物理选修39 带电粒子在电场中的运动学案

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一、带电粒子的加速
1．基本粒子的受力特点：对于质量很小的基本粒子，如电子、质子等，它们受到重力的作用一般远小于静电力，故可以忽略。
2．带电粒子的加速
(1)带电粒子在电场加速(直线运动)条件：只受电场力作用时，初速度为零或与电场力方向相同。
(2)分析方法：动能定理。
(3)结论：初速度为零，带电荷量为q，质量为m的带电粒子， 经过电势差为U的电场加速后，获得的速度为v＝eq \r(\f(2qU,m))。
二、带电粒子的偏转
质量为m、带电荷量为q的基本粒子(忽略重力)，以初速度v0平行于两极板进入匀强电场，极板长为l，板间距离为d，板间电压为U。
1．运动性质
(1)沿初速度方向：速度为v0的匀速直线运动。
(2)垂直v0的方向：初速度为零，加速度为a＝eq \f(qU,md)的匀加速直线运动。
2．运动规律
(1)偏移距离：因为t＝eq \f(l,v0)，a＝eq \f(qU,md)，所以偏移距离y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(ql2U,2mveq \\al(2,0)d)。
(2)偏转角度：因为vy＝at＝eq \f(qUl,mv0d)，所以tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdveq \\al(2,0))。
三、示波管的原理
1．构造：示波管主要由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空。
2．原理
(1)给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点。
(2)带电粒子在Ⅰ区域是沿直线加速的，在Ⅱ区域是偏转的。
(3)若UYY′>0，UXX′＝0，则粒子向Y板偏移；若UYY′＝0，UXX′>0，则粒子向X板偏移。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基本带电粒子在电场中不受重力。(×)
(2)带电粒子仅在电场力作用下运动时，动能一定增加。(×)
(3)带电粒子在匀强电场中偏转时，其速度和加速度均不变。(×)
(4)带电粒子在匀强电场中无论是直线加速还是偏转，均做匀变速运动。(√)
(5)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束，偏转电极的作用是使电子束发生偏转，打在荧光屏的不同位置。(√)
2．如图所示，在匀强电场(场强大小为E)中，一带电荷量为－q的粒子(不计重力)的初速度v0的方向恰与电场线方向相同，则带电粒子在开始运动后，将( )
A．沿电场线方向做匀加速直线运动
B．沿电场线方向做变加速直线运动
C．沿电场线方向做匀减速直线运动
D．偏离电场线方向做曲线运动
C [带电粒子受到与运动方向相反的恒定的电场力作用，产生与运动方向相反的恒定的加速度，因此，带电粒子在开始运动后，将沿电场线做匀减速直线运动，故选项C正确。]
3．如图所示，从炽热的金属丝逸出的电子(速度可视为零)，经加速电场加速后从两极板中间垂直射入偏转电场。电子的重力不计。在满足电子能射出偏转电场的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是( )
A．仅将偏转电场极性对调
B．仅增大偏转电极间的距离
C．仅增大偏转电极间的电压
D．仅减小偏转电极间的电压
C [设加速电场的电压为U0，偏转电压为U，极板长度为L，间距为d，电子加速过程中，由U0q＝eq \f(mveq \\al(2,0),2)，得v0＝eq \r(\f(2U0q,m))，电子进入极板后做类平抛运动，时间t＝eq \f(L,v0)，加速度a＝eq \f(qU,dm)，竖直分速度vy＝at，tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(UL,2U0d)，故可知C正确。]
1.带电粒子的加速
当带电粒子以很小的速度进入电场中，在静电力作用下做加速运动，示波管、电视显像管中的电子枪、回旋加速器都是利用电场对带电粒子加速的。
2．处理方法
可以从动力学和功能关系两个角度进行分析，其比较如下：
【例1】 如图所示，一个质子以初速度v0＝5×106 m/s水平射入一个由两块带电的平行金属板组成的区域。两板距离为20 cm，设金属板之间电场是匀强电场，电场强度为3×105 N/C。质子质量m＝1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C。求质子由板上小孔射出时的速度大小。
[解析] 根据动能定理W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
而W＝qEd
＝1.60×10－19×3×105×0.2 J＝9.6×10－15 J
所以v1＝eq \r(\f(2W,m)＋veq \\al(2,0))＝eq \r(\f(2×9.6×10－15,1.67×10－27)＋（5×106）2) m/s
≈6×106 m/s
质子飞出时的速度约为6×106 m/s。
[答案] 6×106 m/s
上例中，若质子刚好不能从小孔中射出，其他条件不变，则金属板之间的电场强度至少为多大？方向如何？
提示：根据动能定理－qE′d＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
则E′＝eq \f(mveq \\al(2,0),2qd)＝eq \f(1.67×10－27×（5×106）2,2×1.60×10－19×0.2) N/C≈6.5×105 N/C
方向水平向左。
1．如图所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N的速度应是( )
A.eq \r(\f(2qU,m)) B．v0＋eq \r(\f(2qU,m))
C.eq \r(veq \\al(2,0)＋\f(2qU,m)) D.eq \r(veq \\al(2,0)－\f(2qU,m))
C [由qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，可得v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋\f(2qU,m))，选项C正确。]
1.类平抛运动
带电粒子以速度v0垂直于电场线的方向射入匀强电场，受到恒定的与初速度方向垂直的静电力的作用而做匀变速曲线运动，称之为类平抛运动。可以采用处理平抛运动方法分析这种运动。
2．运动规律
(1)沿初速度方向：vx＝v0，x＝v0t(初速度方向)。
(2)垂直初速度方向：vy＝at，y＝eq \f(1,2)at2(电场线方向，其中a＝eq \f(qE,m)＝eq \f(qU,md))。
3．两个结论
(1)偏转距离：y＝eq \f(qL2U,2mveq \\al(2,0)d)。
(2)偏转角度：tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qLU,mveq \\al(2,0)d)。
4．几个推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。
(2)位移方向与初速度方向间夹角的正切为速度偏转角正切的eq \f(1,2)，即tan α＝eq \f(1,2)tan θ。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q是否相同，只要eq \f(q,m)相同，即比荷相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q相同，不论m是否相同，则偏转距离y和偏转角θ相同。
(5)不同的带电粒子经同一加速电场加速后(即加速电压U1相同)，进入同一偏转电场，则偏转距离y和偏转角θ相同。
【例2】 一束电子流在经U＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示。若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5.0 cm，那么要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
思路点拨：(1)电子经电压U加速后的速度v0可由eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)求出。
(2)初速度v0一定时，偏转电压越大，偏转距离越大。
(3)最大偏转位移eq \f(d,2)对应最大偏转电压。
[解析] 加速过程，由动能定理得eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)①
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动l＝v0t
②
在垂直于板面的方向做匀加速直线运动
加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(eU′,dm)③
偏转距离y＝eq \f(1,2)at2 ④
能飞出的条件为y≤eq \f(d,2)⑤
联立①～⑤式解得U′≤eq \f(2Ud2,l2)＝400 V
即要使电子能飞出，所加电压最大为400 V。
[答案] 400 V
上例中，若使电子打到下板中间，其他条件不变，则两个极板上需要加多大的电压？
提示：由eU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
a＝eq \f(eU″,dm)
eq \f(d,2)＝eq \f(1,2)at2
eq \f(l,2)＝v0t
联立解得U″＝eq \f(8Ud2,l2)＝1 600 V。
带电粒子在电场中运动问题的处理方法
带电粒子在电场中运动的问题实质上是力学问题的延续，从受力角度看带电粒子与一般物体相比多受到一个电场力；从处理方法上看仍可利用力学中的规律分析，如选用平衡条件、牛顿定律，动能定理、功能关系，能量守恒等。
2．如图所示是一个示波管工作的原理图，电子经过加速后以速度v0垂直进入偏转电场，离开电场时偏转量是h，两个平行板间距离为d，电势差为U，板长为l，每单位电压引起的偏转量(h/U)叫示波管的灵敏度，若要提高其灵敏度。可采用下列哪种办法( )
A．增大两极板间的电压
B．尽可能使板长l做得短些
C．尽可能使板间距离d减小些
D．使电子入射速度v0大些
C [竖直方向上电子做匀加速运动，故有h＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUl2,2mdveq \\al(2,0))，则eq \f(h,U)＝eq \f(ql2,2mdveq \\al(2,0))，可知，只有C选项正确。]
1.电子的偏转：被电子枪加速的电子在YY′电场中做类平抛运动，出电场后做匀速直线运动，最后打到荧光屏上。设打在荧光屏上时的偏转位移为y′，如图所示。
由几何知识知，eq \f(y′,y)＝eq \f(L′＋\f(L,2),\f(L,2))。
所以y′＝eq \f(eLU,mdveq \\al(2,0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L′＋\f(L,2)))，y′与偏转电压U成正比。
2．示波管实际工作时，XX′方向加扫描电压，YY′方向加信号电压，两者周期相同，在荧光屏上显示随信号而变化的波形。
【例3】 示波管的原理如图所示，一束电子从静止开始经加速电压U1加速后，以水平速度沿水平放置的两平行金属板的中线射入金属板的中间。已知金属板长为l，两极板间的距离为d，竖直放置的荧光屏与金属板右端的距离为L。若两金属板间的电势差为U2，则光点偏离中线与荧光屏的交点O而打在O点正下方的P点，求O、P间的距离OP。
[解析] 设电子射出偏转极板时的偏移距离为y，偏转角为θ，则OP＝y＋Ltan θ
又y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)·eq \f(eU2,dm)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,v0)))eq \s\up20(2)，tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(at,v0)＝eq \f(eU2l,mveq \\al(2,0)d)
在加速电场中的加速过程，由动能定理有eU1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
联立解得y＝eq \f(U2l2,4dU1)，tan θ＝eq \f(U2l,2U1d)
故OP＝eq \f(U2l（2L＋l）,4dU1)。
[答案] eq \f(U2l（2L＋l）,4dU1)
3．(多选)示波管的构造如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
A．极板X应带正电 B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电 D．极板Y′应带正电
AC [根据亮斑的位置，电子偏向XY区间，说明电子受到静电力作用发生了偏转，因此极板X、极板Y均应带正电。]
1．如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，到达B板时的速度为v，保持两板间的电压不变，则( )
A．当增大两板间的距离时，速度v增大
B．当减小两板间的距离时，速度v减小
C．当减小两板间的距离时，速度v不变
D．当减小两板间的距离时，电子在两板间运动的时间变长
C [由动能定理得eU＝eq \f(1,2)mv2，当改变两板间的距离时，U不变，v就不变，故选项A、B错误，C正确；电子做初速度为零的匀加速直线运动，v＝eq \f(v,2)＝eq \f(d,t)，得t＝eq \f(2d,v)，当d减小时，v不变，电子在板间运动的时间变短，故选项D错误。]
2．在匀强电场中，将质子和α粒子由静止释放，若不计重力，当它们获得相同动能时，质子经历的时间t1和α粒子经历的时间t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．4∶1
A [由动能定理可知qEl＝Ek，又l＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qE,2m)t2，解得t＝eq \r(\f(2mEk,q2E2))，可见，两种粒子时间之比为1∶1，故A选项正确。]
3．一个带负电的小球质量为m，带电荷量为q，在一个如图所示的平行板电容器的右侧边缘被竖直上抛，最后落在电容器左侧边缘的同一高度处，两板间距离为d，板间电压为U，重力加速度为g，求抛出时的初速度v0及小球能达到的最大高度H。
[解析] 由题设条件可知：小球在复合场中做曲线运动，可将其运动分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
由竖直上抛运动规律得，
小球上升的最大高度H＝eq \f(veq \\al(2,0),2g)
小球自抛出至落到左侧板边缘同一高度处所需时间为t＝eq \f(2v0,g)
根据小球在水平方向的运动规律可得d＝eq \f(1,2)·eq \f(qU,md)·t2
联立解得v0＝gdeq \r(\f(m,2qU))，H＝eq \f(mgd2,4qU)。
[答案] gdeq \r(\f(m,2qU)) eq \f(mgd2,4qU)带电粒子的加速
动力学角度
功能关系角度
涉及知识
应用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式
功的公式及动能定理
选择条件
匀强电场，静电力是恒力
可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，电场力可以是恒力，也可以是变力
带电粒子的偏转
示波管类问题
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.带电粒子在电场中的加速问题。
2.带电粒子在电场中的偏转问题。
3.带电粒子在示波管中的运动问题。