 设该种水果每次降价的百分率是 x，
101−x2=8.1,x=10%或x=190%舍去,
答：该种水果每次降价的百分率是 10%．
（2） 当 1≤x<9 时，第 1 次降价后的价格：10×1−10%=9（元），
∴y=9−4.180−3x−40+3x=−17.7x+352，
∵−17.7<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=1 时，y 有最大值，
Y最大=−17.7×1+352=334.3，
当 9≤x<15 时，第 2 次降价后的价格：8.1 元，
∴y=8.1−4.1120−x−3x2−64x+400=−3x2+60x+80=−3x−102+380,
∵−3<0，
∴ 当 9≤x≤10 时，y 随 x 的增大而增大，
当 10
Y最大=380，380>334.3，
综上所述，y 与 x1≤x<15 之间的函数关系式为：y=−17.7x+352,1≤x<9−3x2+60x+80,9≤x<15．
第 10 天时销售利润最大．
（3） 设第 15 天在第 14 天的价格基础上可降 a 元，
由题意得：
380−127.5≤8.1−4.1−a120−15−3×152−64×15+400,252.5≤1054−a−115,a≤0.5,
答：第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降 0.5 元．
27. （1） ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90∘，
∴∠ABG+∠CBF=90∘，
∵∠AGB=90∘，
∴∠ABG+∠BAG=90∘，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90∘，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∵∠AGB=90∘，点 M 为 AB 的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠MBG=∠MGB，
∵∠MBG=∠GFC，∠MGB=∠FGC，
∴∠GFC=∠FGC，
∴CF=CG，
∴BE=CF=CG，
② ∵∠AGB=90∘，点 M 为 AB 的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又 ∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又 ∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴CECG=CGCB，
即 CG2=BC⋅CE，
由①知 BE=CG，
∴BE2=BC⋅CE．
（2） 延长 AE，DC 交于点 N，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又 ∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∼△BEA，
∴CEBE=CNBA，即 BE⋅CN=AB⋅CE，
∵AB=BC，BE2=BC⋅CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴CNAM=CGGM=CFBM，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为 1，BE=x，
由 BE2=BC⋅CE 可得 x2=1⋅1−x，
解得：x1=5−12，x2=−5−12（舍），
∴BEBC=5−12，
则 tan∠CBF=CFBC=BEBC=5−12．
28. （1） 把 A1,0 代入抛物线 y=ax2−5ax+2 中得：
∴a−5a+2=0，
∴a=12，
∴ 抛物线的解析式为：y=12x2−52x+2．
（2） 当 y=0 时，12x2−52x+2=0，
解得：x1=1，x2=4，
∴B4,0，
设直线 PQ 的解析式为：y=kx+bk≠0，
12x2−52x+2=kx+b，
12x2+−52−kx+2−b=0，
Δ=−52−k2−4×12×2−b=0, ⋯⋯①
把 B4,0 代入 y=kx+b=0 中，得：4k+b=0, ⋯⋯②
由 ①② 得：k=32,b=−6,
∴ 直线 PQ 的解析式为：y=32x−6 或 x=4．
（3） 设 Nx,12x2−52x+2，分三种情况：
①当 N 在第四象限时，△OBC∽△HBN，如图 1，
∴OBBH=OCHN，即 44−x=2−12x2−52x+2，
解得：x1=2，x2=4（不合题意舍去），
∴N2,−1，
②当 N 在第一象限时，△OBC∽△HNB，如图 2，
∴OB:HN=OC:BH，即 4−12x2−52x+2=24−x，
解得：x1=5，x2=4（不合题意舍去），
∴N5,2．
③当 N 在第二象限时，△OBC∽△HNB，如图 3，
∴OB:HN=OC:BH，即 412x2−52x+2=24−x，
解得：x1=−3，x2=4（不合题意舍去），
∴N−3,14．
综上所述，N 点的坐标为 5,2，2,−1 或 −3,14．
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