等和线、极化恒等式学生学案

这是一份等和线、极化恒等式学生学案，共5页。

1.等和线
平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP  OA  OB ,  R  ，若点 P在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则  k (定值) ,反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线成为等和线.
①当等和线恰为直线 AB 时， k  1 ；
②当等和线在O 点和直线 AB 之间时， k  0,1 ；
③当直线 AB 在O 点和等和线之间时， k  1,  ；
④当等和线过O 点时， k  0 ；
⑤若两等和线关于O 点对称，则定值 k 互为相反数；
⑥定值 k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；
2.等和线定理应用背景:
在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.
3.极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则
定理2 （极化恒等式的三角形模式）在中，若M是BC的中点，则有
4.三角形的五个“心”
(1).重心：三角形三条中线交点.
(2).外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
(3).内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 是三角形的内切圆的圆心，称内心。
(4).垂心：三角形三边上的高相交于一点.
5.三角形“四心”的向量表示
(1)在△ABC中，若|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|或eq \(OA,\s\up7(―→))2＝eq \(OB,\s\up7(―→))2＝eq \(OC,\s\up7(―→))2，则点O是△ABC的外心．
(2)在△ABC中，若eq \(GA,\s\up7(―→))＋eq \(GB,\s\up7(―→))＋eq \(GC,\s\up7(―→))＝0，则点G是△ABC的重心．
(3)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(―→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up7(―→))))，λ∈(0，＋∞)，则直线AP过△ABC的重心．
(4)eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))或者|eq \(OA,\s\up7(―→))|2＋|eq \(OB,\s\up7(―→))|2＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|2＋|eq \(OC,\s\up7(―→))|2＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|2＋|eq \(OA,\s\up7(―→))|2，则点O为三角形的垂心．
(5)|eq \(BC,\s\up7(―→))|·eq \(OA,\s\up7(―→))＋|eq \(AC,\s\up7(―→))|·eq \(OB,\s\up7(―→))＋|eq \(AB,\s\up7(―→))|·eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则点O为三角形的内心．
(6)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up7(―→)),|\(AB,\s\up7(―→))|)＋\f(\(AC,\s\up7(―→)),|\(AC,\s\up7(―→))|)))(λ>0)，则直线AP过△ABC的内心．
[玩转典例]
题型一 等和线定理应用
例1 （2017新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
例2 给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的eq \x\t(AB)上运动．若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
例3 (2020·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB＝eq \r(5)，BC＝eq \r(3)，P为矩形内一点，且AP＝eq \f(\r(5),2)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \r(5)λ＋eq \r(3)μ的最大值为______．
跟踪训练
1.(2020·菏泽一诊)如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点．若,则的取值范围是 ．
2.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up7(―→))＝αeq \(AB,\s\up7(―→))＋βeq \(AF,\s\up7(―→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
[
3如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→))，则m＋n的取值范围是________．
[
题型二 极化恒等式的应用
例4 (2020·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，则eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(BN,\s\up6(→))的取值范围为________．
例5 （2017新课标Ⅱ）已知 QUOTE ΔABC 是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则 QUOTE PA⋅(PB+PC) 的最小值是 ( )
A． B． C． D．
跟踪训练

1.在中，若，，在线段上运动，的最小值为
2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________
3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为
题型三 三角形五心
例6 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例7 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例8 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例9 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
跟踪训练
1.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
4.已知O是△ABC所在平面上的一点，若=== 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心