北师大版高考数学一轮复习第十三章 §13.1 第1课时 坐标系
展开第1课时 坐标系
考试要求 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
1.伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′=λ·x,λ>0,,y′=μ·y,μ>0))的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.
对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=ρcs θ,,y=ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2=x2+y2,,tan θ=\f(y,x)x≠0)),这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
微思考
1.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗?
提示 平面上的点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
2.如何把极坐标转化为直角坐标?
提示 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=ρcs θ,,y=ρsin θ.))
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1,-eq \r(3)),则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,-\f(π,3))).( √ )
(2)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ )
(3)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × )
(4)tan θ=1与θ=eq \f(π,4)表示同一条曲线.( × )
题组二 教材改编
2.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=eq \f(1,cs θ+sin θ),0≤θ≤eq \f(π,2)
B.ρ=eq \f(1,cs θ+sin θ),0≤θ≤eq \f(π,4)
C.ρ=cs θ+sin θ,0≤θ≤eq \f(π,2)
D.ρ=cs θ+sin θ,0≤θ≤eq \f(π,4)
答案 A
解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),
∴ρsin θ=1-ρcs θ(0≤ρcs θ≤1).
∴ρ=eq \f(1,sin θ+cs θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2))).
3.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-\f(π,2))) C.(1,0) D.(1,π)
答案 B
解析 方法一 由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-\f(π,2))).
方法二 由ρ=-2sin θ=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,2))),知圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-\f(π,2))),故选B.
题组三 易错自纠
4.在极坐标系中,已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(π,6))),则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsin θ=1 B.ρsin θ=eq \r(3)
C.ρcs θ=1 D.ρcs θ=eq \r(3)
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示,Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(π,6)))转化为直角坐标为x=ρcs θ=2cs eq \f(π,6)=eq \r(3),y=ρsin θ=2sin eq \f(π,6)=1,即(eq \r(3),1),过点(eq \r(3),1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsin θ=1.
5.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2+y2-2y=0
解析 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
6.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.
解 由ρ=4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,
即x2+(y-2)2=4.
由ρsin θ=a可得直线的直角坐标方程为y=a(a>0).
设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.
由对称性知∠O′OB=30°,OD=a.
在Rt△DOB中,易求DB=eq \f(\r(3),3)a,
∴B点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a,a)).
又∵点B在x2+y2-4y=0上,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a))2+a2-4a=0,
即eq \f(4,3)a2-4a=0,解得a=0(舍去)或a=3.
∴a=3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)极坐标方程ρ2cs θ-ρ=0转化成直角坐标方程为( )
A.x2+y2=0或y=1
B.x=1
C.x2+y2=0或x=1
D.y=1
答案 C
解析 ρ2cs θ-ρ=0⇒ρ=eq \r(x2+y2)=0,或ρcs θ=1,x=1.
(2)点M的直角坐标是(-1,eq \r(3)),则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,-\f(π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(2π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,2kπ+\f(π,3)))(k∈Z)
答案 C
解析 ∵ρ=eq \r(-12+\r(3)2)=2,tan θ=eq \f(\r(3),-1)=-eq \r(3).
又点M在第二象限,∴θ=eq \f(2π,3),
∴点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(2π,3))).
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcs θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解决此类问题常通过变形,构造形如ρcs θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.
跟踪训练1 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3)))=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)求C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解 (1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3)))=1得,
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ+\f(\r(3),2)sin θ))=1.
从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x+eq \f(\r(3),2)y=1,
即x+eq \r(3)y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=eq \f(π,2)时,ρ=eq \f(2\r(3),3),所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3),\f(π,2))).
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(2\r(3),3))).
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(3),3))),
则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3),\f(π,6))),
所以直线OP的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)(ρ∈R).
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(π,4))),且圆C经过极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.
解 (1)圆心C的直角坐标为(eq \r(2),eq \r(2)),
则设圆C的直角坐标方程为(x-eq \r(2))2+(y-eq \r(2))2=r2,
依题意可知r2=(0-eq \r(2))2+(0-eq \r(2))2=4,
故圆C的直角坐标方程为(x-eq \r(2))2+(y-eq \r(2))2=4,
即x2+y2-2eq \r(2)(x+y)=0,
化为极坐标方程为ρ2-2eq \r(2)ρ(sin θ+cs θ)=0,
即ρ=2eq \r(2)(sin θ+cs θ).
(2)在圆C的直角坐标方程x2+y2-2eq \r(2)(x+y)=0中,
令y=0,得x2-2eq \r(2)x=0,解得x=0或2eq \r(2).
于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0),(2eq \r(2),0),
由于直线过圆心C(eq \r(2),eq \r(2))和点(2eq \r(2),0),
则该直线的直角坐标方程为y-0=eq \f(\r(2)-0,\r(2)-2\r(2))(x-2eq \r(2)),
即x+y-2eq \r(2)=0.
化为极坐标方程为ρcs θ+ρsin θ-2eq \r(2)=0.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中.
(2)根据已知条件,得到曲线的直角坐标方程.
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程.
跟踪训练2 已知曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-8x-10y+16=0,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的直角坐标方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解 (1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=ρcs θ,,y=ρsin θ))代入x2+y2-8x-10y+16=0,
得ρ2-8ρcs θ-10ρsin θ+16=0,
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcs θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2-8x-10y+16=0,,x2+y2-2y=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=0,,y=2,))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2),\f(π,4))),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(π,2))).
题型三 极坐标方程的应用
例3 (2020·江苏)在极坐标系中,已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1,\f(π,3)))在直线l:ρcs θ=2上,点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2,\f(π,6)))在圆C:ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)求ρ1,ρ2的值;
(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标.
解 (1)由ρ1cs eq \f(π,3)=2,得ρ1=4;
ρ2=4sin eq \f(π,6)=2,
又(0,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6)))))也在圆C上,
因此ρ2=2或0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcs θ=2,,ρ=4sin θ,))得4sin θcs θ=2,所以sin 2θ=1.
因为ρ≥0,0≤θ<2π,
所以θ=eq \f(π,4),ρ=2eq \r(2).
所以公共点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2),\f(π,4))).
思维升华 极坐标应用中的注意事项
(1)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(2)在极坐标系中,如果P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2),那么两点间的距离公式|P1P2|=eq \r(ρ\\al(2,1)+ρ\\al(2,2)-2ρ1ρ2csθ1-θ2).
两种特殊情况:①当θ1=θ2+2kπ,k∈Z时,|P1P2|=|ρ1-ρ2|;
②当θ1=θ2+π+2kπ,k∈Z,|P1P2|=|ρ1+ρ2|.
跟踪训练3 (2020·太原五中月考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=9+\r(3)t,,y=t))(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=eq \f(16,1+3sin2θ).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)已知P为曲线C上的一个动点,求线段OP的中点M到直线l的最大距离.
解 (1)由ρ2=eq \f(16,1+3sin2θ),得ρ2+3ρ2sin2θ=16,
则曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=16,
即eq \f(x2,16)+eq \f(y2,4)=1.
直线l的直角坐标方程为x-eq \r(3)y-9=0.
(2)可知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4cs α,,y=2sin α))(α为参数),
设P(4cs α,2sin α),α∈[0,2π),
则M(2cs α,sin α)到直线l:x-eq \r(3)y-9=0的距离为
d=eq \f(|2cs α-\r(3)sin α-9|,2)=eq \f(|\r(7)sinθ-α-9|,2)≤eq \f(9+\r(7),2),
所以线段OP的中点M到直线l的最大距离为eq \f(9+\r(7),2).
课时精练
1.(2020·内蒙古呼伦贝尔模拟)在直角坐标系中,圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1+2cs α,,y=\r(3)+2sin α))(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若直线l:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=tcs φ,,y=tsin φ))(t为参数)被圆C截得的弦长为2eq \r(3),求直线l的倾斜角.
解 (1)圆C:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1+2cs α,,y=\r(3)+2sin α,))消去参数α得,
(x-1)2+(y-eq \r(3))2=4,
即x2+y2-2x-2eq \r(3)y=0,
∵ρ2=x2+y2,x=ρcs θ,y=ρsin θ.
∴ρ2-2ρcs θ-2eq \r(3)ρsin θ=0,ρ=4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ-\f(π,3))).
(2)∵直线l:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=tcs φ,,y=tsin φ))(t为参数)的极坐标方程为θ=φ,
当θ=φ时,ρ=4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ-\f(π,3)))=2eq \r(3).
即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ-\f(π,3)))=eq \f(\r(3),2),∴φ-eq \f(π,3)=eq \f(π,6)或φ-eq \f(π,3)=-eq \f(π,6).
∴φ=eq \f(π,2)或φ=eq \f(π,6),
∴直线l的倾斜角为eq \f(π,6)或eq \f(π,2).
2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x-2eq \r(3))2+(y+1)2=16,直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\r(3)t,,y=t))(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|的值.
解 (1)由x=eq \r(3)y,得y=eq \f(\r(3),3)x,
所以l的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)(ρ∈R),
由(x-2eq \r(3))2+(y+1)2=16得,
x2+y2-4eq \r(3)x+2y-3=0,
又因为x2+y2=ρ2,x=ρcs θ,y=ρsin θ,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4eq \r(3)ρcs θ+2ρsin θ-3=0.
(2)方法一 将θ=eq \f(π,6)代入ρ2-4eq \r(3)ρcs θ+2ρsin θ-3=0,
可得ρ2-6ρ+ρ-3=0,即ρ2-5ρ-3=0,
所以ρ1+ρ2=5,ρ1·ρ2=-3,
由极坐标几何意义得|AB|=|ρ1-ρ2|=eq \r(ρ1+ρ22-4ρ1ρ2)=eq \r(25+12)=eq \r(37).
方法二 由题意图曲线C表示圆,则C(2eq \r(3),-1),圆C的半径r=4,直线l:y=eq \f(\r(3),3)x,圆心C到直线l的距离d=eq \f(|2\r(3)+\r(3)|,\r(4))=eq \f(3\r(3),2),
∴|AB|=2eq \r(r2-d2)=2eq \r(42-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3\r(3),2)))2)=eq \r(37).
3.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2),\f(π,4))),半径r=eq \r(2),点P的极坐标为(2,π),过P作直线l交圆C于A,B两点.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)求|PA|·|PB|的值.
解 (1)∵圆C的圆心的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2),\f(π,4))),
∴y=eq \r(2)sin eq \f(π,4)=1,x=eq \r(2)cs eq \f(π,4)=1,
即圆心的直角坐标为(1,1),
∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)点P的极坐标为(2,π),化为直角坐标为P(-2,0).
当直线l与圆C相切于点D时,则|PD|2=|PC|2-r2=(-2-1)2+(0-1)2-(eq \r(2))2=8,
∴由切割线定理得|PA|·|PB|=|PD|2=8.
4.(2020·湛江二十一中月考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(1,2)+cs α,,y=\f(\r(3),2)+sin α))(α为参数).以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,M,N是曲线C上的两点,若∠MON=eq \f(π,3),求|OM|+|ON|的最大值.
解 (1)将曲线C的参数方程化为普通方程为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(\r(3),2)))2=1,
即x2+y2-x-eq \r(3)y=0,
根据x=ρcs θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2可得:
曲线C的极坐标方程为ρ=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,6))).
(2)设M(ρ1,θ),Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2,θ+\f(π,3))),
则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2
=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,6)))+2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,3)+\f(π,6)))
=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ+\f(1,2)cs θ))+2cs θ
=eq \r(3)(sin θ+eq \r(3)cs θ)=2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,3))),
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,3)))=1时,(|OM|+|ON|)max=2eq \r(3).
5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=acs φ,,y=bsin φ))(a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(2),2)))对应的参数φ=eq \f(π,4),射线θ=eq \f(π,3)与曲线C2交于点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(π,3))).
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;
(2)若点A,B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB,求eq \f(1,|OA|2)+eq \f(1,|OB|2)的值.
解 (1)将Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(2),2)))及对应的参数φ=eq \f(π,4),
代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=acs φ,,y=bsin φ,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1=acs \f(π,4),,\f(\r(2),2)=bsin \f(π,4),))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=\r(2),,b=1,))
所以曲线C1的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\r(2)cs φ,,y=sin φ,))φ为参数,
所以曲线C1的直角坐标方程为eq \f(x2,2)+y2=1.
设圆C2的半径为R,
由题意,得圆C2的极坐标方程为ρ=2Rcs θ,
将点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(π,3)))代入ρ=2Rcs θ,得1=2Rcs eq \f(π,3),
即R=1,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cs θ,
所以曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设A(ρ1,θ),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2,θ+\f(π,2)))在曲线C1上,
所以eq \f(ρ\\al(2,1)cs2θ,2)+ρeq \\al(2,1)sin2θ=1,eq \f(ρ\\al(2,2)sin2θ,2)+ρeq \\al(2,2)cs2θ=1,
所以eq \f(1,|OA|2)+eq \f(1,|OB|2)=eq \f(1,ρ\\al(2,1))+eq \f(1,ρ\\al(2,2))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs2θ,2)+sin2θ))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ,2)+cs2θ))=eq \f(3,2).曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcs_θ
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)≤θ<\f(π,2)))
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r,\f(π,2))),半径为r的圆
ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R) 或θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcs θ=aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)<θ<\f(π,2)))
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,\f(π,2))),与极轴平行的直线
ρsin_θ=a(0<θ<π)
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