北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试导学案

相似三角形的几种基本图形：

图①为“A”型图，条件是DE∥BC，基本结论是△ADE∽△ABC；

    图②为“X”型图，条件是ED∥BC，基本结论是△ADE∽△ABC；

    图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；

    图⑥是“母子”型图，条件是CD为斜边上的高，基本结论是△ACD∽△ABC∽△CBD

例1、如图，，求。（试用多种方法解）

方法一：

方法二：

例1．若，则     ．

例2．下列空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形图案，每个图案花边的宽度都相等．则其中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ D ）

例3．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有    种．　

例4．如图，已知AD为△ABC的角平分线，交AC于E，如果，那么．

例5．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为    ．

例6．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=．MN与MD有怎样的位置和数量关系？

例7．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，AD、BE分别与AC、CE交于点F、G，AD、BE交于点H．试说明：

（1）BE =AD；

（2）AF·FC=BF·FH．

例8．如图，点D是△ABC的边AC上一点，

且AB=5，AD=2，CD=1．在AB上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，并求出AE的长．

变式练习：

1．若，

     ；     ；

     ．

2．下列说法中，错误的是（   ）

A．等边三角形都相似   

B．等腰直角三角形都相似

C．矩形都相似         

D．正方形都相似

3．一个三角形框架三条边长分别为2cm、5cm、6cm，要做一个与它相似的三角形框架，现有长为3cm、5cm的两根木棒，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有多少种？请写出所有可能的方法．　

4．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是      ．

5．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．△ABD与△CED相似吗？

6．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且MN⊥MD，

（1）试说明：△ADM ∽△BMN；

（2）若AB=4，AM=1，求BN的长．

7．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．试说明：

（1）；

（2）AN·DN=CN·MN．

8．如图，在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，

点D是边AC上一点，且CD=2，点E从点B出发沿B→C方向以1cm/s的速度运动，出发多长时间后△ADE与△ABC相似？

1．如图1，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）

Ａ、逐渐变短                    Ｂ、逐渐变长  

Ｃ、先变短后变长                   Ｄ、先变长后变短

2．如图2，课堂上小亮站在座位上回答数学老师提出的问题，那么数学老师观察小亮身后，盲区是                                                              （　　）

A、△DCE      B、四边形ABCD     C、△ABF           D、△ABE

3．如图3，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，则梯子的长为                                                         (     )

A、3.85m            B、4.00m            C、4.40m             D、4.50m

4．如图4，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA＝60米，CD＝24米，DE＝32米，DE∥AB，则AB＝      米.

5．如图5，小华做物理实验，蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量蜡烛的火焰是2厘米，它的像是4厘米．如果蜡烛距离小圆孔10厘米，那么蜡烛与成像板之间的距离是________㎝．

6．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图6，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21米.当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？(光的反射定律：反射角等于入射角)

7．如图7，假设学生座位到黑板的距离是5m，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他看书桌上距离30cm的课本上的字（量得课本正文中的字的大小为0.4cm×0.35cm，）感觉相同(即视角相同)?毛

8．如图8，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面， 影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，那么这棵树高有多少米?

9．如图9，在一个长米、宽米的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着 的路线以的速度跑向C地.当他出发后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地米的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好在同一条直线上.此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.

（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？

（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到）？