2020年陕西省中考数学试卷

这是一份2020年陕西省中考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年陕西省中考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分






一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. -18的相反数是（　　）
A. 18 B. -18 C. D. -
2. 若∠A=23°，则∠A余角的大小是（　　）
A. 57° B. 67° C. 77° D. 157°
3. 2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）
A. 9.9087×105 B. 9.9087×104 C. 99.087×104 D. 99.087×103
4. 如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）

A. 4℃ B. 8℃ C. 12℃ D. 16℃
5. 计算：（-x2y）3=（　　）
A. -2x6y3 B. x6y3 C. -x6y3 D. -x5y4
6. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A.
B.
C.
D.


7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8. 如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A. B. C. 3 D. 2
9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A. 55°
B. 65°
C. 60°
D. 75°


10. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-（m-1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 化简：（2+）（2-）=______．
12. 如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是______．





13. 在平面直角坐标系中，点A（-2，1），B（3，2），C（-6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为______．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E在边AD上，且AE=2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
15. 如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．












四、解答题（本大题共10小题，共71.0分）
16. 解不等式组：







17. 解分式方程：-=1．







18. 如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C=45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．（保留作图痕迹．不写作法）















19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．E是边BC上一点，且DE=DC．求证：AD=BE．









20. 王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
（1）这20条鱼质量的中位数是______，众数是______．
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？









21. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？









22. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．







23. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=75°，∠ABC=45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB=12，求线段EC的长．



















24. 如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（3，12）和（-2，-3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．









25. 问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是______．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB=8．P是上一点，且=2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB=70m，点C在⊙O上，且CA=CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP=30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．










答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：-18的相反数是：18．
故选：A．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】B

【解析】解：∵∠A=23°，
∴∠A的余角是90°-23°=67°．
故选：B．
根据∠A的余角是90°-∠A，代入求出即可．
本题考查了互余的应用，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．
3.【答案】A

【解析】解：990870=9.9087×105，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C

【解析】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是-4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，
故选：C．
根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
本题考查了函数图象，认真观察函数图象图，从不同的图中得到必要的信息是解决问题的关键．
5.【答案】C

【解析】解：（-x2y）3==．
故选：C．
根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D

【解析】解：由勾股定理得：AC==，
∵S△ABC=3×3-=3.5，
∴，
∴，
∴BD=，
故选：D．
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】B

【解析】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，
解得，，
∴A（-3，0），B（-1，2），
∴△AOB的面积=3×2=3，
故选：B．
根据方程或方程组得到A（-3，0），B（-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了两直线平行与相交问题，一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
8.【答案】D

【解析】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC=90°，
∴Rt△BCF中，EF=BC=4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴F是AG的中点，
∴EF是梯形ABCG的中位线，
∴CG=2EF-AB=3，
又∵CD=AB=5，
∴DG=5-3=2，
故选：D．
依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．
本题主要考查了平行四边形的性质以及梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
9.【答案】B

【解析】解：连接CD，
∵∠A=50°，
∴∠CDB=180°-∠A=130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠ODB=∠ODC=BDC=65°，
故选：B．
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
10.【答案】D

【解析】解：∵y=x2-（m-1）x+m=（x-）2+m-，
∴该抛物线顶点坐标是（，m-），
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m--3），
∵m＞1，
∴m-1＞0，
∴＞0，
∵m--3===--1＜0，
∴点（，m--3）在第四象限；
故选：D．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
11.【答案】1

【解析】解：原式=22-（）2
=4-3
=1．
先利用平方差公式展开得到原式=22-（）2，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
12.【答案】144°

【解析】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C==108°，BC=DC，
所以∠BDC==36°，
所以∠BDM=180°-36°=144°，
故答案为：144°．
根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．熟记定义是解题的关键．
13.【答案】-1

【解析】解：∵点A（-2，1），B（3，2），C（-6，m）分别在三个不同的象限，点A（-2，1）在第二象限，
∴点C（-6，m）一定在第三象限，
∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y=（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y=（k≠0）的图象经过B（3，2），C（-6，m），
∴3×2=-6m，
∴m=-1，
故答案为：-1．
根据已知条件得到点A（-2，1）在第二象限，求得点C（-6，m）一定在第三象限，由于反比例函数y=（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y=（k≠0）的图象经过B（3，2），C（-6，m），于是得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
14.【答案】2

【解析】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH=AE=2，

∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，
∴BG=3，AG=3=EH，
∴HC=BC-BG-GH=6-3-2=1，
∵EF平分菱形面积，
∴FC=AE=2，
∴FH=FC-HC=2-1=1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF===2．
故答案为：2．
过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，可得BG=3，AG=3=EH，由题意可得，FH=FC-HC=2-1=1，进而根据勾股定理可得EF的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
15.【答案】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，

∴∠CEF=∠BFE=90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，
∴CE=BF，ME=AC，
∠1=∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF=EM=31+18=49，
由矩形性质可知：EF=CB=18，
∴MN=NF+EM-EF=49+49-18=80（m）．
答：商业大厦的高MN为80m．

【解析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF=EM=49，进而可得商业大厦的高MN．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
16.【答案】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17.【答案】解：方程-=1，
去分母得：x2-4x+4-3x=x2-2x，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：如图，点P即为所求．


【解析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°即可．
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
19.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C．
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．

【解析】根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
20.【答案】1.45kg  1.5kg

【解析】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
∴这20条鱼质量的中位数是=1.45（kg），众数是1.5kg，
故答案为：1.45kg，1.5kg．

（2）==1.45（kg），
∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；

（3）18×1.45×2000×90%=46980（元），
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．
（1）根据中位数和众数的定义求解可得；
（2）利用加权平均数的定义求解可得；
（3）用单价乘以（2）中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．
本题考查了用样本估计总体、加权平均数、众数及中位数的知识，解题的关键是正确的用公式求得加权平均数，难度不大．
21.【答案】解：（1）当0≤x≤15时，设y=kx（k≠0），
则：20=15k，
解得k=，
∴y=；
当15＜x≤60时，设y=k′x+b（k≠0），
则：，
解得，
∴y=，
∴；

（2）当y=80时，80=，解得x=33，
33-15=18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．

【解析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y=80代入求出x的值即可解答．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
22.【答案】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率==；
（2）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率==．

【解析】（1）由频率定义即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOC+∠OCE=180°，
∴∴AD∥EC
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC=75°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=60°，
∴∠D=∠ACB=60°，
∴sin∠ADB=，
∴AD==8，
∴OA=OC=4，
∵AF⊥EC，∠OCE=90°，∠AOC=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA=OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF=AF=4，
∵∠BAD=90°-∠D=30°，
∴∠EAF=180°-90°-30°=60°，
∵tan∠EAF=，
∴EF=AF=12，
∴CE=CF+EF=12+4．

【解析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE=90°，由圆周角定理可得∠AOC=90°，可得结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD=8，可证四边形OAFC是正方形，可得CF=AF=4，由锐角三角函数可求EF=12，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
24.【答案】解：（1）将点（3，12）和（-2，-3）代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y=x2+2x-3；

（2）抛物线的对称轴为x=-1，令y=0，则x=-3或1，令x=0，则y=-3，
故点A、B的坐标分别为（-3，0）、（1，0）；点C（0，-3），
故OA=OC=3，
∵∠PDE=∠AOC=90°，
∴当PD=DE=3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m-（-1）=3，解得：m=2，
故n=22+2×2-5=5，故点P（2，5），
故点E（-1，2）或（-1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（-4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（-4，5）；点E的坐标为（-1，2）或（-1，8）．

【解析】（1）将点（3，12）和（-2，-3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD=DE=3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．
25.【答案】CF、DE、DF

【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE=CF=DE=DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，=2，
∴∠APB=90°，∠AOP=×180°=60°，
∴∠ABP=30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF=CF，
在Rt△APB中，PB=AB•cos∠ABP=8×cos30°=8×=4，
在Rt△CFB中，BF====CF，
∵PB=PF+BF，
∴PB=CF+BF，
即：4=CF+CF，
解得：CF=6-2；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CA=CB，
∴∠ADC=∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE=PF，∠APE+∠BPF=90°，∠PEA=∠PFB=90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′=PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE=∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF=90°，即∠A′PB=90°，
∴S△PAE+S△PBF=S△PA′B=PA′•PB=x（70-x），
在Rt△ACB中，AC=BC=AB=×70=35，
∴S△ACB=AC2=×（35）2=1225，
∴y=S△PA′B+S△ACB=x（70-x）+1225=-x2+35x+1225；
②当AP=30时，A′P=30，PB=AB-AP=70-30=40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B===50，
∵S△A′PB=A′B•PF=PB•A′P，
∴×50×PF=×40×30，
解得：PF=24，
∴S四边形PEDF=PF2=242=576（m2），
∴当AP=30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，=2，得出∠APB=90°，∠AOP=60°，则∠ABP=30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF=CF，在Rt△APB中，PB=AB•cos∠ABP=4，在Rt△CFB中，BF==CF，推出PB=CF+BF，即可得出结果；
（3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE=PF，∠APE+∠BPF=90°，∠PEA=∠PFB=90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′=PA，则A′、F、B三点共线，∠APE=∠A′PF，证∠A′PB=90°，得出S△PAE+S△PBF=S△PA′B=PA′•PB=x（70-x），在Rt△ACB中，AC=BC=35，S△ACB=AC2=1225，由y=S△PA′B+S△ACB，即可得出结果；
②当AP=30时，A′P=30，PB=40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B==50，由S△A′PB=A′B•PF=PB•A′P，求PF，即可得出结果．
本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．