2021高考数学全国乙卷（文）真题与深度解析

这是一份2021高考数学全国乙卷（文）真题与深度解析，共29页。

2021高考数学（文）全国乙卷真题与深度分析
本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等栏目,其中【解析】中尽可能提供多种解法供参考.本资料部分内容来源于网络
一、 试卷使用地区
2021年全国乙卷由原来的全国I卷及II卷合并而成,使用地区为安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古
二、试卷总评
2021年高考数学全国乙卷文科命题,坚持思想性与科学性的高度统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,命制具有教育意义的试题,以增强考生社会责任感,引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和“机械刷题”现象.2021年高考数学全国乙卷文科命题积极贯彻《总体方案》要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如第16题考查考生的空间想象能力,有多组正确答案,有多种解题方案可供选择.该套命题注重理论联系实际,体现数学的应用价值,并让考生感悟到数学的应用之美.理论联系实际的试题,体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点,有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用,对选拔与育人具有积极的意义.如第17题,以芯片生产中的刻蚀速率为原型,设计了概率统计的应用问题,考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用,引导考生树立正确的人生观、价值观.此外该套试卷具有试题平和、入手比较容易的特点、如前7题均为常规题型,课本上都能找到试题原型.总之,2021年高考数学全国乙卷文科很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,试题有坡度,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.
三、考点分布细目表
题号
命题点
模块（题目数）
1
集合的并集与补集运算
集合（共1题）
2
复数的除法运算
复数（共1题）
3
复合命题真假的判断
逻辑用语（共1题）
4
三角函数的性质
三角函数（共3题）
5
线性规划
不等式（共2题）
6
三角变换
三角函数（共3题）
7
几何概型
概率与统计（共2题）
8
函数的最值
1.函数（共3题）
2.不等式（共2题）
9
函数的奇偶性
函数（共3题）
10
异面直线所成的角
立体几何（共3题）
11
椭圆
解析几何（共3题）
12
函数的极值
导数（共题）
13
向量平行与向量的坐标运算
平面向量（共1题）
14
直线与双曲线
解析几何（共题）
15
解三角形
三角函数与解三角形（共3题）
16
三视图
立体几何（共3题）
17
样本的数字特征
概率与统计（共2题）
18
垂直关系的证明与几何体的体积
立体几何（共3题）
19
等差数列的通项与求和
数列（共1题）
20
抛物线、最值
解析几何（共3题）
21
函数单调性、导数的几何意义
1.函数（共3题）
2.导数（共2题）
22
极坐标与参数方程
选修4-4
23
绝对值函数的图象及恒成立问题
选项4-5
四、试题深度解读
1.已知全集,集合,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的并集与补集运算,考查数学抽象与数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】A
【解析】由可得,所以.故选A.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2.设,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的除法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】
解法一：由可得.故选C.
解法二：设,由可得,所以,即,所以,故选C.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
3. 已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查全称命题、特称命题及复合命题真假的判断,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】A
【解析】由于,所以命题为真命题；由于在上为增函数,,所以,所以命题为真命题；所以为真命题,故选A．
【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除,有些原来是高考每年必考题如程序框图,受新教材的影响,这些内容的考查热点有所降低,如程序框图在本套试卷没有涉及,但不要认为新教材删除的内容都不考,如本题的复合命题真假的判断、第5题的线性规划及16题中的三视图都是新教材删除的内容.
【知识链接】1.“p∨q”“p∧q”“ p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“ p”等形式命题的真假．
2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；
(3) p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．
4. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【命题意图】本题考查三角函数的性质及辅助角公式,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】C
【解析】因为,所以的最小正周期为,最大值为.故选C．
【点评】本题是很常规的题目,课本上有不少类似的题目,对考生来说是得分题,从中可以看出高考突出对重点知识的考查,并不回避熟题.
【知识链接】
1. 三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cos x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)通过换元,转换成二次函数求值域．
求三角函数周期的方法：
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
5. 若满足约束条件则的最小值为（ ）
A. 18 B. 10 C. 6 D. 4
【命题意图】本题考查线性规划,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】C
【解析】
解法一：由题意,作出可行域,如图阴影部分所示,

由可得点,
把目标函数化为,平移直线,当直线过点时,取最小值,
此时.故选C.
解法二：可行域是以为顶点的三角形区域,目标函数的最小值必在顶点出处取得,把分别代入,z的值分别为6.18,10,所以z的最小值为6,故选C.
【点评】线性规划在高考中是热点,考查频率最高的是求目标函数的最值,常作为基础题考查.
【知识链接】
线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画,二移,三求．其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2 .(3)斜率型：形如z＝,
6. （ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查二倍角公式及诱导公式,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】D
【解析】
解法一：由题意得
.故选D.
解法二：,故选D.
【点评】这套试卷前6道题都是常规题、都是基础题,因此可以看出这套试卷的入手比较容易,这样的设置能迅速稳定考生的情绪,使考生考出比较真实的成绩.
【知识连接】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正,大化小,化到锐角为终了．
(2)化简：统一角,统一名,同角名少为终了．
(1)给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法；进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
7. 在区间随机取1个数,则取到的数小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查几何概型,考查直观想象的核心素养.难度：容易
【答案】B
【解析】由几何概型概率的计算公式,可得所求概率,故选B．
【点评】求解本题的关键是确定以长度为测定求概率.
【知识链接】求与长度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度,然后求解．与一个连续变量有关的概率计算常转化为长度测度.
8. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查函数的最值及基本不等式的应用,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
【答案】C
【解析】对于A,,当且仅当时取等号,A不满足题意；对于B,因为,,当且仅当时取等号,等号取不到,B不满足题意；对于C,由,可得,当且仅当,即时取等号,C满足题意；对于D,,当时,D不满足题意,故选C.
【点评】本题考查的重点是均值不等式的适用条件.即应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．
【知识链接】
1.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a,b∈R)．(2)＋≥2(a,b同号)．
(3)ab≤2 (a,b∈R)．(4)≥2 (a,b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值．
9. 设函数,则下列函数中为奇函数的是（ ）
A B. C. D.
【命题意图】本题考查函数图象的平移及函数图象的对称性.难度：中等偏易.
【答案】B
【解析】由题意可得,
对于A,不是奇函数；
对于B,是奇函数；
对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数；
对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选B
【点评】函数的奇偶性如单独命题一般为容易题,此类问题考查热点是判断函数的奇偶性；给出奇函数在一个区间上的解析式,求函数值或函数在另一个区间上的解析式；根据函数的奇偶性求参数取值等,如与函数的其他性质综合在一起考查,一般为中等题.
【知识链接】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．
(4)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
(5)若奇函数在x＝0处有意义,则f(0)＝0.
2.常见的奇函数与偶函数
,,是奇函数,是偶函数
10.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查异面直线所成的角,考查逻辑推理及直观想象的核心素养.难度：中等偏易.
【答案】D
【解析】如图所示,连接,则就是直线所成的角,易得,且,所以,故选D.
【点评】求异面直线所成的角的关键是把该角看作一个三角形的内角,通过解三角形求之.
【知识链接】
求两异面直线所成角的方法可概括为：平移定角,连线成形,解形求角,得钝求补.
11.设B是椭圆上顶点,点P在C上,则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,考查逻辑推理及数学运算的核心素养.难度：中等.
【答案】A
【解析】
解法一：设点,因为,,所以
,
而,所以当时,的最大值为,故选A.
解法二：设,因为,所以
,当时取得最大值,故选A.
【点评】求解本题的关键是利用函数思想求的最大值,利用函数思想求圆锥曲线中的距离最值,还要注意变量范围的限制,如中.
【知识链接】圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
12. 设,若为函数的极大值点,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查导数的应用,考查逻辑推理及直观想象的核心素养.难度：中等.
【答案】D
【解析】
解法一：因为,所以,
因为为的极大值点,所以或,即或,故选D.
解法二：若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.
有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意, 为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.
当时,由,,画出的图象如下图所示：

由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示：

由图可知,,故.综上所述,成立.故选D.
【点评】忽略对a的符号的讨论,是本题易错点.
【知识链接】
1.求函数f(x)极值的一般解题步骤
(1)确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
2.根据函数极值情况求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．
3.若在可导,则是在处取得极值的必要不充分条件.
13. 已知向量,若,则_________．
【命题意图】本题考查向量平行及向量的坐标运算,考查数学运算的核心素养.难度：容易.
【答案】
【解析】由向量平行的充分必要条件可得,解得.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题属于常规题型,难度与课本练习中的基础题相当,且学生训练比较多,所以此题属于得分题.
1.平面向量共线定理的三个应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a,b,若存在实数λ,使a＝λb,则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ,使＝λ,与有公共点A,则A,B,C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．另注意如下定理：O是平面内任一点,则平面内不同的三点A,B,C共线的充要条件是存在实数λ,μ,使得＝λ＋μ,且λ＋μ＝1.
2.若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0),当且仅当唯一一个实数λ,使b＝λa.
3.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解．
14. 双曲线右焦点到直线的距离为________．
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质及点到直线距离公式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.
【答案】
【解析】由题意可得,所以双曲线的右焦点为,
所以右焦点到直线的距离为.
【点评】双曲线的几何性质是高考考查热点,一般为容易题,若与圆等其他曲线结合在一起考查,常作为客观题的压轴题.
【知识链接】
1. 两种距离
(1)点P0(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
2.研究双曲线的几何性质常与焦点分不开,双曲线的性质重点是渐近线方程和离心率,在双曲线－＝1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
15. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________．
【命题意图】本题考查余弦定理及三角形面积公式,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：容易.
【答案】
【解析】由题意,,所以,
所以,解得.
【点评】填空题是历年得分率最低的一类题型,得分率低的一个主要原因是填空题没有中间分,一步出错,就得零分,所以做填空题一定要力求准确,并按照要求答题,也许是为了提高填空题的得分率吧,本卷前3道填空题都比较简单,运算量也比较小.
【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝,b＝,c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝,sin B＝,sin C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

【命题意图】本题考查三视图,考查直观想象及逻辑推理的素养.难度：中等偏易
【答案】③④（答案不唯一）
【解析】由正视图与侧视图同高,可得侧视图为②或③,若侧视图为②,结合正视图可得该三棱锥的右侧面与底面垂直,俯视图为⑤,若侧视图为③,结合正视图可得该三棱锥的右侧有一条侧棱与底面垂直,俯视图为④
【点评】有关三视图的试题,往年大多为选择题,且多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年试题有所创新,考查三视图的识别,且与新高考中的多选题很靠近,但难度依然不大,总的来说,本试卷填空题难度比较小,对大多数考生来说,这四道题都属于得分题.
【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．
17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和．
（1）求,,,；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高）．
【命题意图】本题考查平均数与方差的计算及平均数与方差的应用,考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：容易.
【解析】（1）,
,
,
.
（2）依题意,,,
,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【点评】本题属于基础题,主要考查考生的运算能力,运算失误是失分的主要原因.概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及,客观题至少会有2道.
【知识链接】
1.标准差与方差
标准差：s＝.
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数)．
2.有关平均数、方差的一些结论
若数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2.
则ax1,ax2,…,axn的平均数为 ,方差为a2s2.
数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为,方差为m2s2.
3.众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示,即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
18. 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,M为的中点,且．

（1）证明：平面平面；
（2）若,求四棱锥的体积．
【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.
【解析】（1）因为底面,平面,
所以,
又,,
所以平面,
而平面,
所以平面平面．
（2）由（1）可知,平面,所以,
从而,设,,
则,即,解得,所以．
因为底面,
故四棱锥的体积为．
【点评】立体几何解答题是高考全国卷必考题,难度中等,一般分2问,第1问大多考查平行或垂直的证明,第2问主要考查求几何体的表面积、体积或距离问题,对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,对于求几何体的表面积、体积或距离问题,运算错误是失分的主要原因.
【知识链接】
1.证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
2．证明面面垂直的常用方法及关键
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化．
在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直．
3.证明线面位置关系应注意的问题
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
19. 设是首项为1的等比数列,数列满足．已知,,成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【命题意图】本题考查数列的通项与求和,考查逻辑推理及数学运算的核心素养.难度：中等.
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且,,成等差数列,
所以,两边同时除以 得,解得,
所以,.
（2）解法一：由（1）可得,
,①
,②
①②得 ,
所以,
所以,
所以.
解法二：因为,
所以,
所以.
【点评】前些年全国乙卷数列解答题一般放在第17题的位置上,试题一般比较容易,今年放在19题的位置上,难度有所加大,特别是利用错位相减法求和,很容易出现运算错误.不过因为方程思想求数列通项及错位相减法求和学生训练的比较多,该题仍属于得分题.
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1.方程思想求等差数列与等比数列中的基本量
(1)等差数列中,已知5个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,便可求出其余两个．除已知a1,d,n求an,Sn可以直接用公式外,其他情况一般都要列方程或方程组求解,因此这种问题蕴含着方程思想．
(2)在等比数列五个基本量a1,q,n,an,Sn中,已知其中三个量,可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量,计算有时要整体代换,根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论．
2.错位相减法求和时的注意点
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
20.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线斜率的最大值.
【命题意图】本题考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：中等.
【解析】（1）抛物线的焦点,准线方程为,
由题意,该抛物线焦点到准线的距离为,
所以该抛物线的方程为；
（2）设,则,
所以,
由在抛物线上可得,即,
所以直线的斜率,
当时,；
当时,,
当时,因为,
此时,当且仅当,即时,等号成立；
当时,；
综上,直线的斜率的最大值为.
解法二：由题意,设,由得,
所以,解得,
设直线OQ的斜率为k,则,即,
整理得,所以,
当时k取得最大值,所以直线的斜率的最大值为
【点评】本题与往年解析几何解答题相比较,难度有较大降低,一是第1问求抛物线方程基本没有运算量,直接可写出结果,可以说这一问就是送分的；第2问运算量也不大,最近几年高考卷解析几何解答题一直在有意控制运算量.
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1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．
2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
20. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【命题意图】本题考查用导数研究函数的单调性及导数几何意义的应用.难度：难.
【解析】(1)由可得,
的判别式,
当时,在R上单调递增,
当即时,的解为,
当或时,,单调递增；
当时,,单调递减；
综上可得时,在R上单调递增,时在,上
单调递增,在上单调递减.
(2)设曲线过坐标原点的切线与曲线切于点,
由题意可得 ,
所以切线方程为,
把代入得,
整理得,即,
解得,所以,
所以切线方程为,
与联立得,
化简得,即 解得,
因为,
综上,曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【点评】本题易错之处是误认为所求曲线只有一个公共点,即切点,以致求出切点坐标后忽略还要求出切线方程与曲线联立,求出另一公共点.
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1.求曲线过某点的切线,步骤是先设出切点,利用导数的几何意义写出过切点的切线方程,把已知点代入,求出切点坐标,然后再确定切线方程.
2.解三次方程一般采用因式分解法,三次多项式的因式分解一般通过先分组,再提取公因式的方法,因式分解时有时可根据对应方程有根a,则多项式有因式x-a进行分解.
22. 在直角坐标系中,的圆心为,半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程．
【命题意图】本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化,圆的几何性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【解析】（1）由题意,的普通方程为,
所以参数方程为,（为参数）
（2）由题意,切线的斜率一定存在,设切线方程为,即,
由圆心到直线的距离等于1可得,
解得,所以切线方程为或,
将,代入化简得
或
【点评】本题主要考查方程的互化及圆切线的求法,是一道基础题,与前两年第22题相比较,今年的试题较为平和,学生更容易得分.
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1.圆的参数方程
(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)；
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
2.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形．
23. 已知函数．
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,求a的取值范围．
【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.
【解析】当时,
所以或或,
解得或,
所以的解集为.
（2）依题意,即恒成立,
,
当且仅当时取等号,,
故,
所以或,
解得.
所以的取值范围是.
【点评】本题是常规题型,学生训练较多,属于得分题,第一问解含有两个绝对值的不等式一般采用零点分区间法,注意是“求不等式的解集”,结果要用集合或区间表示.
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1.|x－a|＋|x－b|≤c,|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集．
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．
2.对于绝对值三角不等式定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|,要从以下两个方面深刻理解：
(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定理求函数的最大(小)值时．
(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|,也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推证．