2015年浙江省高考数学试卷（文科）

这是一份2015年浙江省高考数学试卷（文科），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2015年浙江省高考数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）
A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3]
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）

A．8cm3 B．12cm3 C． D．
3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（　　）
A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定
　
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．（6分）计算：log2=　 　，2=　 　．
10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　 　，d=　 　．
11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　 　，最小值是　 　．
12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　 　，f（x）的最小值是　 　．
13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=　 　．
14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　 　．
15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　 　．
　
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

19．（15分）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．

20．（15分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
　

2015年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）
A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3]
【分析】求出集合P，然后求解交集即可．
【解答】解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，
Q={x|2＜x＜4}，
则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．
故选：A．
【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．
　
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）

A．8cm3 B．12cm3 C． D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
　
3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
　
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；
对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；
对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；
对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．
　
5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，
且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除A、B．
当x=π，f（x）＞0，故排除D，
但是当x趋向于0时，f（x）＞0，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．
　
6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
【分析】作差法逐个选项比较大小可得．
【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，
∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）
=a（x﹣z）+c（z﹣x）
=（x﹣z）（a﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞az+by+cx；
同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）
=b（z﹣x）+c（x﹣z）
=（z﹣x）（b﹣c）＜0，
∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；
同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）
=a（z﹣y）+b（y﹣z）
=（z﹣y）（a﹣b）＜0，
∴az+by+cx＜ay+bz+cx，
∴最低费用为az+by+cx
故选：B．
【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．
　
7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．
【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点P的轨迹是椭圆．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
　
8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（　　）
A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定
【分析】根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案．
【解答】解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，
∴（a+1）2=t2，
a2+2a=t2﹣1，
t确定，则t2﹣1为定值．
sin2b=t2，
A，C不正确，
∴若t确定，则a2+2a唯一确定，
故选：B．
【点评】本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断．
　
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．（6分）计算：log2=　　，2=　　．
【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可．
【解答】解：log2=log2=﹣；
2===3．
故答案为：；．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查．
　
10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　　，d=　﹣1　．
【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．
【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列，
则a32=a2a7，
即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），
即2d2+3a1d=0，
由公差d不为零，
则d=﹣a1，
又2a1+a2=1，
即有2a1+a1+d=1，
即3a1﹣a1=1，
解得a1=，d=﹣1．
故答案为：，﹣1．
【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
　
11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，最小值是　　．
【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1
=+sin2x+1
=sin（2x﹣）+．
∴最小正周期T=，最小值为：．
故答案为：π，．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
　
12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　，f（x）的最小值是　2﹣6　．
【分析】由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．
【解答】解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，
∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣；
∵当x≤1时，f（x）=x2，
由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；
当x＞1时，f（x）=x+﹣6，
由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6，
当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6；
∵2﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6
故答案为：﹣；2﹣6
【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．
　
13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=　　．
【分析】根据数量积得出1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．
【解答】解：∵1，2是平面单位向量，且1•2=，
∴1，2夹角为60°，
∵向量满足•1=•=1
∴与1，2夹角相等，且为锐角，
∴应该在1，2夹角的平分线上，
即＜，1＞=＜，2＞=30°，
||×1×cos30°=1，
∴||=
故答案为：

【点评】本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可．
　
14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　15　．
【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．
【解答】解：如图，

由x2+y2≤1，
可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，
则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，
令z=﹣3x﹣4y+10，得，
如图，

要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，
由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．
则，即z=15或z=5．
由题意可得z的最大值为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
　
15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．
【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，
由①②可得：m=，n=，代入③可得：，
可得，4e6+e2﹣1=0．
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，
可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0
解得e=．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
　
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．
（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，
所以==．
（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．
又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．
设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．
【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．
　
17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；
再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．
由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，
当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，
，整理得：，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因此
，
两式作差得：，
（n∈N*）．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．
　
18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

【分析】（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量=（，0，1），|根据与数量积求解余弦值，即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中点．
∴A1D⊥B1C1，
∵BC∥B1C1，
∴A1D⊥BC，
∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，
∴A1O⊥AO，A1O⊥BC
∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC
∴A1D⊥平面A1BC

解：（II）
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4
∴O（0，0，0），B（0，，0），B1（﹣，，），A1（0，0，）
即=（0，，﹣），=（0，，0），=（，0，），
设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z），
即得出
得出=（，0，1），||=4，||=
∵=，
∴cos＜，＞==，
可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为

【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题．
　
19．（15分）如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．

【分析】（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，可得，解得B坐标．
（II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|=．即可得出S△PAB=．
【解答】解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立，
化为x2﹣4kx+4kt=0，
∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t2）．
圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，
∴，解得．
∴B．
（II）由（I）可得：kAB==，直线AB的方程为：y﹣t2=，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，
∴点P到直线AB的距离d===t，
又|AB|==t2．
∴S△PAB==．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
　
20．（15分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，
当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；
当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；
当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．
综上可得，g（a）=；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，
则，
由于0≤b﹣2a≤1，
由此≤s≤（﹣1≤t≤1），
当0≤t≤1时，≤st≤，
由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2，
得﹣≤≤9﹣4，
所以﹣≤b≤9﹣4；
当﹣1≤t＜0时，≤st≤，
由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，
故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．