高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计及反思，共5页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.
课程目标
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
数学学科素养
1.数学抽象：平面向量的坐标表示；
2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；
3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.
重点：向量的坐标表示；
难点：向量的坐标表示的理解.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察，研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本27-29页，思考并完成以下问题
1、怎样分解一个向量才为正交分解？
2、平面向量怎样用坐标表示？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

…………○1 eq \\ac(○,1)
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………○2 eq \\ac(○,2)
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2 eq \\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
四、典例分析、举一反三
题型一 向量的减法运算
例1 如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，_______________.
【答案】a＝(－4,0)； b＝(0,6)；c＝(－2，－5)．
【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AD,\s\up16(→))的坐标．
【答案】Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))). Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
【解析】由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得
x1＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq \f(1,2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
x2＝cs120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin120°＝eq \f(\r(3),2)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
解题技巧（求点和向量坐标的方法）
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练一
1．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为____________．
【答案】a＝eq \f(1,7)e1＋eq \f(4,7)e2.
【解析】设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝λ1－2λ2，,2＝2λ1＋3λ2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(1,7)，,λ2＝\f(4,7).))∴a＝eq \f(1,7)e1＋eq \f(4,7)e2.
2. 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \(OA,\s\up16(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°，
(1)求向量eq \(OA,\s\up16(→))的坐标；
(2)若B(eq \r(3)，－1)，求eq \(BA,\s\up16(→))的坐标．
【答案】（1）eq \(OA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)．(2)eq \(BA,\s\up16(→))＝ (eq \r(3)，7)．
【解析】(1)设点A(x，y)，则x＝4eq \r(3)cs60°＝2eq \r(3)，
y＝4eq \r(3)sin60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，eq \(OA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)．
(2)eq \(BA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7)．
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
1.正交分解 例1 例2
2.坐标表示

七、作业
课本37页习题6.3的15题.
本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.