人教版八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.2 三角形的高、中线与角平分线导学案及答案

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11.1.2 三角形的高、中线、角平分线

一、基本概念

1、三角形的高：过三角形   点作对边的   线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。

2、（1）三角形的中线：三角形的一个   点与它的对边   点的连线叫三角形的中线。

  （2）三角形的三条中线交于一点，这一点叫三角形的      。

3、三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的      。

二、针对训练

1．画△ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是　　．

A． B．

C． D．

2．如图，在△ABC中，的延长线于点D，的长线于点E．于点C，延长线于点E，于点C，下列说法错误的是（    ）

A．是的AB边上的高 B．是的边上的高

C．是的边上的高 D．不是的高

3．若线段和线段分别是边上的中线和高，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．三角形的角平分线、中线、高线（       ）

A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段

C．高线是直线，其余为线段       D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段

5．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（    ）

A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线

6．如图，是的平分线，则下列说法错误的是（   ）

A． B．

C． D．

7．三角形的重心是指（  ）

A．三个内角平分线的交点 B．三边上的高的交点

C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点

8．如图，是的中线，若，则的长为（  ）

A． B． C． D．

9．如图，已知，则中边上的高的长度为_______．

10．如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，点E是边AC的中点，且△ABC的面积为20，则△DEC的面积是_____．

11．已知OC是∠AOB的平分线．有下列结论：①∠AOB=∠BOC；②∠AOC=∠AOB；③∠AOC=∠BOC；④∠AOB=2∠AOC．其中正确结论的个数是______.

12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm；

求（1）△ABC的面积；（2）CD的长．

13．阅读下列材料，并完成相应的任务.

基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图，是的边上的中线，

则

理由：过点作于点

∵是的边上的中线.

∴又∵，

∴

∴三角形中线等分三角形的面积.

任务：

（1）如图，延长的边到点，使，连接，则和的数量关系为_________.

（2）如图，点是的边上任意一点，点分别是线段，的中点，且的面积为，请同学们借助上述结论求的面积.

11.1.2 三角形的高、中线、角平分线参考答案

一、1、顶；垂；2、（1）顶；中；（2）重心；3、角平分线。

二、1．D

【分析】

结合题意，根据三角形高的性质分析，即可得到答案．

【详解】

选项A不是的高，故不符合题意；

选项B不是的高，故不符合题意；

选项C不是的高，故不符合题意；

选项为中边上的高，故符合题意；

故选：．

【点睛】

本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解．

2．A

【分析】

根据高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高作答．

【详解】

解：A、不符合高的概念，故错误；

B、符合高的概念，故正确；

C、符合高的概念，故正确；

D、符合高的概念，故正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形的高的概念，属于基础题，比较简单．

3．B

【分析】

根据三角形的高的概念得到AN⊥BC，根据垂线段最短判断．

【详解】

解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，

∴AN⊥BC，

由垂线段最短可知，AM≥AN，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．

4．A

【分析】

根据三角形的角平分线、中线、高线的定义进行判断．

【详解】

由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；

A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；

B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；

C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；

D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；

故选：A．

【点睛】

考查了三角形的角平分线、中线、高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．

5．A

【分析】

根据三角形的中线、角平分线、高的性质和垂直平分线的性质即可判断．

【详解】

解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，

故选：A．

【点睛】

本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念．

6．D

【分析】

根据角平分线的定义，结合图形判断各选项即可得出答案．

【详解】

解：∵是的平分线，

∴，，，

故选D．

【点睛】

本题考查角平分线的定义，属于基础题，比较容易解答，注意掌握角平分线的定义是解题关键．

7．C

【分析】

由三角形的重心的定义可得：三角形的重心是三条中线的交点．

【详解】

解：三角形的重心是三条中线的交点．
故选：C．

【点睛】

本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．

8．C

【分析】

根据中线的定义解答即可.

【详解】

由题意知，点D是线段AB的中点，

∵AB＝8，

∴AD＝AB＝4，

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形的中线，属于基础题型.

9．3

【分析】

根据三角形高的定义进行计算即可．

【详解】

解：∵AE=3，BD=2，

∴△ABC中BC边上的高的长度AE=3，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查三角形的高，解题的关键是熟知三角形高的定义．

10．5

【分析】

首先根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，求出△ACD的面积；然后根据E是AC的中点，用△ACD的面积除以2，即可求解．

【详解】

解：∵D是△ABC的边BC的中点，

∴（），

又∵E是AC的中点，

∴（）．

故答案为：5．

【点睛】

此题主要考查了三角形中线有关的面积计算问题，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

11．3.

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，再根据角平分线的定义即可得出结论．

【详解】

解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，

∴①错误，②、③、④正确，
故答案是：3．

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线是这个角的平分线．

12．（1）30cm2；（2）cm．

【分析】

（1）根据三角形的面积公式，即可求解；

（2）根据计算直角三角形的面积的两种计算方法，即可求出斜边上的高．

【详解】

（1）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，

∴△ABC的面积=BC×AC=30cm2；

（2）∵△ABC的面积=30 cm2，

∴CD=30×2÷AB=cm．

【点睛】

本题主要考查直角三角形的面积公式以及求斜边上的高，掌握直角三角形的面积公式，是解题的关键．

13．（1）；（2）的面积为．

【分析】

（1）根据“三角形中线等分三角形的面积”即可得；

（2），先根据“三角形中线等分三角形的面积”得出的面积，再根据“三角形中线等分三角形的面积”即可得．

【详解】

（1）

是的边BD上的中线

故答案为：；

（2）点是线段的中点

是的边AD上的中线，CE是的边AD上的中线

点是线段的中点

是的边CE上的中线

故的面积为．

【点睛】

本题考查了三角形中线等分三角形的面积，读懂题意，掌握阅读材料中的基本性质是解题关键．

11.1.1三角形的边参考答案

一、三；不在同一条直线上；首尾顺次相接；边；内角；角；顶点；△ABC；三角形ABC。

二、1、（1）锐角；（2）直角；（3）钝角；

2、（1）不相等；（2）不相等；等边；

三、大于；小于。

四、针对训练

1．D

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【详解】

解：A、3+4＜8，不能构成三角形；

B、5+6=11，不能构成三角形；

C、4+4=8，不能构成三角形；

D、8+8＞8，能构成三角形．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．

2．B

【分析】

根据三角形的三边关系即可得．

【详解】

设该三角形第三边的长为，

由三角形的三边关系得：，即，

观察四个选项可知，只有选项符合，

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．

3．B

【分析】

根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．

【详解】

A、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；

B、，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；

C、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；

D、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．

4．3<k<8

【分析】

根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．

【详解】

∵11－5＜2k＜5+11

即6＜2k＜16

∴3＜k＜8

故答案为3＜k＜8

【点睛】

此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．

5．3

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【详解】

解：根据三角形三边关系，

∴三角形的第三边x满足：3-1＜x＜3+1，即2＜x＜4，

∵x为整数，

∴x=3，

故答案为：3．

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．

6．

【分析】

根据三角形三边关系分析，即可得到答案．

【详解】

∵的两条边、的长分别为和7

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解．

7．18

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．

【详解】

根据三角形的三边关系得：8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10，

∵AC为偶数，∴AC＝8，∴△ABC的周长为：8+2+8＝18．

【点睛】

此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．

8．

【分析】

根据三角形的三边关系及周长列出不等式组，即可求解．

【详解】

解：由题意得

解得．

的取值范围是．

【点睛】

此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．