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第10讲 等式的性质 知识点及练习题 -小升初数学衔接教材
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这是一份第10讲 等式的性质 知识点及练习题 -小升初数学衔接教材，文件包含第10讲等式的性质-小升初衔接数学教材原卷版doc、第10讲等式的性质-小升初衔接数学教材解析版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共28页， 欢迎下载使用。
第10讲等式的性质
【知识衔接】
————小学初中课程解读————
小学课程
初中课程
小学数学中，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
初中数学中，掌握等式的基本性质。
————小学知识回顾————
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果 a＝b，那么a ± c＝b ± c.
等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么
————初中知识链接————
1.方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式----方程．
2.方程的解
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
3.一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
4.等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
【经典题型】
小学经典题型
1．下列说法正确的是（ ）
A．等式两边同时乘或除以一个相同的数，等式仍然成立
B．两个不同的质数相加，和可能是奇数也可能是偶数
C．一节课的时间是小时，是把“一节课的时间”看作单位“1”
【答案】B
【解析】A、等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；所以原题说法错误；
B、两个不同的质数相加，和可能是奇数也可能是偶数，说法正确，如2+3＝5，3+5＝8；
C、一节课的时间是小时，是把“1小时”看作单位“1”，所以原题说法错误；
故选：B．
2．m+3＝n+5，那么m（ ）n．
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
【答案】A
【解析】如果m+3＝n+5，
则有m＝n+2，所以m大于n；
故选：A．
3．x+1.8＝y+2.5，那么x（ ）y．
A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定
【答案】A
【解析】x+1.8＝y+2.5
x+1.8﹣1.8＝y+2.5﹣1.8
x﹣y＝y+0.7﹣y
x﹣y＝0.7
所以x＞y．
故选：A．
4．下列等式中不成立的是（ ）
A．9+0＝9 B．9﹣0＝9 C．9×0＝0 D．9÷0＝0
【答案】D
【解析】A、0加上任何数仍得原数，所以9+0＝9是正确的；
B、任何数减去0仍得原数，所以9﹣0＝9是正确的；
C、任何数和0相乘得0，所以9×0＝0是正确的；
D、在除法里，0不能做除数，所以9÷0＝0是错误的．
故选：D．
5．下列利用等式的性质对方程的变形中，正确的是（ ）。
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D。
【解析】根据等式的性质1，可知A的变形错误，根据等式的性质2，可知B的变形错误，
结合等式的性质1和2，可判断C错误，由此可知答案。
6．已知a=b，下列等式成立的是（ ）。
A．a+402=b B.a＋240=b+420 C.a×25=b×25
【答案】C
【解析】根据等式的性质，等式两边同时乘25等式仍然成立，根据此选择即可。
7．①6+x ②30﹣x＞26 ③9x=16 ④x=0
⑤50÷2=25 ⑥240÷y=30 ⑦a+b=29 ⑧15+8=23
是方程的是： ；是等式的是： ．
【答案】③④⑥⑦；③④⑤⑥⑦⑧
【点评】此题主要考查等式和方程的意义．熟记定义，才能快速辨识．
8．在5.6+x＝7.8； 95﹣37＝58； 8﹣y；30+x＜75；9x＝72+18中，等式有 ，方程有 ．
【答案】5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18，5.6+x＝7.8、9x＝72+18．
【解析】等式有：5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18
方程有：5.6+x＝7.8、9x＝72+18．
9．如果3x+4＝25，那么4x+3＝ ．
【答案】31
【解析】3x+4＝25，
3x+4﹣4＝25﹣4，
3x＝21，
3x÷3＝21÷3，
x＝7，
把x＝7代入4x+3＝4×7+3＝31，
故答案为：31．
初中经典题型
1．把方程变形为x=2，其依据是（ ）
A．等式的性质1
B．等式的性质2
C．分式的基本性质
D．不等式的性质1
【答案】B
【解析】
试题分析：根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．
解：把方程变形为x=2，其依据是等式的性质2；
故选：B．
考点：等式的性质．
2．已知等式，则下列变形不正确的是：
A、 B、
C、 D、
【答案】A．
【解析】
试题分析：等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，故B、D项正确；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立．故C项正确，A项不正确．故选A．
考点：等式的性质．
3．运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+2=b+3
B．如果a=b，那么a﹣2=b﹣3
C．如果，那么a=b
D．如果a2=3a，那么a=3
【答案】C
4．在下面方程中变形正确的为（ ）．
①3x+6=0，变形为x+2=0，②x+7=5-3x，变形为4x=-2，③，变形为2x=15，④4x=-2，变形为x=-2．
A．①③ B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】B．
【解析】
试题分析：①方程两边同时除以3，得x+2=0，故①正确；②原方程移项得，x+3x=5-7，合并同类项得，4x=-2，故②正确；③方程两边同时乘以5，得2x=15，故③正确；④方程两边同时乘以4，得x=，故④错误．其中变形正确的有①②③．
故选：B．
考点：等式的性质．
5．下列等式变形正确的是（ ）
A．若﹣3x＝5，则x＝ B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6 D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
【答案】D
【解析】
选项A. 若，则.错误.
选项B. 若，则.错误.
选项C. 若，则 .错误.
选项 D. 若，则.正确.
故选D.
6．如果x=﹣1是关于x的方程x+2k﹣3=0的解，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】
把x=-1代入方程x+2k﹣3=0得：
-1+2k-3=0，解此方程得：k=2.
故选D.
7．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a﹣=b﹣
C．如果ac=bc，那么a=b D．如果，那么a=b
【答案】C
【解析】
A选项中，“如果，那么”是成立的，故不能选A；
B选项中，“ ，那么”是成立的，故不能选B；
C选项中，“如果，那么”不一定成立，因为c的值可能为0，故可以选C；
D选项中，“如果，那么”成立，故不能选D.
故选C.
8．下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
【答案】C
【解析】
A选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程；
B选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程；
C选项中的方程是一元一次方程，所以可以选C；
D选项中的式子不是方程，所以不能选D.
故选C.
9．若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．
解：由一元一次方程的特点得m﹣2=1，即m=3，
则这个方程是3x=0，
解得：x=0．
故选：A．
10．将等式3a﹣2b=2a﹣2b变形，过程如下：因为3a﹣2b=2a﹣2b，所以3a=2a（第一步），所以3=2（第二步），上述过程中，第一步的根据是_____，第二步得出了明显错误的结论，其原因是_____．
【答案】等式的基本性质1； 没有考虑a=0的情况
【解析】
（1）根据等式的性质可知：上述变形过程中第一步的根据是“等式的基本性质1：在等式的两边加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立”；
（2）根据等式的性质可知；上述变形过程中第二步得出错误结论的原因是“没有考虑到a=0这种情况”.
11．有下列等式：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；
⑤由a2=b2，得a=b．其中正确的是_____．
【答案】①②④
【解析】
①由a=b,得5﹣2a=5﹣2b,根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正确,
②由a=b,得ac=bc,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子,等式仍成立,所以本选项正确,
③由a=b,得,根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子,等式仍成立,因为可能为0,所以本选项不正确,
④由,得3a=2b, 根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立,所以本选项正确,
⑤因为互为相反数的平方也相等,由a2=b2,得a=b,或a=-b,所以本选项错误,
故答案为: ①②④.
12．若x=﹣3是方程k（x+4）﹣2k﹣x=5的解，则k的值是_____．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据方程的解的意义可知把x=-3代入方程可得k（-3+4）-2k-（-3）=5，解之得k=-2.
考点：方程的解
13．m，n互为相反数，则（3m–2n）–（2m–3n）=__________．
【答案】0
【解析】
由题意m+n=0，
所以(3m－2n)－(2m－3n)=3m-2n-2m+3n=m+n=0.
14．已知方程3x+2y=5，用含x的式子表示y，则y=______.
【答案】
【解析】
， ， .
15．由等式（a﹣2）x=a﹣2能得到x﹣1=0，则a必须满足的条件是 ________
【答案】a≠2
【解析】
∵由等式（a−2）x＝a−2能得到x−1＝0，
∴a−2≠0，
则a≠2．
故答案为：a≠2．
16.用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．
（1）如果2x+7=10，那么2x=10- ；
（2）如果-3x=8，那么x= ；
（3）如果x− ＝y− ，那么x= ；
（4）如果＝2，那么a= ．
【答案】7，，y，8．
解析：（1）如果2x+7=10，那么2x=10-7；（2）如果-3x=8，那么x=-；（3）如果x−＝y−，那么x=y；
（4）如果＝2，那么a=8．
17.在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．
（1）如果，那么x= ，根据 ；
（2）如果-2x=2y，那么x= ，根据 ；
（3）如果x=4，那么x= ，根据 ；
（4）如果x=3x+2，那么x- =2，根据 ．
【答案】（1）-2y，根据等式的性质2，两边都乘-10；（2）-y，等式的性质2，两边都乘-2；（3）6，等式的性质2，两边都乘；（4）3x，根据等式的性质1，两边都减去3x．
解析：（1）如果，那么x=-2y，根据等式的性质2；（2）如果-2x=2y，那么x=-y，等式的性质2，两边都乘-2；
（3）如果x=4，那么x=6，等式的性质2，两边都乘；（4）如果x=3x+2，那么x-3x=2，根据等式的性质1，两边都减去3x．
18.据等式性质，求下列各式中的x．
（1）5x=3x-2 （2）-5x-27=7x-3．
解：（1）5x-3x=-2，等式两边都减去2x，得x=-2；
（2）-5x-27=7x-3．等式两边都加上27得，-5x=7x+24，等式两边都减去,7x得-5x-7x=24，所以-2x=24，方程两边都除以-2得，得x=-12．
19．阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2（x﹣1）﹣1=3（x﹣1）﹣1．
两边同时加上1，得2（x﹣1）=3（x﹣1），第一步
两边同时除以（x﹣1），得2=3．第二步．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据等式的基本性质可得，错在第二步，两边不能同时除以x-1，因为x-1可能为0．
试题解析：
错在第二步，两边不能同时除以x－1，因为当x－1的值为0时，无意义．
20．已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）-3（4m-1）的值．
【答案】（1）m=-5 （2）37
【解析】
（1）依题意有|m+4|=1，解之得m=-3（舍去），m=-5，
故m=-5，
（2） 6m+4-12m+3=-6m+7
当m=-5时，原式= 37.
【实战演练】
————先作小学题 —— 夯实基础————
1．一个数x与a的和的4倍比9.8少2，求这个数，列等式为（ ）
A.x+4a-9.8 =2 B.x+4a=9.8-2
C.4（x+a）=9.8-2 D.4（x+a）-2=9.8
【答案】C
【解析】
解：x与a的和为x+a，和的四倍为4（x+a），比9.8还少2，所以4（x+a）加上2等于9.8，即为4（x+a）+2=9.8。
2．下面不是等式的是（ ）。
A.5285＋515=5800 B.29a＋36b C.146—6a=116
【答案】B。
【解析】不用等号连接的式子就不是等式，根据此选择。
3．已知a=b，下列等式成立的是（ ）。
A．a+402=b B.a＋240=b+420 C.a×25=b×25
【答案】C
【解析】根据等式的性质，等式两边同时乘25等式仍然成立，根据此选择即可。
4．求方程2x=22的解的方法是（ ）。
A. 22×2 B. 2÷22 C.22÷2
【答案】D
5．如果甲×1.1＝乙÷1.1（甲、乙≠0）那么（ ）
A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定
【答案】C
【解析】因为甲×1.1＝乙÷1.1，
即甲×1.1＝乙，
而1.1，所以甲＜乙；
故选：C．
6．下列各式中，（ ）是方程．
A．2x+6 B．5x﹣0.67＞1.4
C．6a﹣9＝3
【解析】6a﹣9＝3，是含有未知数的等式．
故选：C．
7．下列式子中是方程的是（ ）
A．5x+3.2 B．10＝x+8 C．2.8﹣0.5x D．12+23＝35
【答案】B
【解析】A、5x+3.2，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
B、10＝x+8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
C、2.8﹣0.5x，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
D、12+23＝35，只是等式，不含有未知数，不是方程．
故选：B．
8．下面不是方程的是（ ）
A．5a+1＝13 B．1.5x+7 C．2.1x+x＝6.6 D．6x+7＝4x+10
【答案】B
【解析】A、是含有未知数的等式，是方程；
B、含有未知数，但不是等式，不是方程；
C、是含有未知数的等式，是方程．
D、是含有未知数的等式，是方程．
故选：B．
9．在①4×8＝32，②3x－6＝9，③5a＋4a， ④x－5.3>4，⑤35x＋13x＝9.6中，（______）是等式，（_______）是方程。(填序号)
【答案】 ①②⑤ ②⑤
10．如果a=b，根据等式的性质填空． a﹢3=b﹢________
a÷________ =b÷20．
【答案】3；20
【解析】解：如果a=b，根据等式的性质可得： a﹢3=b﹢3
a÷20=b÷20．
故答案为：3，20．
【分析】根据等式的性质，可知方程的左、右两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；乘同一个数，或者除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；等式的两边加上相同的式子，左右两边仍然相等．据此解答即可．
11．当 a 比15 多 b 时，用等式表示是 ．
【答案】a=b+15．（答案不唯一）
【解析】
试题分析：当 a 比15 多 b 时，a=b+15，据此解答即可．
解：a=b+15，
故答案为：a=b+15．（答案不唯一）
12．如果x＝y，根据等式的性质填空。
x＋3＝y＋( )
x－( )＝y－c
x×d＝y×( )
x÷( )＝y÷9
【答案】3 c d 9
13．如果3a＝5b（a、b均不等于0），根据等式的性质在○里填运算符号，在横线里填数．
3a+6﹣5b○ 6
3a○ 5 ＝5b÷5
【答案】＝，6，÷，5．
【解析】3a+6﹣5b＝6
3a÷5＝5b÷5
故答案为：＝，6，÷，5．
14．A÷1.8＝B÷7.2（AB都不等于0），则A÷B＝ ．
【答案】．
【解析】A÷1.8＝B÷7.2，
AB，
A：B：，
A：B＝5：20，
A：B＝1：4，
所以A÷B＝1；
故答案为：．
————再战初中题 —— 能力提升————
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A. 分母中含有未知数，不是一元一次方程，故A错误；
B. 未知数的最高次幂为2，不是一元一次方程，故B错误；
C. 含有两个未知数，不是一元一次方程，故C错误；
D.,是一元一次方程，故D正确.
故选：D.
2．下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由a=b，得到1-a=1-b B．由，得到a=b
C．由a=b，得到ac=bc D．由ac=bc，得到a=b
【答案】D
【解析】
A选项正确，由a=b等式左右两边同时先乘以-1再同时加1得到1﹣a=1﹣b；
B选项正确，由等式左右两边同时乘以2得到a=b；
C选项正确，由a=b等式左右两边同时乘以c得到ac=bc；
D选项错误，当c=0时，a可能不等于b.
故选D.
3．用代数式表示：a的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ）
A．2a-3 B．2a+3 C．2(a-3) D．2(a+3)
【答案】B
【解析】
分析：a的2倍与3的和也就是用a乘2再加上3，列出代数式即可．
详解：“a的2倍与3 的和”是2a+3．
故选：B．
4．若x＝3是方程a－x＝7的解，则a的值是（ ）．
A．4 B．7 C．10 D．
【答案】C
【解析】
把x＝3代入方程a－x＝7，解得a=10。故选C
5．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是（ ）
A．－6 B．－3 C．－4 D．－5
【答案】A
【解析】
试题解析：把x=2代入方程得：6+a=0，
解得：a=−6，
故选A.
6．运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a﹣c=b﹣c B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果a=b，那么ac=bc D．如果ac=bc，那么a=b
【答案】D．
考点：等式的性质．
7．下列方程的变形，符合等式的性质的是（ ）
A．由2x﹣3=7，得2x=7﹣3
B．由3x﹣2=x+1，得3x﹣x=1﹣2
C．由﹣2x=5，得x=﹣3
D．由﹣x=1，得x=﹣3
【答案】D
【解析】
试题分析：根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵2x﹣3=7，∴2x=7+3，故本选项错误；
B、∵3x﹣2=x+1，∴3x﹣x=1+2，故本选项错误；
C、∵﹣2x=5，∴x=﹣，故本选项错误；
D、∵﹣x=1，∴x=﹣3，故本选项正确．
故选D．
考点：等式的性质．
8．如果x=y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．4﹣y=4﹣x B．x2=y2 C． D．﹣2ax=﹣2ay
【答案】C
【解析】
试题分析：A、等式两边先同时乘﹣1，然后再同时加4即可；
B、根据乘方的定义可判断；
C、根据等式的性质2判断即可；
D、根据等式的性质2判断即可．
解：A、∵x=y，
∴﹣x=﹣y．
∴﹣x+4=﹣y+4，即4﹣y=4﹣x，故A一定成立，与要求不符；
B、如果x=y，则x2=y2，故B一定成立，与要求不符；
C、当a=0时，无意义，故C不一定成立，与要求相符；
D、由等式的性质可知：﹣2ax=﹣2ay，故D一定成立，与要求不符．
故选：C．
考点：等式的性质．
9.若a＝b＋2，则a－b＝________。
【答案】2.
【解析】
试题分析：等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立.即
考点：等式的性质1.
10.若a=b，则在①a﹣3=b﹣3；②3a=2b；③﹣4a=﹣3b；④3a﹣1=3b﹣1中，正确的有 ．（填序号）
【答案】①④．
【解析】
试题分析：①等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，据此判断即可．
②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，据此判断即可．
③等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，据此判断即可．
④首先根据等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，可得3a=3b；然后根据等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，可得3a﹣1=3b﹣1．
解：∵a=b，
∴a﹣3=b﹣3，
∴选项①正确；
∵a=b，
∴3a=3b，
∴3a≠2b，
∴选项②不正确；
∵a=b，
∴﹣4a=﹣4b，
∴﹣4a≠﹣3b，
∴选项③不正确；
∵a=b，
∴3a﹣1=3b﹣1，
∴选项④正确．
故答案为：①④．
考点：等式的性质．
11．已知x=1是方程ax﹣6=5的一个解，则a=_____
【答案】11.
【解析】
试题分析：是方程的一个解，
12．利用等式的性质解一元一次方程
（1）2x-3=9 （2）-x+2=4x-7
（3）4x+2=x （4）
【答案】（1）6；（2）；（3）；（4）；
【解析】
（1）方程的两边都加3，得
合并同类项，得
2x=12，
方程的两边都除以2，得
x=6.
（2）方程的两边都减2，得
方程的两边都减，得
方程的两边都除以，得
（3）方程的两边都减2，得
方程的两边都减，得
方程的两边都除以3，得
（4）方程的两边都加，得
方程的两边都减2，得
合并同类项，得
方程的两边都除以，得
13．已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：
（1）m的值；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．
【答案】（1）m=5；（2）23．
（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解得m=5；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，
当m=5时，原式=6×5﹣7=23．
第10讲等式的性质
【知识衔接】
————小学初中课程解读————
小学课程
初中课程
小学数学中，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
初中数学中，掌握等式的基本性质。
————小学知识回顾————
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果 a＝b，那么a ± c＝b ± c.
等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么
————初中知识链接————
1.方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式----方程．
2.方程的解
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
3.一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
4.等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
【经典题型】
小学经典题型
1．下列说法正确的是（ ）
A．等式两边同时乘或除以一个相同的数，等式仍然成立
B．两个不同的质数相加，和可能是奇数也可能是偶数
C．一节课的时间是小时，是把“一节课的时间”看作单位“1”
【答案】B
【解析】A、等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；所以原题说法错误；
B、两个不同的质数相加，和可能是奇数也可能是偶数，说法正确，如2+3＝5，3+5＝8；
C、一节课的时间是小时，是把“1小时”看作单位“1”，所以原题说法错误；
故选：B．
2．m+3＝n+5，那么m（ ）n．
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定
【答案】A
【解析】如果m+3＝n+5，
则有m＝n+2，所以m大于n；
故选：A．
3．x+1.8＝y+2.5，那么x（ ）y．
A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定
【答案】A
【解析】x+1.8＝y+2.5
x+1.8﹣1.8＝y+2.5﹣1.8
x﹣y＝y+0.7﹣y
x﹣y＝0.7
所以x＞y．
故选：A．
4．下列等式中不成立的是（ ）
A．9+0＝9 B．9﹣0＝9 C．9×0＝0 D．9÷0＝0
【答案】D
【解析】A、0加上任何数仍得原数，所以9+0＝9是正确的；
B、任何数减去0仍得原数，所以9﹣0＝9是正确的；
C、任何数和0相乘得0，所以9×0＝0是正确的；
D、在除法里，0不能做除数，所以9÷0＝0是错误的．
故选：D．
5．下列利用等式的性质对方程的变形中，正确的是（ ）。
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D。
【解析】根据等式的性质1，可知A的变形错误，根据等式的性质2，可知B的变形错误，
结合等式的性质1和2，可判断C错误，由此可知答案。
6．已知a=b，下列等式成立的是（ ）。
A．a+402=b B.a＋240=b+420 C.a×25=b×25
【答案】C
【解析】根据等式的性质，等式两边同时乘25等式仍然成立，根据此选择即可。
7．①6+x ②30﹣x＞26 ③9x=16 ④x=0
⑤50÷2=25 ⑥240÷y=30 ⑦a+b=29 ⑧15+8=23
是方程的是： ；是等式的是： ．
【答案】③④⑥⑦；③④⑤⑥⑦⑧
【点评】此题主要考查等式和方程的意义．熟记定义，才能快速辨识．
8．在5.6+x＝7.8； 95﹣37＝58； 8﹣y；30+x＜75；9x＝72+18中，等式有 ，方程有 ．
【答案】5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18，5.6+x＝7.8、9x＝72+18．
【解析】等式有：5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18
方程有：5.6+x＝7.8、9x＝72+18．
9．如果3x+4＝25，那么4x+3＝ ．
【答案】31
【解析】3x+4＝25，
3x+4﹣4＝25﹣4，
3x＝21，
3x÷3＝21÷3，
x＝7，
把x＝7代入4x+3＝4×7+3＝31，
故答案为：31．
初中经典题型
1．把方程变形为x=2，其依据是（ ）
A．等式的性质1
B．等式的性质2
C．分式的基本性质
D．不等式的性质1
【答案】B
【解析】
试题分析：根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．
解：把方程变形为x=2，其依据是等式的性质2；
故选：B．
考点：等式的性质．
2．已知等式，则下列变形不正确的是：
A、 B、
C、 D、
【答案】A．
【解析】
试题分析：等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，故B、D项正确；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立．故C项正确，A项不正确．故选A．
考点：等式的性质．
3．运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+2=b+3
B．如果a=b，那么a﹣2=b﹣3
C．如果，那么a=b
D．如果a2=3a，那么a=3
【答案】C
4．在下面方程中变形正确的为（ ）．
①3x+6=0，变形为x+2=0，②x+7=5-3x，变形为4x=-2，③，变形为2x=15，④4x=-2，变形为x=-2．
A．①③ B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】B．
【解析】
试题分析：①方程两边同时除以3，得x+2=0，故①正确；②原方程移项得，x+3x=5-7，合并同类项得，4x=-2，故②正确；③方程两边同时乘以5，得2x=15，故③正确；④方程两边同时乘以4，得x=，故④错误．其中变形正确的有①②③．
故选：B．
考点：等式的性质．
5．下列等式变形正确的是（ ）
A．若﹣3x＝5，则x＝ B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6 D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
【答案】D
【解析】
选项A. 若，则.错误.
选项B. 若，则.错误.
选项C. 若，则 .错误.
选项 D. 若，则.正确.
故选D.
6．如果x=﹣1是关于x的方程x+2k﹣3=0的解，则k的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】
把x=-1代入方程x+2k﹣3=0得：
-1+2k-3=0，解此方程得：k=2.
故选D.
7．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a﹣=b﹣
C．如果ac=bc，那么a=b D．如果，那么a=b
【答案】C
【解析】
A选项中，“如果，那么”是成立的，故不能选A；
B选项中，“ ，那么”是成立的，故不能选B；
C选项中，“如果，那么”不一定成立，因为c的值可能为0，故可以选C；
D选项中，“如果，那么”成立，故不能选D.
故选C.
8．下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
【答案】C
【解析】
A选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程；
B选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程；
C选项中的方程是一元一次方程，所以可以选C；
D选项中的式子不是方程，所以不能选D.
故选C.
9．若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．
解：由一元一次方程的特点得m﹣2=1，即m=3，
则这个方程是3x=0，
解得：x=0．
故选：A．
10．将等式3a﹣2b=2a﹣2b变形，过程如下：因为3a﹣2b=2a﹣2b，所以3a=2a（第一步），所以3=2（第二步），上述过程中，第一步的根据是_____，第二步得出了明显错误的结论，其原因是_____．
【答案】等式的基本性质1； 没有考虑a=0的情况
【解析】
（1）根据等式的性质可知：上述变形过程中第一步的根据是“等式的基本性质1：在等式的两边加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立”；
（2）根据等式的性质可知；上述变形过程中第二步得出错误结论的原因是“没有考虑到a=0这种情况”.
11．有下列等式：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；
⑤由a2=b2，得a=b．其中正确的是_____．
【答案】①②④
【解析】
①由a=b,得5﹣2a=5﹣2b,根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正确,
②由a=b,得ac=bc,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子,等式仍成立,所以本选项正确,
③由a=b,得,根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子,等式仍成立,因为可能为0,所以本选项不正确,
④由,得3a=2b, 根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立,所以本选项正确,
⑤因为互为相反数的平方也相等,由a2=b2,得a=b,或a=-b,所以本选项错误,
故答案为: ①②④.
12．若x=﹣3是方程k（x+4）﹣2k﹣x=5的解，则k的值是_____．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据方程的解的意义可知把x=-3代入方程可得k（-3+4）-2k-（-3）=5，解之得k=-2.
考点：方程的解
13．m，n互为相反数，则（3m–2n）–（2m–3n）=__________．
【答案】0
【解析】
由题意m+n=0，
所以(3m－2n)－(2m－3n)=3m-2n-2m+3n=m+n=0.
14．已知方程3x+2y=5，用含x的式子表示y，则y=______.
【答案】
【解析】
， ， .
15．由等式（a﹣2）x=a﹣2能得到x﹣1=0，则a必须满足的条件是 ________
【答案】a≠2
【解析】
∵由等式（a−2）x＝a−2能得到x−1＝0，
∴a−2≠0，
则a≠2．
故答案为：a≠2．
16.用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．
（1）如果2x+7=10，那么2x=10- ；
（2）如果-3x=8，那么x= ；
（3）如果x− ＝y− ，那么x= ；
（4）如果＝2，那么a= ．
【答案】7，，y，8．
解析：（1）如果2x+7=10，那么2x=10-7；（2）如果-3x=8，那么x=-；（3）如果x−＝y−，那么x=y；
（4）如果＝2，那么a=8．
17.在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．
（1）如果，那么x= ，根据 ；
（2）如果-2x=2y，那么x= ，根据 ；
（3）如果x=4，那么x= ，根据 ；
（4）如果x=3x+2，那么x- =2，根据 ．
【答案】（1）-2y，根据等式的性质2，两边都乘-10；（2）-y，等式的性质2，两边都乘-2；（3）6，等式的性质2，两边都乘；（4）3x，根据等式的性质1，两边都减去3x．
解析：（1）如果，那么x=-2y，根据等式的性质2；（2）如果-2x=2y，那么x=-y，等式的性质2，两边都乘-2；
（3）如果x=4，那么x=6，等式的性质2，两边都乘；（4）如果x=3x+2，那么x-3x=2，根据等式的性质1，两边都减去3x．
18.据等式性质，求下列各式中的x．
（1）5x=3x-2 （2）-5x-27=7x-3．
解：（1）5x-3x=-2，等式两边都减去2x，得x=-2；
（2）-5x-27=7x-3．等式两边都加上27得，-5x=7x+24，等式两边都减去,7x得-5x-7x=24，所以-2x=24，方程两边都除以-2得，得x=-12．
19．阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2（x﹣1）﹣1=3（x﹣1）﹣1．
两边同时加上1，得2（x﹣1）=3（x﹣1），第一步
两边同时除以（x﹣1），得2=3．第二步．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据等式的基本性质可得，错在第二步，两边不能同时除以x-1，因为x-1可能为0．
试题解析：
错在第二步，两边不能同时除以x－1，因为当x－1的值为0时，无意义．
20．已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）-3（4m-1）的值．
【答案】（1）m=-5 （2）37
【解析】
（1）依题意有|m+4|=1，解之得m=-3（舍去），m=-5，
故m=-5，
（2） 6m+4-12m+3=-6m+7
当m=-5时，原式= 37.
【实战演练】
————先作小学题 —— 夯实基础————
1．一个数x与a的和的4倍比9.8少2，求这个数，列等式为（ ）
A.x+4a-9.8 =2 B.x+4a=9.8-2
C.4（x+a）=9.8-2 D.4（x+a）-2=9.8
【答案】C
【解析】
解：x与a的和为x+a，和的四倍为4（x+a），比9.8还少2，所以4（x+a）加上2等于9.8，即为4（x+a）+2=9.8。
2．下面不是等式的是（ ）。
A.5285＋515=5800 B.29a＋36b C.146—6a=116
【答案】B。
【解析】不用等号连接的式子就不是等式，根据此选择。
3．已知a=b，下列等式成立的是（ ）。
A．a+402=b B.a＋240=b+420 C.a×25=b×25
【答案】C
【解析】根据等式的性质，等式两边同时乘25等式仍然成立，根据此选择即可。
4．求方程2x=22的解的方法是（ ）。
A. 22×2 B. 2÷22 C.22÷2
【答案】D
5．如果甲×1.1＝乙÷1.1（甲、乙≠0）那么（ ）
A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定
【答案】C
【解析】因为甲×1.1＝乙÷1.1，
即甲×1.1＝乙，
而1.1，所以甲＜乙；
故选：C．
6．下列各式中，（ ）是方程．
A．2x+6 B．5x﹣0.67＞1.4
C．6a﹣9＝3
【解析】6a﹣9＝3，是含有未知数的等式．
故选：C．
7．下列式子中是方程的是（ ）
A．5x+3.2 B．10＝x+8 C．2.8﹣0.5x D．12+23＝35
【答案】B
【解析】A、5x+3.2，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
B、10＝x+8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
C、2.8﹣0.5x，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；
D、12+23＝35，只是等式，不含有未知数，不是方程．
故选：B．
8．下面不是方程的是（ ）
A．5a+1＝13 B．1.5x+7 C．2.1x+x＝6.6 D．6x+7＝4x+10
【答案】B
【解析】A、是含有未知数的等式，是方程；
B、含有未知数，但不是等式，不是方程；
C、是含有未知数的等式，是方程．
D、是含有未知数的等式，是方程．
故选：B．
9．在①4×8＝32，②3x－6＝9，③5a＋4a， ④x－5.3>4，⑤35x＋13x＝9.6中，（______）是等式，（_______）是方程。(填序号)
【答案】 ①②⑤ ②⑤
10．如果a=b，根据等式的性质填空． a﹢3=b﹢________
a÷________ =b÷20．
【答案】3；20
【解析】解：如果a=b，根据等式的性质可得： a﹢3=b﹢3
a÷20=b÷20．
故答案为：3，20．
【分析】根据等式的性质，可知方程的左、右两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；乘同一个数，或者除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；等式的两边加上相同的式子，左右两边仍然相等．据此解答即可．
11．当 a 比15 多 b 时，用等式表示是 ．
【答案】a=b+15．（答案不唯一）
【解析】
试题分析：当 a 比15 多 b 时，a=b+15，据此解答即可．
解：a=b+15，
故答案为：a=b+15．（答案不唯一）
12．如果x＝y，根据等式的性质填空。
x＋3＝y＋( )
x－( )＝y－c
x×d＝y×( )
x÷( )＝y÷9
【答案】3 c d 9
13．如果3a＝5b（a、b均不等于0），根据等式的性质在○里填运算符号，在横线里填数．
3a+6﹣5b○ 6
3a○ 5 ＝5b÷5
【答案】＝，6，÷，5．
【解析】3a+6﹣5b＝6
3a÷5＝5b÷5
故答案为：＝，6，÷，5．
14．A÷1.8＝B÷7.2（AB都不等于0），则A÷B＝ ．
【答案】．
【解析】A÷1.8＝B÷7.2，
AB，
A：B：，
A：B＝5：20，
A：B＝1：4，
所以A÷B＝1；
故答案为：．
————再战初中题 —— 能力提升————
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A. 分母中含有未知数，不是一元一次方程，故A错误；
B. 未知数的最高次幂为2，不是一元一次方程，故B错误；
C. 含有两个未知数，不是一元一次方程，故C错误；
D.,是一元一次方程，故D正确.
故选：D.
2．下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由a=b，得到1-a=1-b B．由，得到a=b
C．由a=b，得到ac=bc D．由ac=bc，得到a=b
【答案】D
【解析】
A选项正确，由a=b等式左右两边同时先乘以-1再同时加1得到1﹣a=1﹣b；
B选项正确，由等式左右两边同时乘以2得到a=b；
C选项正确，由a=b等式左右两边同时乘以c得到ac=bc；
D选项错误，当c=0时，a可能不等于b.
故选D.
3．用代数式表示：a的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ）
A．2a-3 B．2a+3 C．2(a-3) D．2(a+3)
【答案】B
【解析】
分析：a的2倍与3的和也就是用a乘2再加上3，列出代数式即可．
详解：“a的2倍与3 的和”是2a+3．
故选：B．
4．若x＝3是方程a－x＝7的解，则a的值是（ ）．
A．4 B．7 C．10 D．
【答案】C
【解析】
把x＝3代入方程a－x＝7，解得a=10。故选C
5．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是（ ）
A．－6 B．－3 C．－4 D．－5
【答案】A
【解析】
试题解析：把x=2代入方程得：6+a=0，
解得：a=−6，
故选A.
6．运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a﹣c=b﹣c B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果a=b，那么ac=bc D．如果ac=bc，那么a=b
【答案】D．
考点：等式的性质．
7．下列方程的变形，符合等式的性质的是（ ）
A．由2x﹣3=7，得2x=7﹣3
B．由3x﹣2=x+1，得3x﹣x=1﹣2
C．由﹣2x=5，得x=﹣3
D．由﹣x=1，得x=﹣3
【答案】D
【解析】
试题分析：根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵2x﹣3=7，∴2x=7+3，故本选项错误；
B、∵3x﹣2=x+1，∴3x﹣x=1+2，故本选项错误；
C、∵﹣2x=5，∴x=﹣，故本选项错误；
D、∵﹣x=1，∴x=﹣3，故本选项正确．
故选D．
考点：等式的性质．
8．如果x=y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．4﹣y=4﹣x B．x2=y2 C． D．﹣2ax=﹣2ay
【答案】C
【解析】
试题分析：A、等式两边先同时乘﹣1，然后再同时加4即可；
B、根据乘方的定义可判断；
C、根据等式的性质2判断即可；
D、根据等式的性质2判断即可．
解：A、∵x=y，
∴﹣x=﹣y．
∴﹣x+4=﹣y+4，即4﹣y=4﹣x，故A一定成立，与要求不符；
B、如果x=y，则x2=y2，故B一定成立，与要求不符；
C、当a=0时，无意义，故C不一定成立，与要求相符；
D、由等式的性质可知：﹣2ax=﹣2ay，故D一定成立，与要求不符．
故选：C．
考点：等式的性质．
9.若a＝b＋2，则a－b＝________。
【答案】2.
【解析】
试题分析：等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立.即
考点：等式的性质1.
10.若a=b，则在①a﹣3=b﹣3；②3a=2b；③﹣4a=﹣3b；④3a﹣1=3b﹣1中，正确的有 ．（填序号）
【答案】①④．
【解析】
试题分析：①等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，据此判断即可．
②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，据此判断即可．
③等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，据此判断即可．
④首先根据等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，可得3a=3b；然后根据等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，可得3a﹣1=3b﹣1．
解：∵a=b，
∴a﹣3=b﹣3，
∴选项①正确；
∵a=b，
∴3a=3b，
∴3a≠2b，
∴选项②不正确；
∵a=b，
∴﹣4a=﹣4b，
∴﹣4a≠﹣3b，
∴选项③不正确；
∵a=b，
∴3a﹣1=3b﹣1，
∴选项④正确．
故答案为：①④．
考点：等式的性质．
11．已知x=1是方程ax﹣6=5的一个解，则a=_____
【答案】11.
【解析】
试题分析：是方程的一个解，
12．利用等式的性质解一元一次方程
（1）2x-3=9 （2）-x+2=4x-7
（3）4x+2=x （4）
【答案】（1）6；（2）；（3）；（4）；
【解析】
（1）方程的两边都加3，得
合并同类项，得
2x=12，
方程的两边都除以2，得
x=6.
（2）方程的两边都减2，得
方程的两边都减，得
方程的两边都除以，得
（3）方程的两边都减2，得
方程的两边都减，得
方程的两边都除以3，得
（4）方程的两边都加，得
方程的两边都减2，得
合并同类项，得
方程的两边都除以，得
13．已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：
（1）m的值；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．
【答案】（1）m=5；（2）23．
（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解得m=5；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，
当m=5时，原式=6×5﹣7=23．
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