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初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第4章第2节 平面镜成像（含答案）
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这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第4章第2节 平面镜成像（含答案），共15页。教案主要包含了平面镜的成像规律，平面镜的典型问题等内容，欢迎下载使用。
第二节 平面镜成像
一、平面镜的成像规律
平面镜所成的像是正立的虚像，像与物大小相等，像与物到镜面的距离相等且像与物的连线与镜面垂直。亦即像与物关于镜面对称。
物体发出的光线经过平面镜反射后，反射光线的反向延长线在镜后会聚为虚像，如图2.37所示。当我们在镜前时，经过平面镜反射后进入人眼的光线看起来好像是从镜后的虚像发出的。
二、平面镜的典型问题
(一)根据光路的可逆性确定平面镜观察范围的光路图
观察者不动，通过平面镜能看到物体的范围是多大？对这一问题常应用光路可逆性原理，把眼睛看做“发光体”，眼睛发出的光照亮的区域即为能看到的区域。
例1 如图2.38所示，某人躺在地板上，眼的位置在处。一只小虫在地板上从右向左爬，从天花板上的平面镜看到小虫的像，问小虫爬到何处时，人在平面镜中就看不到小虫了？请画图说明。
分析与解 假设人眼为一光源，它的像为。人眼“发出”的光照射到平面镜上后，反射出的光照亮地板的区域为，注意画光路图时要按光实际传播的方向加上箭头。如图2.39所示，区域发出的光经平面镜反射后可到达点，即处的眼睛可通过平面镜看到区域的小虫的像，当小虫爬到区域以外时，就不能通过平面镜看到它的像了。
例2 (第22届全国预赛试题)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为的黑球，距球心为处有一点光源，球心和光源皆在圆筒轴线上，如图2.40所示。若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，筒的内半径最大为多少？
分析与解 当光源发出的光线经圆筒内表面反射后，反射光线全部被球接收，则点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收。自光源作球的切线，并画出经筒壁反射形成的虚像点，从画出球面的切线，如图2.41(a)所示。可以看出，只要和之间有一夹角，则从简壁上反射的光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收。如果筒的半径恰好减小到能使和重合，如图2.41(b)所示，则对应的筒的半径就是题目所要求的内半径的最大值。
设光线与球切于点，则由三角形面积公式，可知，即
解得
(二)平面镜与物体间的相对运动
由平面镜成像特点——像与物关于镜面对称，易得以下结论：
(1)若平面镜不动，物体沿垂直于镜面的方向以速度向镜面运动，则像以速度向镜面运动(对镜的速度)，像相对于物体以速度运动。
(2)若物体不动，镜沿垂直于镜面的方向以速度向物体运动，则像相对镜以速度向镜面运动，像相对物体以速度运动。
下面通过例题给出当物体运动方向任意时，像与物体之间的速度关系。
例3 一个点光源放在平面镜前，若不动，光源以的速度沿与镜面成角的方向向右做匀速直线运动，如图2.42所示，则光源在镜中的像将( )。
A．以的速率沿直线的方向向右平移
B．以的速率沿垂直于的方向向下平移
C．从镜的另一侧向点做速率为的直线运动
D．在上看到像以的速度向靠近
分析与解 如图2.43所示，用对称法作的像，并作经时间后点光源的位置及对应像的位置，由对称关系可知，故得像将沿直线以的速率做直线运动，故C正确，由对称关系可知，在时间内和向镜面靠近的距离和大小相等。它们互相靠近的距离为，和靠近的速度为
故D项正确。因此本题的正确选项为CD。
例4 如图2.44所示，点光源放在平面镜前，试问：
(1)若不动，镜以速度沿方向向右平移，的像将如何运动？
(2)若不动，镜以为圆心，沿顺时针方向转动角，且转动角小于，的像将绕点转动多少角度？
分析与解 (1)如图2.45(a)所示，镜面向右平移，设在时间内由点移到点，同时像物重合，即时间内点的位移为，而的位移为，，故以速度沿和的连线向s运动。
(2)设镜绕点顺时针转过角，则与平面镜的夹角变为，如图2.45(b)所示，根据像与物的对称性可知，与镜面的夹角也变为，所以像绕点顺时针转动角。
(三)互成夹角的平面镜(角镜)成像个数问题
当物体在一块平面镜前时，只能通过该平面镜成一个像。但当物体位于两块互成一定夹角的平面镜前时，成像个数却比较复杂，下面分不同情况给出该类问题的解决方法。
1．两镜面夹角不能整除的情况
如图2.46(a)所示，两镜面与的夹角为，与镜面的夹角为。则可通过镜面和成像，通过所成的像又可以通过再次成像，同样，通过所成的像又可以通过再次成像……所以，物点可以成多个像。由于平面镜成像原理是光的反射，因此每成一个像，说明光线被反射一次。如图2.46(b)所示，我们可以作出镜面通过所成的像，以及像又成的像……这样，相邻的镜面或者镜面的像之间的夹角仍为，只要从物点出发的光线和这些镜面或者镜面的像有交点，则就可以使成像，确定交点的个数即为成像个数。
先确定通过镜面所成的像的个数。设物点经成像个，画出自射向的光线，则当趋近时交点最多，为个，由几何关系得
则有
其中亦为正整数。
因此，物点成像个数为。
例5 如图2.47所示，平面镜和之间的夹角，在两镜之间有一物点(为了容易看，将与平面镜的交点连为一直线，实际上也可以把这条直线视为一个物体)，与两镜面的夹角分别为和，则在和之间可以成多少个像？
分析与解 由题知两镜面夹角，不能整除，因此我们只能利用前面介绍的方法，分别求出通过平面镜成像个数和通过。成像个数，即可求得总共的成像个数。
对有
解得，因此。
对有
解得，因此。
所以共有5个所成的像。
2．两镜面夹角能整除的情况
当能整除时，求物点经两平面镜所成的像的个数，可令。
①若为偶数，则由对称性可以证明最后2个像重合于同一点，人们习惯上将两个完全重合的像计为一个像，因此实际看到像的个数为个；
②若为奇数时，成像个数与实际看到像的个数都为。
例6把两块平面镜竖直放置，并使它们之间的夹角为。在它们的夹角的角平分线上放一点燃的蜡烛，则烛焰在两个平面镜里总共可成的虚像数是( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
分析与解 由题可知，两镜面夹角，能整除，且为偶数，因此成像个数。我们也可以根据平面镜成像特点，利用几何作图的方法找出各像点。如图2.48所示，由于平面镜成像具有对称性，可得点在平面镜中的像点，点在平面镜中的像点，这是两个基本像点，只要它们还落在另一镜前就要反复成像。点在平面镜中的像点为，在平面镜中的像点为，在平面镜中的像点为，在平面镜中的像点也是。
由以上作图可知，像，，，，都在以为半径，以为圆心的圆周上，所以在平面镜中成5个像。故A项正确。
练习题
1．(上海第7届大同杯初赛)如图2.49所示，在井的上方放置一块平面镜，若与水平方向成角的太阳光能竖直照到井底，则平面镜与水平方向的夹角应是( )。
A． B． C． D．
2．如图2.50所示，两平面镜镜面夹角为(锐角)，点光源位于两平面镜之间，在发出的所有光线中( )。
A．只有一条光线经镜面两次反射后经过点
B．只有两条光线经镜面两次反射后经过点
C．有两条以上的光线经镜面两次反射后经过点
D．有几条光线经镜面反射两次经过点与的位置有关
3．如图2.51所示，，，三条光线交于点，如果在点前任意位置放置一块平面镜，则，，的三条反射光线( )。
A．可能交于一点也可能不交于一点
B．一定不交于一点
C．交于镜前的一点，成为一实像点
D．它们的延长线交于镜后一点，得到一个虚像点
4．(上海第7届大同杯初赛)直线状物体与平面镜平行，当平面镜绕跟平行的某轴线转过角时，跟它的像之间的夹角是( )。
A． B．
C． D．与之间的某角度
5．(上海第6届大同杯初赛)平面镜前有一个长为的线状物体，端距镜面为，端距镜面为，如图2.52所示。则点的像到端的距离是( )。
A． B． C． D．
6．如图2.53所示，在竖直平面内，人眼位于位置处，平面镜竖直放置，其两端，的坐标分别为和，若某发光点在该竖直平面轴的右半部分某一区域内自由移动时，此人恰好都能通过平面镜看见的像，则该区域的最大面积为( )。(图中长度单位为)
A． B． C． D．
7．平面镜前有一个发光点沿与镜面成的方向，以速度向镜面运动，如图2.54所示。则和它的像之间的接近速度是( )。
A． B． C． D．
8．平面镜前有一个发光点，到平面镜的垂线的垂足为，如图2.55所示。当平面镜绕过点并与纸面垂直的轴逆时针转动时，像点( )。
A．与平面镜的距离保持不变 B．沿一直线越来越接近平面镜
C．与发光点的距离越来越大 D．按逆时针方向沿一圆弧运动
9．在两块竖直平行放置的平面镜，之间，有一点光源，距，的距离分别为，，如图2.56所示。在中可看到的一系列虚像，其中左方第一个虚像与第二个虚像间的距离等于( )。
A． B． C． D．
10．(上海第4届大同杯初赛)平面镜前有4个发光点，如图2.57所示。图中眼睛不能看到其虚像的发光点是( )。
A．点 B．点
C．点 D．点和点
11．两相交平面镜成角，两镜中间有一点光源，如图2.58所示，则在平面镜中所成像的个数是( )。
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
12．(上海第27届大同杯初赛)如图2.59所示，两个平面镜之间的夹角为，在两镜面夹角的角平分线上有一个点光源，它在两平面镜中所成像的个数是( )。
A．1 B．2 C．4 D．3
13．如图2.60所示，两个相互垂直的平面镜，在其中任一位置放置光源，那么它所成的像共有( )。
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
14．(上海第13届大同杯初赛)以平面镜和为两个侧面的一个黑盒子里有一个点光源，黑盒子的另一侧面上开有一个小孔，如图2.61所示。一位观察者在盒外沿与平行的方向走过时，通过孔能被所发出的光照射到几次？( )
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
15．(上海第5届大同杯初赛)图2.62中两个反射面成钝角，镜前放一个物体应该产生两个虚像，那么在镜前不能同时看到两个虚像的区域是( )。
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．I，Ⅱ，Ⅲ
16．(上海第8届大同杯初赛)在图2.63中，为一平面镜，，，，表示一个不透明正方体的四个侧面，其中面与平面镜平行，是观察者的眼睛所在位置(位于正方体的正下后方)，则下列结论中正确的是( )。
A．观察者可以观察到，，，四个侧面
B．观察者通过平面镜可以看到面和面
C．观察者通过平面镜可以看到面及部分面
D．观察者通过平面镜可以看到面，不能看到面的任何部位
17．如图2.64中的是一口水池，地面和与水面处在同一水平面上。是高为的电线杆，，，。立在点的观察者弯腰观察电线杆在水中的像。已知观察者的两眼位置距地面高为，则他能看到电线杆在水中所成像的长度为( )。
A． B． C． D．
18．(上海第14届大同杯初赛)如图2.65所示，一根长度为的直薄木条上有两个观察小孔。两小孔之间的距离为，恰好是一个人两眼间的距离，当木条水平放置时，此人想通过两观察孔看见此木条在平面镜里完整的像，那么选用的平面镜宽度至少是( )。
A． B． C． D．
19．(上海第14届大同杯初赛)如图2.66所示，光滑桌面上放有两个光滑固定挡板，，夹角为。角平分线上有两个相同的弹性小球和，某同学给小球一个速度，经过挡板的一次或多次反弹后恰能击中小球，假如不允许让小球直接击中，小球的大小不计，也不考虑球击中点时的情况，该同学要想实现上述想法，可选择的小球运动的路线有( )。
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
20．(上海第15届大同杯初赛)平面镜前有一物体，不透光的屏放在和平面镜之间，两者在竖直方向上的长度相同，如图2.67所示，并且屏的下端与的中点等高，那么( )。
A．平面镜中只有下半部的像
B．平面镜中只有上半部的像
C．平面镜中仍能成完整的虚像，在平面镜前任何位置都可以看到
D．平面镜中仍能成完整的虚像，但在平面镜前一定范围内才可以看到
21．(上海第15届大同杯初赛)如图2.68所示，两个平面镜相互垂直竖直放置，点光源在平面镜内成3个像。现让点光源在水平面内沿圆周顺时针运动，则可以观察到镜内的3个像( )。
A．全都顺时针运动
B．全都逆时针运动
C．一个顺时针运动，另外两个逆时针运动
D．一个逆时针运动，另外两个顺时针运动
22．(上海第19届大同杯初赛)如图2.69所示，平面镜与垂直放置，在它们的角平分线上的点处放有一个球形放光物体，左半部分为浅色，右半部分为深色，在点左侧较远的地方放有一架照相机，不考虑照相机本身在镜中的成像情况，则拍出照片的示意图正确的是( )。
A B C D
23．(上海第12届大同杯复赛)如图2.70所示，为平面镜，为光屏。它们均竖直放置，在平面镜端正前方、位于和中点处有一激光源。现点发出一束光线向镜面投射，当光线的人射点从点单向移动到点时，测得反射光在光屏上的移动速度是，则入射光的入射点沿镜面移动的速度是________。
24．(上海第21届大同杯初赛)如图2.71所示，水平地面上有一不透光的边长为的正方体物块。在正方体正左方有一点光源，点光源和正方体物块的距离也始终为。在点光源的上方距离为处水平放置平面镜，大小固定不变，平面镜足够大。如果不考虑其他光源的存在，那么在正方体的另一侧水平面上，将会由于点光源发出的光线经平面镜反射而被照亮，现改变的大小，当增大到________时，照亮区域将消失。
25．如图2.72所示，有一水平放置的平面镜，在平面镜上方处有一与平面镜平行放置的平板，在靠镜的一侧有一点光源。现要在离平面镜的虚线上的某一处放一平行于平面镜的挡光板，使反射光不能照射到板上的部分。已知，，则挡光板的最小宽度是________。
26．如图2.73所示，人立于河边看对岸的一电线杆在水中的像，当人离开河岸后退超过时便不能看到整个电线杆的像。已知人高，河两岸都高出水面，河宽为，求电线杆高。
27．如图2.74所示，水平地面上有一障碍物，较大的平面镜在某一高度上水平放置，试用作图法求出眼睛位于点从平面镜中所能看到的障碍物后方地面的范围。如果想在原处看到更大范围的地面，水平放置的镜子的高度该怎样改变？
28．一般人脸宽(包括两耳)约为，两眼的光心相距约为，两眼光心离头顶和下巴分别为和。当平面镜竖直放置时，至少要用多大的平面镜(矩形)，才能看到自己脸的全部？
29．(上海第20届大同杯复赛)如图2.75所示，在天花板上用弹簧悬挂一个小球，让小球做幅度不变的上下振动，点和点分别是振动中的最高点和最低点。在点放置一个平面镜，是的中垂线，设，眼睛沿着观察平面镜中的像。
(1)当小球以6次的频率振动时，为了看到一个始终在延长线上的像，平面镜应该如何运动？
(2)小球的像在上前后移动的最大距离为多少？
参考答案
1．D。入射光线与反射光线的夹角为，入射光线与平面镜的夹角为，则平面镜与水平面的夹角为。
2．B。分别作光源在两个平面镜中的像点，，连接分别与两个平面镜相交于，两点，即为入射点或反射点，连接，，，则只有，这两条光线经镜面两次反射后经过点，如图2.76所示，故选B。
3．C。若在相对镜的对称点有一点光源，发出的光线经镜面反射后有三条与，，重合，故知，，三条光线的反射光线交于。
4．C。物体与镜面平行，当平面镜绕与平行的轴转动后，平面镜仍与物体平行，因此与它的像也平行，夹角为零。
5．C。如图2.77所示，根据平面镜成像特点画出的像，并作出辅助线，则由勾股定理可得
到的距离
6．D。从平面镜的边缘反射的光线进入人眼，这是从平面镜看到发光点的边界，作出两条反射光线的入射光线，两条入射光线、平面镜、轴围成的区域是眼睛通过平面镜看到发光点移动的最大面积，利用数学方法求出面积即可。如图2.78所示，连接，，根据光的反射定律，作出的入射光线，作出的入射光线，则，，，围成的区域是发光点的移动范围。，，，围成的区域是梯形，上底(即的长度)为，下底(即的长度)为，高为，根据梯形的面积公式得
7．A。假设发光点以速度运动了距离后与镜面相交，则由几何关系，此过程中发光点向镜面靠近了的距离，根据平面镜成像特点，发光点的像也向镜面靠近了的距离，即发光点与它的像相互靠近了的距离，因此相互靠近的速度也是。
8．D。先画出初始时像的位置，再画出镜面转过角之后像的位置，即可得到像绕点逆时针转过了，且像与点的距离不变。
9．B。左方的第一个像是光源在上直接成的像，记为，到的距离为。光源直接在上成的像为，又通过成像，即为左方的第二个像，到的距离为，则到的距离为。
10．A。作出眼睛的像，从出发引经过平面镜边缘的两条直线，这两条直线之间的范围即为眼睛能通过平面镜看到的范围，不在这个范围内的物体，眼睛就无法通过平面镜看到，如图2.79所示。
11．B。成像个数，为奇数，故成3个像。
12．C。设光源通过其中一个镜面成像个，则根据例5的解析过程，可得，解得，因此，由于光源在两镜的角平分线上，因此光源通过另一镜面也成2个像。
13．C。，由于为偶数，有两个像重合，因此成像个数习惯上计为3个。
14．D。孔被发出的光照射到共有四种情况：①发出的光线直接照射到孔；②发出的光线经镜面反射一次后照射到孔；③发出的光线经镜面反射一次后照射到孔；④发出的光线先经镜面反射一次，又经镜面反射一次后，照射到孔。
15．D。由图2.80可知，当人在I区域时，不能看见右边平面镜所成的虚像。同理，当人在Ⅲ区域时，不能看见左边平面镜所成的虚像。因为在Ⅱ区域的某一发光点发出的光线经两个反射面反射后的反射光线不能相交于一点，所以在Ⅱ区域也不能同时看到两个虚像，即在I，Ⅱ，Ⅲ三个区域都不能同时看到两个虚像。
16．C。画出眼睛和正方体通过平面镜所成的像，并将眼睛视为发光点，则自眼睛发出的光线反射情况如图2.81所示，正方体上能被照亮的部分，眼睛可以通过平面镜观察到，显然，只有面和部分面可以观察到。
17．C。如图2.82所示，点是人的眼睛，是电线杆的像。根据平面镜成像规律，人眼可以看到的电线杆的像是段。根据相似三角形的性质可以算出这一段的长度。观察者眼睛为点，作关于的轴对称图形，连接，并延长，分别交于点，，由，可得，因为是高为的电线杆，，，，观察者的两眼距地面高为，所以。由可得，解得，所以。
18．D。作出木条的像，将双眼视为点光源，当双眼置于两孔的位置，并发出如图2.83所示的光线照亮木条像的两端，则左眼需要的平面镜长度为，右眼需要的平面镜长度为，若两眼同时观察木条的像，所需要的长度为和的公共部分，即的长度即可。由三角形中位线知识可知，，，则。
19．B。小球撞击挡板反弹时，入射速度与反弹速度的关系类似光的反射定律。假设为光源，挡板视为平面镜，则将成5个像，每个像都会“发出”光线照亮。不同的像照亮，对应在挡板间以不同的反弹路线击中。由于的像中有一个是关于点与点对称，因此这个像照亮的光线恰通过点，不符合题意，所以运动的路线有4条。
20．D。从物体出发到达平面镜的光线，并未全部被挡住，所以仍能在平面镜内成完整的像，但只有在某一特定范围内，才能看到的完整的像，读者可自行作图找出该区域。
21．C。先画出光源通过两镜面所成的像，，，当光源沿圆周顺时针运动一小段距离时，重新画出光源通过两镜面所成的像，，，如图2.84所示，显然，像，均逆时针转动，像顺时针转动。
22．D。画出球形发光物体通过两镜面所成的3个像如图2.85所示，其中虚像为上白下黑，虚像为上黑下白，虚像为左黑右白。用摄像机拍摄时，物体将虚像完全挡住，因此只能拍摄到虚像、物体以及虚像。因此答案D正确。
23．1。作出光源通过平面镜成的像，则当入射光线的入射点从点移动到点时，对应的反射光线在光屏上形成的光斑从点移动到点，如图2.86所示。由几何知识可知的长度等于长度的3倍，则光屏上光斑移动速度是入射点在平面镜上移动速度的3倍。
24．。先作出正方体物块和光源通过平面镜所成的像，当像点“发出”的光线恰被正方体以及正方体的像挡住时，将不会有光线到达水平地面上。图2.87为水平地面恰好不被照亮的临界情况。结合几何知识，可求得此时。
25．15。画出光路图如图2.88所示，易知线段的长度即为最短的挡光板长度，由相似三角形知识可得，，因此。
26．如图2.89所示，直角，和相似，则每个三角形的直角边之比为一定值，有
又，，，所以，得。
而，又，所以。
因此，即电线杆高为。
27．作出眼睛和障碍物在平面镜后所成的像，并根据光路的可逆性将眼睛视为“光源”，则障碍物右边“被照亮”区域的光线，好像是从像点发出的一样，因此，只有处于障碍物与障碍物的像之间的光线才能到达地面。在图2.90的光路图上，加上箭头(注意实际光线是从地面射向眼睛)，可知眼睛在点从平面镜中所能看到的障碍物后方地面的范围即为之间的区域。若要在原处看到更大范围的地面，则需障碍物与其像之间的距离变大，因此应将平面镜向上移动。
28．先求镜宽，如图2.91所示，设，为两耳，，为两眼，因为四边形及均为平行四边形，即，所以镜宽
再求镜长，如图2.92所示，设人脸长为，眼睛在处，因为像，所以镜长
所以，所用平面镜长至少为，宽至少为。
29．平面镜应绕过点的水平轴在竖直面内以6次/秒的频率左右振动，离开竖直位置的最大角度为，小球的像在上前后移动的最大距离为，解析如下：
如图2.93所示，设小球在点时，小球的像在点，此时平面镜绕点向左偏转角，连接，，由几何关系可得，，。同理当小球在点时，平面镜应绕点向右转动，此时小球的像仍在点，因此平面镜左右振动的频率应等于小球上下振动的频率，即为6次/秒。当小球在点时，平面镜回到竖直位置，小球的像距离平面镜最近，设此时的像在点，则，故小球的像在上前后移动的最大距离为。
第二节 平面镜成像
一、平面镜的成像规律
平面镜所成的像是正立的虚像，像与物大小相等，像与物到镜面的距离相等且像与物的连线与镜面垂直。亦即像与物关于镜面对称。
物体发出的光线经过平面镜反射后，反射光线的反向延长线在镜后会聚为虚像，如图2.37所示。当我们在镜前时，经过平面镜反射后进入人眼的光线看起来好像是从镜后的虚像发出的。
二、平面镜的典型问题
(一)根据光路的可逆性确定平面镜观察范围的光路图
观察者不动，通过平面镜能看到物体的范围是多大？对这一问题常应用光路可逆性原理，把眼睛看做“发光体”，眼睛发出的光照亮的区域即为能看到的区域。
例1 如图2.38所示，某人躺在地板上，眼的位置在处。一只小虫在地板上从右向左爬，从天花板上的平面镜看到小虫的像，问小虫爬到何处时，人在平面镜中就看不到小虫了？请画图说明。
分析与解 假设人眼为一光源，它的像为。人眼“发出”的光照射到平面镜上后，反射出的光照亮地板的区域为，注意画光路图时要按光实际传播的方向加上箭头。如图2.39所示，区域发出的光经平面镜反射后可到达点，即处的眼睛可通过平面镜看到区域的小虫的像，当小虫爬到区域以外时，就不能通过平面镜看到它的像了。
例2 (第22届全国预赛试题)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为的黑球，距球心为处有一点光源，球心和光源皆在圆筒轴线上，如图2.40所示。若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，筒的内半径最大为多少？
分析与解 当光源发出的光线经圆筒内表面反射后，反射光线全部被球接收，则点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收。自光源作球的切线，并画出经筒壁反射形成的虚像点，从画出球面的切线，如图2.41(a)所示。可以看出，只要和之间有一夹角，则从简壁上反射的光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收。如果筒的半径恰好减小到能使和重合，如图2.41(b)所示，则对应的筒的半径就是题目所要求的内半径的最大值。
设光线与球切于点，则由三角形面积公式，可知，即
解得
(二)平面镜与物体间的相对运动
由平面镜成像特点——像与物关于镜面对称，易得以下结论：
(1)若平面镜不动，物体沿垂直于镜面的方向以速度向镜面运动，则像以速度向镜面运动(对镜的速度)，像相对于物体以速度运动。
(2)若物体不动，镜沿垂直于镜面的方向以速度向物体运动，则像相对镜以速度向镜面运动，像相对物体以速度运动。
下面通过例题给出当物体运动方向任意时，像与物体之间的速度关系。
例3 一个点光源放在平面镜前，若不动，光源以的速度沿与镜面成角的方向向右做匀速直线运动，如图2.42所示，则光源在镜中的像将( )。
A．以的速率沿直线的方向向右平移
B．以的速率沿垂直于的方向向下平移
C．从镜的另一侧向点做速率为的直线运动
D．在上看到像以的速度向靠近
分析与解 如图2.43所示，用对称法作的像，并作经时间后点光源的位置及对应像的位置，由对称关系可知，故得像将沿直线以的速率做直线运动，故C正确，由对称关系可知，在时间内和向镜面靠近的距离和大小相等。它们互相靠近的距离为，和靠近的速度为
故D项正确。因此本题的正确选项为CD。
例4 如图2.44所示，点光源放在平面镜前，试问：
(1)若不动，镜以速度沿方向向右平移，的像将如何运动？
(2)若不动，镜以为圆心，沿顺时针方向转动角，且转动角小于，的像将绕点转动多少角度？
分析与解 (1)如图2.45(a)所示，镜面向右平移，设在时间内由点移到点，同时像物重合，即时间内点的位移为，而的位移为，，故以速度沿和的连线向s运动。
(2)设镜绕点顺时针转过角，则与平面镜的夹角变为，如图2.45(b)所示，根据像与物的对称性可知，与镜面的夹角也变为，所以像绕点顺时针转动角。
(三)互成夹角的平面镜(角镜)成像个数问题
当物体在一块平面镜前时，只能通过该平面镜成一个像。但当物体位于两块互成一定夹角的平面镜前时，成像个数却比较复杂，下面分不同情况给出该类问题的解决方法。
1．两镜面夹角不能整除的情况
如图2.46(a)所示，两镜面与的夹角为，与镜面的夹角为。则可通过镜面和成像，通过所成的像又可以通过再次成像，同样，通过所成的像又可以通过再次成像……所以，物点可以成多个像。由于平面镜成像原理是光的反射，因此每成一个像，说明光线被反射一次。如图2.46(b)所示，我们可以作出镜面通过所成的像，以及像又成的像……这样，相邻的镜面或者镜面的像之间的夹角仍为，只要从物点出发的光线和这些镜面或者镜面的像有交点，则就可以使成像，确定交点的个数即为成像个数。
先确定通过镜面所成的像的个数。设物点经成像个，画出自射向的光线，则当趋近时交点最多，为个，由几何关系得
则有
其中亦为正整数。
因此，物点成像个数为。
例5 如图2.47所示，平面镜和之间的夹角，在两镜之间有一物点(为了容易看，将与平面镜的交点连为一直线，实际上也可以把这条直线视为一个物体)，与两镜面的夹角分别为和，则在和之间可以成多少个像？
分析与解 由题知两镜面夹角，不能整除，因此我们只能利用前面介绍的方法，分别求出通过平面镜成像个数和通过。成像个数，即可求得总共的成像个数。
对有
解得，因此。
对有
解得，因此。
所以共有5个所成的像。
2．两镜面夹角能整除的情况
当能整除时，求物点经两平面镜所成的像的个数，可令。
①若为偶数，则由对称性可以证明最后2个像重合于同一点，人们习惯上将两个完全重合的像计为一个像，因此实际看到像的个数为个；
②若为奇数时，成像个数与实际看到像的个数都为。
例6把两块平面镜竖直放置，并使它们之间的夹角为。在它们的夹角的角平分线上放一点燃的蜡烛，则烛焰在两个平面镜里总共可成的虚像数是( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
分析与解 由题可知，两镜面夹角，能整除，且为偶数，因此成像个数。我们也可以根据平面镜成像特点，利用几何作图的方法找出各像点。如图2.48所示，由于平面镜成像具有对称性，可得点在平面镜中的像点，点在平面镜中的像点，这是两个基本像点，只要它们还落在另一镜前就要反复成像。点在平面镜中的像点为，在平面镜中的像点为，在平面镜中的像点为，在平面镜中的像点也是。
由以上作图可知，像，，，，都在以为半径，以为圆心的圆周上，所以在平面镜中成5个像。故A项正确。
练习题
1．(上海第7届大同杯初赛)如图2.49所示，在井的上方放置一块平面镜，若与水平方向成角的太阳光能竖直照到井底，则平面镜与水平方向的夹角应是( )。
A． B． C． D．
2．如图2.50所示，两平面镜镜面夹角为(锐角)，点光源位于两平面镜之间，在发出的所有光线中( )。
A．只有一条光线经镜面两次反射后经过点
B．只有两条光线经镜面两次反射后经过点
C．有两条以上的光线经镜面两次反射后经过点
D．有几条光线经镜面反射两次经过点与的位置有关
3．如图2.51所示，，，三条光线交于点，如果在点前任意位置放置一块平面镜，则，，的三条反射光线( )。
A．可能交于一点也可能不交于一点
B．一定不交于一点
C．交于镜前的一点，成为一实像点
D．它们的延长线交于镜后一点，得到一个虚像点
4．(上海第7届大同杯初赛)直线状物体与平面镜平行，当平面镜绕跟平行的某轴线转过角时，跟它的像之间的夹角是( )。
A． B．
C． D．与之间的某角度
5．(上海第6届大同杯初赛)平面镜前有一个长为的线状物体，端距镜面为，端距镜面为，如图2.52所示。则点的像到端的距离是( )。
A． B． C． D．
6．如图2.53所示，在竖直平面内，人眼位于位置处，平面镜竖直放置，其两端，的坐标分别为和，若某发光点在该竖直平面轴的右半部分某一区域内自由移动时，此人恰好都能通过平面镜看见的像，则该区域的最大面积为( )。(图中长度单位为)
A． B． C． D．
7．平面镜前有一个发光点沿与镜面成的方向，以速度向镜面运动，如图2.54所示。则和它的像之间的接近速度是( )。
A． B． C． D．
8．平面镜前有一个发光点，到平面镜的垂线的垂足为，如图2.55所示。当平面镜绕过点并与纸面垂直的轴逆时针转动时，像点( )。
A．与平面镜的距离保持不变 B．沿一直线越来越接近平面镜
C．与发光点的距离越来越大 D．按逆时针方向沿一圆弧运动
9．在两块竖直平行放置的平面镜，之间，有一点光源，距，的距离分别为，，如图2.56所示。在中可看到的一系列虚像，其中左方第一个虚像与第二个虚像间的距离等于( )。
A． B． C． D．
10．(上海第4届大同杯初赛)平面镜前有4个发光点，如图2.57所示。图中眼睛不能看到其虚像的发光点是( )。
A．点 B．点
C．点 D．点和点
11．两相交平面镜成角，两镜中间有一点光源，如图2.58所示，则在平面镜中所成像的个数是( )。
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
12．(上海第27届大同杯初赛)如图2.59所示，两个平面镜之间的夹角为，在两镜面夹角的角平分线上有一个点光源，它在两平面镜中所成像的个数是( )。
A．1 B．2 C．4 D．3
13．如图2.60所示，两个相互垂直的平面镜，在其中任一位置放置光源，那么它所成的像共有( )。
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
14．(上海第13届大同杯初赛)以平面镜和为两个侧面的一个黑盒子里有一个点光源，黑盒子的另一侧面上开有一个小孔，如图2.61所示。一位观察者在盒外沿与平行的方向走过时，通过孔能被所发出的光照射到几次？( )
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
15．(上海第5届大同杯初赛)图2.62中两个反射面成钝角，镜前放一个物体应该产生两个虚像，那么在镜前不能同时看到两个虚像的区域是( )。
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．I，Ⅱ，Ⅲ
16．(上海第8届大同杯初赛)在图2.63中，为一平面镜，，，，表示一个不透明正方体的四个侧面，其中面与平面镜平行，是观察者的眼睛所在位置(位于正方体的正下后方)，则下列结论中正确的是( )。
A．观察者可以观察到，，，四个侧面
B．观察者通过平面镜可以看到面和面
C．观察者通过平面镜可以看到面及部分面
D．观察者通过平面镜可以看到面，不能看到面的任何部位
17．如图2.64中的是一口水池，地面和与水面处在同一水平面上。是高为的电线杆，，，。立在点的观察者弯腰观察电线杆在水中的像。已知观察者的两眼位置距地面高为，则他能看到电线杆在水中所成像的长度为( )。
A． B． C． D．
18．(上海第14届大同杯初赛)如图2.65所示，一根长度为的直薄木条上有两个观察小孔。两小孔之间的距离为，恰好是一个人两眼间的距离，当木条水平放置时，此人想通过两观察孔看见此木条在平面镜里完整的像，那么选用的平面镜宽度至少是( )。
A． B． C． D．
19．(上海第14届大同杯初赛)如图2.66所示，光滑桌面上放有两个光滑固定挡板，，夹角为。角平分线上有两个相同的弹性小球和，某同学给小球一个速度，经过挡板的一次或多次反弹后恰能击中小球，假如不允许让小球直接击中，小球的大小不计，也不考虑球击中点时的情况，该同学要想实现上述想法，可选择的小球运动的路线有( )。
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
20．(上海第15届大同杯初赛)平面镜前有一物体，不透光的屏放在和平面镜之间，两者在竖直方向上的长度相同，如图2.67所示，并且屏的下端与的中点等高，那么( )。
A．平面镜中只有下半部的像
B．平面镜中只有上半部的像
C．平面镜中仍能成完整的虚像，在平面镜前任何位置都可以看到
D．平面镜中仍能成完整的虚像，但在平面镜前一定范围内才可以看到
21．(上海第15届大同杯初赛)如图2.68所示，两个平面镜相互垂直竖直放置，点光源在平面镜内成3个像。现让点光源在水平面内沿圆周顺时针运动，则可以观察到镜内的3个像( )。
A．全都顺时针运动
B．全都逆时针运动
C．一个顺时针运动，另外两个逆时针运动
D．一个逆时针运动，另外两个顺时针运动
22．(上海第19届大同杯初赛)如图2.69所示，平面镜与垂直放置，在它们的角平分线上的点处放有一个球形放光物体，左半部分为浅色，右半部分为深色，在点左侧较远的地方放有一架照相机，不考虑照相机本身在镜中的成像情况，则拍出照片的示意图正确的是( )。
A B C D
23．(上海第12届大同杯复赛)如图2.70所示，为平面镜，为光屏。它们均竖直放置，在平面镜端正前方、位于和中点处有一激光源。现点发出一束光线向镜面投射，当光线的人射点从点单向移动到点时，测得反射光在光屏上的移动速度是，则入射光的入射点沿镜面移动的速度是________。
24．(上海第21届大同杯初赛)如图2.71所示，水平地面上有一不透光的边长为的正方体物块。在正方体正左方有一点光源，点光源和正方体物块的距离也始终为。在点光源的上方距离为处水平放置平面镜，大小固定不变，平面镜足够大。如果不考虑其他光源的存在，那么在正方体的另一侧水平面上，将会由于点光源发出的光线经平面镜反射而被照亮，现改变的大小，当增大到________时，照亮区域将消失。
25．如图2.72所示，有一水平放置的平面镜，在平面镜上方处有一与平面镜平行放置的平板，在靠镜的一侧有一点光源。现要在离平面镜的虚线上的某一处放一平行于平面镜的挡光板，使反射光不能照射到板上的部分。已知，，则挡光板的最小宽度是________。
26．如图2.73所示，人立于河边看对岸的一电线杆在水中的像，当人离开河岸后退超过时便不能看到整个电线杆的像。已知人高，河两岸都高出水面，河宽为，求电线杆高。
27．如图2.74所示，水平地面上有一障碍物，较大的平面镜在某一高度上水平放置，试用作图法求出眼睛位于点从平面镜中所能看到的障碍物后方地面的范围。如果想在原处看到更大范围的地面，水平放置的镜子的高度该怎样改变？
28．一般人脸宽(包括两耳)约为，两眼的光心相距约为，两眼光心离头顶和下巴分别为和。当平面镜竖直放置时，至少要用多大的平面镜(矩形)，才能看到自己脸的全部？
29．(上海第20届大同杯复赛)如图2.75所示，在天花板上用弹簧悬挂一个小球，让小球做幅度不变的上下振动，点和点分别是振动中的最高点和最低点。在点放置一个平面镜，是的中垂线，设，眼睛沿着观察平面镜中的像。
(1)当小球以6次的频率振动时，为了看到一个始终在延长线上的像，平面镜应该如何运动？
(2)小球的像在上前后移动的最大距离为多少？
参考答案
1．D。入射光线与反射光线的夹角为，入射光线与平面镜的夹角为，则平面镜与水平面的夹角为。
2．B。分别作光源在两个平面镜中的像点，，连接分别与两个平面镜相交于，两点，即为入射点或反射点，连接，，，则只有，这两条光线经镜面两次反射后经过点，如图2.76所示，故选B。
3．C。若在相对镜的对称点有一点光源，发出的光线经镜面反射后有三条与，，重合，故知，，三条光线的反射光线交于。
4．C。物体与镜面平行，当平面镜绕与平行的轴转动后，平面镜仍与物体平行，因此与它的像也平行，夹角为零。
5．C。如图2.77所示，根据平面镜成像特点画出的像，并作出辅助线，则由勾股定理可得
到的距离
6．D。从平面镜的边缘反射的光线进入人眼，这是从平面镜看到发光点的边界，作出两条反射光线的入射光线，两条入射光线、平面镜、轴围成的区域是眼睛通过平面镜看到发光点移动的最大面积，利用数学方法求出面积即可。如图2.78所示，连接，，根据光的反射定律，作出的入射光线，作出的入射光线，则，，，围成的区域是发光点的移动范围。，，，围成的区域是梯形，上底(即的长度)为，下底(即的长度)为，高为，根据梯形的面积公式得
7．A。假设发光点以速度运动了距离后与镜面相交，则由几何关系，此过程中发光点向镜面靠近了的距离，根据平面镜成像特点，发光点的像也向镜面靠近了的距离，即发光点与它的像相互靠近了的距离，因此相互靠近的速度也是。
8．D。先画出初始时像的位置，再画出镜面转过角之后像的位置，即可得到像绕点逆时针转过了，且像与点的距离不变。
9．B。左方的第一个像是光源在上直接成的像，记为，到的距离为。光源直接在上成的像为，又通过成像，即为左方的第二个像，到的距离为，则到的距离为。
10．A。作出眼睛的像，从出发引经过平面镜边缘的两条直线，这两条直线之间的范围即为眼睛能通过平面镜看到的范围，不在这个范围内的物体，眼睛就无法通过平面镜看到，如图2.79所示。
11．B。成像个数，为奇数，故成3个像。
12．C。设光源通过其中一个镜面成像个，则根据例5的解析过程，可得，解得，因此，由于光源在两镜的角平分线上，因此光源通过另一镜面也成2个像。
13．C。，由于为偶数，有两个像重合，因此成像个数习惯上计为3个。
14．D。孔被发出的光照射到共有四种情况：①发出的光线直接照射到孔；②发出的光线经镜面反射一次后照射到孔；③发出的光线经镜面反射一次后照射到孔；④发出的光线先经镜面反射一次，又经镜面反射一次后，照射到孔。
15．D。由图2.80可知，当人在I区域时，不能看见右边平面镜所成的虚像。同理，当人在Ⅲ区域时，不能看见左边平面镜所成的虚像。因为在Ⅱ区域的某一发光点发出的光线经两个反射面反射后的反射光线不能相交于一点，所以在Ⅱ区域也不能同时看到两个虚像，即在I，Ⅱ，Ⅲ三个区域都不能同时看到两个虚像。
16．C。画出眼睛和正方体通过平面镜所成的像，并将眼睛视为发光点，则自眼睛发出的光线反射情况如图2.81所示，正方体上能被照亮的部分，眼睛可以通过平面镜观察到，显然，只有面和部分面可以观察到。
17．C。如图2.82所示，点是人的眼睛，是电线杆的像。根据平面镜成像规律，人眼可以看到的电线杆的像是段。根据相似三角形的性质可以算出这一段的长度。观察者眼睛为点，作关于的轴对称图形，连接，并延长，分别交于点，，由，可得，因为是高为的电线杆，，，，观察者的两眼距地面高为，所以。由可得，解得，所以。
18．D。作出木条的像，将双眼视为点光源，当双眼置于两孔的位置，并发出如图2.83所示的光线照亮木条像的两端，则左眼需要的平面镜长度为，右眼需要的平面镜长度为，若两眼同时观察木条的像，所需要的长度为和的公共部分，即的长度即可。由三角形中位线知识可知，，，则。
19．B。小球撞击挡板反弹时，入射速度与反弹速度的关系类似光的反射定律。假设为光源，挡板视为平面镜，则将成5个像，每个像都会“发出”光线照亮。不同的像照亮，对应在挡板间以不同的反弹路线击中。由于的像中有一个是关于点与点对称，因此这个像照亮的光线恰通过点，不符合题意，所以运动的路线有4条。
20．D。从物体出发到达平面镜的光线，并未全部被挡住，所以仍能在平面镜内成完整的像，但只有在某一特定范围内，才能看到的完整的像，读者可自行作图找出该区域。
21．C。先画出光源通过两镜面所成的像，，，当光源沿圆周顺时针运动一小段距离时，重新画出光源通过两镜面所成的像，，，如图2.84所示，显然，像，均逆时针转动，像顺时针转动。
22．D。画出球形发光物体通过两镜面所成的3个像如图2.85所示，其中虚像为上白下黑，虚像为上黑下白，虚像为左黑右白。用摄像机拍摄时，物体将虚像完全挡住，因此只能拍摄到虚像、物体以及虚像。因此答案D正确。
23．1。作出光源通过平面镜成的像，则当入射光线的入射点从点移动到点时，对应的反射光线在光屏上形成的光斑从点移动到点，如图2.86所示。由几何知识可知的长度等于长度的3倍，则光屏上光斑移动速度是入射点在平面镜上移动速度的3倍。
24．。先作出正方体物块和光源通过平面镜所成的像，当像点“发出”的光线恰被正方体以及正方体的像挡住时，将不会有光线到达水平地面上。图2.87为水平地面恰好不被照亮的临界情况。结合几何知识，可求得此时。
25．15。画出光路图如图2.88所示，易知线段的长度即为最短的挡光板长度，由相似三角形知识可得，，因此。
26．如图2.89所示，直角，和相似，则每个三角形的直角边之比为一定值，有
又，，，所以，得。
而，又，所以。
因此，即电线杆高为。
27．作出眼睛和障碍物在平面镜后所成的像，并根据光路的可逆性将眼睛视为“光源”，则障碍物右边“被照亮”区域的光线，好像是从像点发出的一样，因此，只有处于障碍物与障碍物的像之间的光线才能到达地面。在图2.90的光路图上，加上箭头(注意实际光线是从地面射向眼睛)，可知眼睛在点从平面镜中所能看到的障碍物后方地面的范围即为之间的区域。若要在原处看到更大范围的地面，则需障碍物与其像之间的距离变大，因此应将平面镜向上移动。
28．先求镜宽，如图2.91所示，设，为两耳，，为两眼，因为四边形及均为平行四边形，即，所以镜宽
再求镜长，如图2.92所示，设人脸长为，眼睛在处，因为像，所以镜长
所以，所用平面镜长至少为，宽至少为。
29．平面镜应绕过点的水平轴在竖直面内以6次/秒的频率左右振动，离开竖直位置的最大角度为，小球的像在上前后移动的最大距离为，解析如下：
如图2.93所示，设小球在点时，小球的像在点，此时平面镜绕点向左偏转角，连接，，由几何关系可得，，。同理当小球在点时，平面镜应绕点向右转动，此时小球的像仍在点，因此平面镜左右振动的频率应等于小球上下振动的频率，即为6次/秒。当小球在点时，平面镜回到竖直位置，小球的像距离平面镜最近，设此时的像在点，则，故小球的像在上前后移动的最大距离为。
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