苏科版八年级上册数学活动 折纸与证明教案

折纸与证明

——折纸中的等腰三角形

一、目标设计

1.教学目标

（1）知识与技能：在折纸活动中，感受理解折纸中数学的学问，充分运用轴对称寻找折纸前后边、

角等量关系。培养学生对图形的分解、组合能力以及空间观念。

（2）过程与方法：让学生在操作实践中获得数学活动的经验，感受“操作、画图、观察、猜想、归

纳和验证”的学习方法，学会化归的思想方法，培养学生合乎逻辑的思考和有条理的表达能力以及运用经验解决问题的能力。

（3）情感与态度：通过操作，感受折纸的趣味性，体会生活中数学的奇妙，引发学习兴趣，在活动过程中培养探究意识与合作交流能力。

⒉教学重点、难点

⑴教学重点：经历折纸、作图，探索折纸前后图形的线段、角和形之间的数量和位置关系，提高学生实际动手操作、发现问题、分析问题以及解决问题的能力。

⑵教学难点：对于折叠前后重叠部分所形成的特殊三角形的识别和证明。

二、教法、学法设计

⒈教法设计  以矩形纸片为载体，实施“活动体验—活动发现—活动创新—活动收获”的教学模式，推进数学教学方式的转变．

⒉学法设计  借助所学知识和生活经验，独立思考与小组合作相结合，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程．

⒊教学具准备 矩形纸片，正方形纸片，直尺，剪刀，60°的三角板或量角器.

三、程序设计

（一）课堂引入

欣赏几幅折纸图片，调查学生会折几种玩具，感受折纸的奇妙。

【设计目的】通过展示图片，引出折纸的话题，凸显折纸来源于生活。通过小调查引发学生的积极性，激发学生的学习动机。

（二）活动过程

 活动一 折一个角

     将一张矩形纸片折起一个角，用笔将折痕和重叠部分的边描出

探究：折叠前后的两个三角形的关系；折痕与对称点连线的关系；图中的等腰三角形。

学生交流：△BEF△B’EF,EF垂直平分BB’， △BEB’和△BFB’是等腰三角形

【方法】通过翻折、找到重合的两边（等腰）、两角 

【设计目的】活动体验：初步体会折纸中的轴对称性，感受折痕是对称轴。

活动二 折等腰三角形

将一张矩形纸片沿对角线折叠，探究图中是否存在等腰三角形并给出证明。

      学生交流：

证法1：基本模型——角平分线+平行——等腰三角形

由翻折得到∠ACB=∠ACB'，又由AD∥BC得到∠ACB=∠FAC，由所以∠FCA=∠ACB'，由等角对等边可得AF=CF。

证法2：证明△AB’F△CDF, 则AF=CF

证法3：等积法， 因为AB’=CD，所以AF=CF

【小结】翻折后的重合部分为等腰三角形：

通过折叠得到两边相等——两边相等的三角形是等腰三角形

通过折叠得到两个等角——等角对等边——等腰三角形

延伸：你还有哪些方法可以折出等腰三角形？

折法一：角平分线+平行——等腰三角形

折法二：两次翻折，利用轴对称的性质，构造中垂线EF（折痕）

将纸片对折，则折痕即为AB的中垂线，在对折后的纸片上剪一个直角三角形展开后即为等腰三角形（点G、G’关于EF轴对称）

【设计目的】活动发现：通过学生操作，感知折纸中蕴含的“轴对称”思想，发现翻折后重叠部分三角形的特殊性。总结方法，给出合理证明，训练学生有条理的思维能力，将感性认识上升到理性认识。

活动三：折等边三角形（小组合作）

（1）给定一张正方形纸片，请尝试通过折叠、裁剪的方法得到一个等边三角形。

分析：“三边相等的三角形是等边三角形”；“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”。

对折得到垂直平分线EF，易构造出等腰三角形，现只需使得等腰三角形腰等于底即可，因此①将AD翻折使D点落在EF上，直接连接BD’即可；②将AD翻折使D点落在D’处，再将BC翻折使C点落在D’处, △ABD’即为等边三角形。

折法：①对折得到垂直平分线，构造等腰；②利用正方形边长相等，翻折得到另一组相等的边，从而得到等边三角形。

（2）给定一张矩形纸片，请尝试通过折叠、裁剪的方法得到一个等边三角形。

分析：方法1.将长方形转化为正方形问题解决；方法2.将正方形中折等边三角形的一种方法类比运用于长方形中。 

将矩形纸片对折后再展开，折痕为EF，沿AM折叠使得B点落在折痕EF上的B’点。

折法：①对折得到垂直平分线，构造等腰；②通过折叠，使得腰=底，构造等边三角形。

（3）拓展：图中还有等边三角形吗？如果有请给出证明。

方法1：由△ABB'是等边三角形，所以∠BAB'=60°，又因为∠BAM=∠BAM'，所以∠B'AM=30°，又∠AB'M=90°，所以∠AMB'=60°.

方法2：过M或N作垂线，证明△AEN△MGN，证明N为斜边AM中点，又因为△AB'M是直角三角形，所以B'N=MN，∠AMB'=60°，所以△B'MN是等边三角形。

方法3：运用中位线的判定，因为对折，所以EF∥BC，且E为AB中点，由中位线判定可得N为AM中点， 所以B'N=MN。

学生交流：△B'MN是等边三角形，△AB'N是等腰三角形。

【设计目的】活动创新：通过让学生尝试折等边三角形，充分运用前面活动中所积累的折纸经验，从等腰到等边，由易到难，层层递进，体现化归的数学思想，考察学生的创新意识，体现学以致用的能力。

（三）课堂小结

1、折纸中的数学知识：1.轴对称——折痕即对称轴；2.等腰三角形的识别方法（1）两边相等（2）等角对等边；2.等边三角形的识别方法：（1）等腰三角形+60°（2）三边相等 

2、活动经验：

基本模型1：角平分线+平行——等腰

基本模型2：对折——中垂线————等边三角形

3、数学方法：化归 

【设计目的】

一堂综合实践活动,注重知识积累的同时，更应加强活动经验和方法的积累。引导学生不仅收获知识，更收获了发现知识的途径，方法，形成的经验。

（四）知识运用

你能运用一张正方形纸片折出一个有60°角的菱形吗？

【设计目的】运用活动经验解决问题：在折等腰三角形和等边三角形的基础上，进一步将折法深化，抓住轴对称性的本质，利用折痕构造一组等腰，利用翻折，构造另一组相等的边，从而获得等边三角形，再利用菱形的轴对称性，折出相关图形，让学生学的有趣、有收获.