通用技术模型导学案及答案

【新教材】4.5.3 函数模型的应用

（人教A版）

1.能利用已知函数模型求解实际问题.

2.能自建确定性函数模型解决实际问题.

1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；

2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；

3.数学运算：解答数学问题,求得结果；

4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；

5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.

重点：利用函数模型解决实际问题；

难点：数模型的构造与对数据的处理．

一、 预习导入

阅读课本148-150页，填写。

1.常见的数学模型有哪些?

(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);

(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0);

(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.

(4)指数函数模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);

(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);

(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);

(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.

2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?

(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；

(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．(　　)

(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．(　　)

2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)

A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)  B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)

C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)    D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)

A．y＝2x　　　　　　　　 B．y＝2x－1

C．y＝2x   D．y＝2x＋1

4．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.

题型一    一次函数与二次函数模型的应用

例1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

跟踪训练一

1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶赠一个茶杯;

②按总价的92%付款.

某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?

题型二   分段函数模型的应用

例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).

(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;

(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?

跟踪训练二

1.甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=                                 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:

(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).

(2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?

题型三   指数或对数函数模型的应用

例3  一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,

为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比;

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多还能砍伐多少年?

跟踪训练三

1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3 成正比,且当Q=900时,v=1.

(1)求出v关于Q的函数解析式;

(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;

(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?

1．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)

A．y＝20－2x(x≤10)   B．y＝20－2x(x＜10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10)   D．y＝20－2x(5＜x＜10)

2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)

A．15　　　　     B．40　          C．25　　　    　 D．130

3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　)

A．300只   B．400只

C．500只   D．600只

4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)

A．36万件   B．22万件

C．18万件   D．9万件

5．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________．

6．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．

(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

答案

小试牛刀

1．(1)√　(2)√

2．C

3. D

4. 8

自主探究

例1 【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.

【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).

②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.

所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).

③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.

又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.

所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.

跟踪训练一

1.【答案】当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.

【解析】由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),

令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;

当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;

当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.

例2 【答案】(1)f(x)=(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大.

【解析】　(1)当0<x≤5时,产品全部售出,

当x>5时,产品只能售出500件.

所以,f(x)=

即f(x)=

(2)当0<x≤5时,f(x)=-x2+4.75x-0.5,

所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,

f(x)max=10.781 25(万元).

当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).

故当年产量为475件时,当年所得利润最大.

跟踪训练二

1.【答案】(1)f(x)=  (2)当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.

【解析】解:(1)由题意得G(x)=2.8+x. ∴f(x)=R(x)-G(x)=

(2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减,∴f(x)<8.2-5=3.2(万元).

当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,

当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元.

故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.

例3  【答案】(1)1-.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.

【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-.

(2)设经过m年剩余面积为原来的,

则a(1-x)m=a,即,解得m=5,

故到今年为止,已砍伐了5年.

(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,

则n年后剩余面积为a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,

即(1-x)n≥,

解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.

跟踪训练三

1.【答案】(1)v关于Q的函数解析式为v=log3.

(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.

(3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.

【解析】(1)设v=k·log3,

∵当Q=900时,v=1,∴1=k·log3,∴k=.

故v关于Q的函数解析式为v=log3.

(2)令v=1.5,则1.5=log3,解得Q=2 700.

故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时的耗氧量为2 700个单位.

(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2,

由题意知v2-v1=1,即log3log3=1.

∴log3=1,∴=9,即Q2=9Q1.

故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.

当堂检测 

1-3、DCAC 

5、y＝x(x∈N*)

6、【答案】（1）租出的车有15辆，一共租出了85辆． （2）最大月收益为324 560元．

此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．

【解析】(1)租金增加了900元，900÷60＝15，

所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．

(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，

y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，其中x∈[0,100]，x∈N，

整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000＝－60(x－26)2＋324 560，

当x＝26时，y＝324 560，

即最大月收益为324 560元．

此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．