专题23+极化恒等式-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题23 极化恒等式

【方法点拨】

极化恒等式：.

说明：

（1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．

（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．

【典型例题】

例1   如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，
则的值是            ．

【答案】

【解析】设，

由极化恒等式得，

解之得可得，，因此，，

因此．

点评：

     紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.

例2   已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为　  　．

【答案】

【分析】本题的难点在于如何将“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.

【解析】设，则，在上

所以

如图，取中点为，由极化恒等式得

在，由余弦定理得

所以当，即为中点时，

所以的最小值，此时为中点.

例3  如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则·的取值范围是       .

【答案】

【分析】取AB的中点设为O，则，然后利用平几知识确定PO的取值范围，代入即可.

【解析】取AB的中点设为O，则，

当O、P、C共线时， PO取得最小值为；当P 与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，

所以的取值范围是.

例4   半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（       ）

A.             B.          C.           D.

【答案】A

【分析】直接两次使用极化恒等式即可.

【解析】由得

在平行四边形中，，

故易知四边形是菱形，且

设四边形对角线的交点为E

由极化恒等式得

所以

因为是圆内一点，所以

所以，即，选A.

例5     在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝       ．

【答案】

【分析】取MN的中点P，由极化恒等式将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.

【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得

∵的最小值为    ∴

由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.

如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1

又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=

所以cos∠ACB＝cos（150o －A）=.

例6   已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（  ）

A．    B．    C．     D．

【答案】D

【解析】设中点为，

则，

又因为，所以，

故选：D.

例7    正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件及极化恒等式入手，设的中点为，则，所以，故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，此时易求得与平面所成角的正弦值为.

【解析】设的中点为，

则由极化恒等式得，

所以，

故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，

当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，

此时易求得与平面所成角的正弦值为.

【巩固练习】

1. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________.

2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为             .

3.若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________.

4.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么a·b的最大值为________．

5.在中，已知，，则面积的最大值是        ．

6.已知单位向量，，满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

7. 已知，且向量与的夹角为120°，又，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8.已知平面向量满足，，，，那么的最小值为________．

9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．

10.在中，，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为_____.

11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_____.

12.已知正方形ABCD的边长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于点M，交CD于点N，P为平面上一点，若2＝λ＋(1－λ)，则·的最小值为__________.

13.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当·取得最小值时，sin∠PAC的值为________．

14.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，AB＝2，若点P满足·＝2，则OP的取值范围为________．

15.在△ABC中，E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则·＋2的最小值是__________．

16.在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________．

17. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， ·的取值范围是________．

18. 已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（      ）

A．    B．    C．    D．

【答案或提示】

1.【答案】9

【提示】两次使用极化恒等式，由得，.

 2.【答案】

【提示】设矩形的对角线交点为O，由，得，.

3.【答案】

【解析】根据极化恒等式得：，

故，所以的最小值为．

4.【答案】－

【提示】 由a·e＝1，b·e＝－2得: a·e －b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos＝3

a·b=[|a＋b|2－|a－b|2]≤－

5.【答案】

【提示】取BC的中点为D，则，所以

因为BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值．

6.【答案】A

【解析】∵，∴，

如图，

设中点为，则，且，

∴三点共线，，，，

∴为等腰三角形，

∴，

∴.故选：A.

7. 【答案】C

【解析】连结，则设的中点为，

由，易知，所以

故，故选：C

8.【答案】

【解析】由，得，即

      又（其中为向量与的夹角）

      所以

      所以.

9.【答案】

10.【答案】

【提示】方法同上.

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【解析】如图，取OB的中点D，连接PD，

则·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值．

由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝，

则·的最小值是－.

17.【答案】[0,2]

【解析】　由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]．

18.【答案】B

【解析】设的中点为，则

由极化恒等式得

因为，点是球面上任意一点

所以

所以 ,故选B.