北师大版高考数学一轮复习第十二章 §12.2　几何概型

这是一份北师大版高考数学一轮复习第十二章 §12.2　几何概型，共15页。试卷主要包含了了解几何概型的意义，故m＝3等内容，欢迎下载使用。


1．几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝eq \f(G1的面积,G的面积)，则称这种模型为几何概型．
2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．
微思考
1．古典概型与几何概型有什么区别？
提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．
2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？
提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )
(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( √ )
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( × )
题组二 教材改编
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D．1
答案 B
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为eq \f(1,3).
3．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π－2,2) C.eq \f(π,6) D.eq \f(4－π,4)
答案 D
解析 如图所示，
正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．
易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是eq \f(4－π,4).
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．
答案 eq \f(1,6)
解析 设事件M为“动点在三棱锥A－A1BD内”，则
P(M)＝＝
＝＝eq \f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq \f(1,6).
题组三 易错自纠
5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1 000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是( )
A．2 B．3 C．10 D．15
答案 C
解析 设阴影部分的面积是S，由题意得eq \f(400,1 000)＝eq \f(S,52)，
∴S＝10.
6．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 设AC＝x cm(0由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，
解得0在数轴上表示，如图所示．
由几何概型概率计算公式，得所求概率为eq \f(8,12)＝eq \f(2,3).
题型一 与长度(角度)有关的几何概型
1．在区间[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(11,15)
答案 D
解析 ∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内任取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝eq \f(－4＋6＋9－0,9＋6)＝eq \f(11,15).
2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
答案 eq \f(1,6)
解析 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，
则OA落在∠yOT内的概率为eq \f(60,360)＝eq \f(1,6).
3．已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与eq \r(3)R之间的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 在圆上其他位置任取一点B，其中满足弦长AB介于R与eq \r(3)R之间的弧长为eq \f(1,3)·2πR，则弦长AB介于R与eq \r(3)R之间的概率P＝eq \f(\f(1,3)·2πR,2πR)＝eq \f(1,3).
4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 如图所示，画出时间轴，
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型概率公式得所求概率P＝eq \f(10＋10,40)＝eq \f(1,2).
思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
题型二 与面积有关的几何概型
命题点1 与平面图形有关的几何概型
例1 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
答案 A
解析 ∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC，
以AB为直径的半圆的面积为eq \f(1,2)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))2＝eq \f(π,8)AB2，
以AC为直径的半圆的面积为eq \f(1,2)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))2＝eq \f(π,8)AC2，
以BC为直径的半圆的面积为eq \f(1,2)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,2)))2＝eq \f(π,8)BC2，
∴SⅠ＝eq \f(1,2)AB·AC，SⅢ＝eq \f(π,8)BC2－eq \f(1,2)AB·AC，
SⅡ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq \f(1,2)AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝eq \f(SⅠ,S总)，p2＝eq \f(SⅡ,S总).
∴p1＝p2.
命题点2 与简单的线性规划有关的几何概型
例2 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于eq \f(6,5)的概率是( )
A.eq \f(12,25) B.eq \f(16,25) C.eq \f(17,25) D.eq \f(18,25)
答案 C
解析 设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0如图所示，阴影部分的面积是1－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(17,25)，
所以这两个数之和小于eq \f(6,5)的概率是eq \f(17,25).
命题点3 与定积分有关的几何概型
例3 如图，在直角坐标系xOy中，过原点O作曲线y＝x2＋1(x≥0)的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A，B，在矩形OAPB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 设所求切线的方程为y＝kx，则k>0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，k>0，,y＝x2＋1，))消去y得x2－kx＋1＝0，①
由Δ＝k2－4＝0，解得k＝2，
方程①为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，则点P(1,2)．
所以阴影部分区域的面积为S＝eq \\al(1,0)(x2＋1－2x)dx＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－x2＋x))))eq \\al(1,0)＝eq \f(1,3)，
又矩形OAPB的面积为S′＝1×2＝2，
因此，所求概率为P＝eq \f(S,S′)＝eq \f(1,6).
思维升华 (1)与平面几何有关的几何概型，应利用平面几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
(2)与简单线性规划有关的几何概型，先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求解．
(3)与定积分有关的几何概型，先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．
跟踪训练1 (1)中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2 cm，正方形的边长为1 cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的近似值为( )
A.eq \f(1,41－p) B.eq \f(1,1－p) C.eq \f(1,1－4p) D.eq \f(4,1－p)
答案 A
解析 圆形钱币的半径为2 cm，面积为S圆＝π·22＝4π(cm2)，正方形边长为1 cm，面积为S＝12＝1(cm2)，在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p＝1－eq \f(1,4π)，则π＝eq \f(1,41－p).
(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．
答案 eq \f(3,4)
解析 设通电x秒后第一串彩灯闪亮，通电y秒后第二串彩灯闪亮．
依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16.
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图可知，
符合要求的S′＝16－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×2×2＝12，
∴由几何概型的概率公式得P＝eq \f(S′,S)＝eq \f(12,16)＝eq \f(3,4).
(3)如图，正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)，及抛物线y＝－(x＋1)2和y＝(x－1)2，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 ∵A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)，
∴正方形ABCD的面积S＝2×2＝4，根据定积分的几何意义以及抛物线的对称性可知，阴影部分的面积
S＝2eq \\al(1,0)[1－(x－1)2]dx＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,3)x3))))eq \\al(1,0)
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))－0))＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，
则由几何概型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是eq \f(\f(4,3),4)＝eq \f(1,3).
题型三 与体积有关的几何概型
例4 (1)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABCA.eq \f(3,4) B.eq \f(7,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP－ABC故VP－ABCP＝eq \f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝eq \f(7,8).
(2)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为( )
A.eq \f(π,24) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,8) D.eq \f(π,6)
答案 A
解析 以AB为直径作球，球在正方体内的区域体积为V＝eq \f(1,4)×eq \f(4,3)π×13＝eq \f(π,3)，正方体的体积为8，∴所求概率P＝eq \f(\f(π,3),8)＝eq \f(π,24).
思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
跟踪训练2 (2020·山西临汾一中月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于eq \f(1,6)的概率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设四棱锥M－ABCD的高为h，当eq \f(1,3)×S正方形ABCD×h＝eq \f(1,6)时，又S正方形ABCD＝1，∴h＝eq \f(1,2).若四棱锥M－ABCD的体积小于eq \f(1,6)，则h课时精练
1．(2020·太原模拟)设x∈[0，π]，则sin xA.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 由sin x借助于正弦曲线可得x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，
∴P＝eq \f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq \f(1,3).
2.如图，在圆O的圆心O处有一个通信基站，θ＝2，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A.eq \f(1－sin 2,π) B.eq \f(2,π)
C.eq \f(1,π)－eq \f(sin 2,2) D.eq \f(2－sin 2,2π)
答案 D
解析 设该圆的半径为R，则圆的面积是πR2，S阴影＝S扇形OAB－S△AOB＝eq \f(1,2)×2R2－eq \f(1,2)sin 2×R2＝R2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)sin 2))，故P＝eq \f(2－sin 2,2π).
3．在区间[0，π]上随机取一个数x，使cs x的值介于－eq \f(\r(3),2)与eq \f(\r(3),2)之间的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(5,8)
答案 B
解析 cs x的值介于－eq \f(\r(3),2)与eq \f(\r(3),2)之间的区间长度为eq \f(5π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3).
由几何概型概率计算公式，得P＝eq \f(\f(2π,3),π－0)＝eq \f(2,3).
4．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，
由几何概型，得P1＝eq \f(V半球,V圆柱)＝eq \f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq \f(1,3)，
故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
5.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 设AB＝2，则BC＝CD＝DE＝EF＝1，
∴S△BCI＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,4)，S▱EFGH＝2S△BCI＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，
∴P＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq \f(3,16).
6.如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(π－2,4)
答案 A
解析 以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设AB＝1，BC＝2，
则B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，过A，D，E三点的抛物线方程为y＝x2，
阴影部分面积为
S′＝eq \f(1,2)×2×1－eq \\al(1,－1)x2dx＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)x3))eq \\al(1,－1)＝eq \f(1,3)，
又矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝1×2＝2，
故该点落在阴影部分的概率为P＝eq \f(S′,S矩形ABCD)＝eq \f(\f(1,3),2)＝eq \f(1,6).
7.如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分．记△ABC三边所围成的区域(灰色部分)为Ⅰ，右侧月牙形区域(黑色部分)为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则( )
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝eq \f(4,π＋1) D．P2－P1＝eq \f(1,π＋1)
答案 A
解析 设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为
S1＝eq \f(1,2)×2×1＝1，
区域Ⅱ的面积为
S2＝eq \f(1,2)π×12－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)π×\r(2)2－\f(1,2)×2×1))＝1，
圆的面积为π×12＝π，所以P1＝P2＝eq \f(1,π).
8．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C．1－eq \f(π,15) D.eq \f(π,15)
答案 C
解析 在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
则△ABC为直角三角形，且∠B为直角，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×5×12＝30，若在△ABC内任取一点，该点到三个定点A，B，C的距离都不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝eq \f(π×22,2)＝2π，则阴影部分的面积S＝30－2π，则对应的概率P＝eq \f(S阴影,S△ABC)＝eq \f(30－2π,30)＝1－eq \f(π,15).
9．已知函数f(x)＝2x，则在[0,10]内任取一个实数x0，使得f(x0)≥16的概率是________．
答案 0.6
解析 因为f(x0)≥16，所以≥16，x0≥4，即4≤x0≤10，则在[0,10]内任取一个实数x0，使得f(x0)≥16的概率P＝eq \f(10－4,10－0)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)＝0.6.
10．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．
答案 eq \f(1,4)
解析 ∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ＝20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A，则LA＝5分钟，故P(A)＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
11．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq \f(5,6)，则m＝________.
答案 3
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m(易知m>0)．
当0当212．在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为________．
答案 eq \f(2\r(3),3π)
解析 由题意可知这是一个几何概型问题，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝eq \f(\r(3),2)，球的体积V2＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))3＝eq \f(\r(3),2)π，
则此点落在正方体内部的概率P＝eq \f(V1,V2)＝eq \f(2\r(3),3π).
13.如图，在圆心角为eq \f(2π,3)，半径为2的扇形AOB中任取一点P，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))≤2的概率为________．
答案 eq \f(1,2)＋eq \f(3\r(3),8π)
解析 根据题意，建立如图所示的坐标系，
则A(2,0)，B(－1，eq \r(3))，则扇形AOB的面积为eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×22＝eq \f(4π,3)，设P(x，y)，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))≤2，则有2x≤2，即x≤1，则满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))≤2的区域为如图的阴影区域，直线x＝1与弧AB的交点为P′，易得P′的坐标为(1，eq \r(3))，则阴影区域的面积为eq \f(2π,3)＋eq \f(\r(3),2)，故eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))≤2的概率P＝eq \f(\f(2π,3)＋\f(\r(3),2),\f(4π,3))＝eq \f(1,2)＋eq \f(3\r(3),8π).
14．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________．
答案 eq \f(1 013,1 152)
解析 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝eq \f(A的面积,Ω的面积)＝eq \f(24－12×\f(1,2)＋24－22×\f(1,2),242)
＝eq \f(506.5,576)＝eq \f(1 013,1 152).
15．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq \f(1,3)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq \f(1,3)”的概率，p3为事件“xy≤eq \f(1,3)”的概率，则( )
A．p1C．p3答案 B
解析 因为x，y∈[0,1]，所以事件“x＋y≥eq \f(1,3)”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1，事件“|x－y|≤eq \f(1,3)”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy≤eq \f(1,3)”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S216.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分)，构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
答案 4－eq \f(6\r(3),π)
解析 设圆的半径为r，如图所示．
12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为
S弓形＝eq \f(1,6)πr2－eq \f(1,2)·r2·sin eq \f(π,3)＝eq \f(1,6)πr2－eq \f(\r(3),4)r2，
∴所求的概率为P＝eq \f(24S弓形,S圆)＝eq \f(24\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2)),πr2)＝4－eq \f(6\r(3),π).