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初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第2章第1节 几种常见的力（含答案）
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这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第2章第1节 几种常见的力（含答案），共20页。教案主要包含了重力，弹力，摩擦力等内容，欢迎下载使用。
第二讲 力与物体的平衡
第一节 几种常见的力
力是物体与物体之间的相互作用，日常生活中的物体间往往存在着力的作用。常见的力有重力、弹力和摩擦力。
一、重力
重力即地球表面的物体由于地球的吸引而受到的力，地球表面任何物体部受到重力的作用，重力的方向是竖直向下或者表达为垂直于水平面向下，重力的大小与物体质量成正比，可用公式表示为，其中为比例系数。通常情况下取，粗略计算中可以取。但值得注意的是，地球上不同位置的的值不尽相同，的值随着纬度的升高而变大，赤道处的最小，约为，两极处的最大，约为，因此，同一物体在极地和在赤道所受重力大小是不同的。
物体各个部分都受到重力作用，各部分重力的作用点分散在物体各个部位，物体所受到的总重力可以等效地认为作用在某一点，该点即为物体的重心。对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心的位置在它们的几何中心。如图4.1所示的点即为常见均匀几何体的重心。
对于形状不规则、质量分布不均匀的薄板型物体，可以用悬挂法来确定重心的位置。
下面介绍计算物体重心位置的方法：
1．两个物体的重心
如图4.2所示，设两物体的质量分别为，，它们重心之间的距离为，这两个物体所受的总重力的等效作用点即为两物体组成的系统的重心。若以不计质量的轻细杆将，连接，再支起轻杆使其水平平衡，则支点即为物体的等效重心。设，的重心到系统重心的距离分别为，，则，由杠杆平衡条件可得，解得，。可见，两物体重心的位置必在两物件各自重心的连线上，且两物体的重心距离系统重心的距离与物体质量成反比，即系统重心离质量较大的物体较近。
2．几个物体的重心
现在我们讨论由处于同一平面内的几个物体纽成的系统的重心。如果某平面内存在着若干个物体，它们的质量分别为，，，，，则可以在平面内建立直角坐标系，并记各个物体重心的坐标为，，，，，如图4.3所示，则这空物体组成的系统的重心坐标可以表示为，其中
特殊地，如果几个物体恰在一条直线上，则只需建立一维坐标系轴即可。
例1 (上海第25届大同杯复赛)如图4.4所示，两根长度相等的杆与在点用螺母铰接在一起，两臂间的夹角可以改变，是没有质量的轻杆，而杆是有一定质量且质量均匀分布的重杆，初始时两杆间的夹角为，用一根细线悬挂端点，两杆处于静止状态，然后将两杆间的夹角变为，两杆再次处于静止状态时点相对于初始状态________(选填“上升”“下降”或“位置不变”)，为使金属杆的顶点(即两臂连接处)位置最高，金属杆两臂张开的角度应为________。
分析与解 由于杆为没有质量的轻质杆，因此杆与杆所组成的系统的重心在的中点点，且点必位于悬挂点的正下方，如图4.5所示。由于悬挂点不动，当两杆夹角变化时，点的轨迹是以点为圆心、杆长为半径的圆，越大，点位置越高。不妨假设，，则在中，由正弦定理可得，因此，故当时，取得最大值，点最高。此时可得。当两杆间的夹角由增加到时，可知变小，结合可知，应同时变大或变小，则，均变小，点高度下降。
例2 半径为的均匀薄圆盘的质量为。在圆盘上挖去一个半径为的小圆孔，且小圆孔与圆盘相切，如图4.6所示，求剩余部分重心的位置。
分析与解 整个圆盘可以分成两部分：被挖去部分与剩余部分，这两部分的重心在圆盘圆心点。圆盘单位面积的质量，挖去部分的质量。以圆盘圆心为坐标原点，沿着圆盘圆心与挖去部分的圆心连线方向建立轴如图4.7所示，则整个圆盘重心坐标为0，挖去部分原来的重心坐标为，由对称性，剩余部分的重心必在轴上。设剩余部分的重心坐标为，则应有，代入数据可解得，因此剩余部分的重心在距离点处。
例3 (上海第23届大同杯复赛)均匀三角板的重心在三角形三条中线的交点上，均匀细杆的重心在杆的中点上。现有一块等腰直角三角板和三根均匀细杆。三根细杆的长度分别与三角板的边长相等，将这三根细杆构成如图4.8所示的三角形。设三角板的重心为，三根细杆构成的三角形的重心为，与未在图中画出。
以下是三位同学的观点：
甲同学认为和的位置重合；
乙同学认为和的位置不重合，且到斜边的距离大于到斜边的距离；
丙同学认为和的位置不重合，且到斜边的距离小于到斜边的距离。
请你通过分析，对以上三位同学的观点做出判断。
分析与解 对于三角形薄板，其重心在三条边中线的交点，设斜边上的高为，则根据中线的性质，重心到斜边的距离为。对三角形，三条边的重心分别在边的中点上，如图4.9的，，所示。为了找到三角形重心的位置，现以斜边上的中点为坐标原点，沿箬斜边上高的方向建立如图所示的轴坐标，则，，再根据边长关系设三角形的三边质量分别为，，，结合对称性，必在轴上，则到斜边的高度。因为，所以甲、丙同学说法错误，乙同学说法正确。
二、弹力
(一)弹力的概念
弹力是指两个相互接触的物体之间，由于相互挤压而产生的力的作用。弹力的产生条件有两个：两个物体直接接触，相互挤压而发生弹性形变。弹力的大小与形变程度有关。弹力的方向与施加这个弹力的物体的形变方向相反，与受到这个弹力的物体的形变方向相同。弹力方向还可如下判断：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面，若接触面是曲面，则垂直于曲面的切线。②绳对物体的拉力总是沿着绳指向绳收缩的方向。③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。如果可自由转动的轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆的弹力方向一定沿杆。
如图4.10给出了细杆与圆球在几种常见情况下所受弹力的示意图。
值得注意的是，有时候物体相互接触，但却不一定挤压而发生弹性形变，因此互相接触的物体不一定会产生弹力。大多情况下物体发生的形变很微小，肉眼难以判断。因此根据弹力产生的两个条件来判断弹力的有无很困难。我们可以采用“假设法”来判断物体间的弹力是否存在。
如图4.11(a)所示，球静置于光滑水平面上，与竖直光滑墙壁接触。竖直墙壁对球是否施加了弹力，就可以用假设法判断：假设竖直墙壁对球施加了弹力，由于接触面均光滑，球必然会向右移动，与题述球静止矛盾，因此竖直墙与球之间没有弹力作用。同样在图4.11(b)中，悬绳竖直，小球与斜面接触。判断斜面对球是否有弹力，可以先假设存在弹力，则小球所受斜面对其的弹力必垂直于斜面向上，悬绳自然会倾斜，这与题矛盾，因此该弹力不存在。
(二)弹簧的弹力
当弹簧被拉伸或者被压缩时，弹簧会对与它接触的物体产生弹力的作用，当弹簧被拉伸时，弹簧的弹力表现为拉力；当弹簧被压缩时，弹簧的弹力表现为斥力。对于质量不计的轻弹簧，其内部的弹力大小处处相等。
1．胡克定律
弹簧被拉伸或压缩时，会产生反抗形变的弹力，如图4.12所示。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，这就是胡克定律，由英国物理学家胡克发现。胡克定律可以表示为，其中表示弹簧的劲度系数，反映了弹簧发生形变的难易程度，由可知，劲度系数越大的弹簧，发生相同形变量时所需的力越大，即弹簧越不容易发生形变。弹簧的劲度系数只与弹簧的材料、长度、粗细、匝数等因素有关，与弹簧的形变量及弹力大小无关。图4.13反映了弹簧弹力与弹簧的形变量之间的函数关系。
应该注意的是，弹簧的形变量不能太大，否则弹簧在外力撤去时将不能恢复到原长状态，即不能使外力超过弹簧的弹性限度。
例4 如图4.14所示，，是两个相同的轻弹簧，原长，劲度系数，如果图中悬挂的两个物体质量均为，取，则两个弹簧的总长度为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 上方弹簧承受的拉力大小等于两物体重力之和，因此其伸长量，上方弹簧的长度为。下方弹簧承受的拉力大小等于，其伸长量，下方弹簧长度为，所以两个弹簧的总长度为，选项C正确。
例5 (上海第25届大同杯初赛)如图4.15所示，劲度系数为的轻质弹簧—端固定在地面上并竖直放置，质量为的物块压在弹簧上，用一细绳跨过定滑轮，细绳一端与相连，另一端与劲度系数为的轻质弹簧相连。现用手握住弹簧的右端使其位于点时，弹簧恰好呈水平且没有形变，将弹簧的右端水平拉到点时，弹簧恰好没有形变。已知，则，之间的距离为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 当弹簧处于原长状态时，弹簧的压缩量为，当弹簧恢复原长时，弹簧的伸长量为，则，之间的距离为，选项A正确。
2．弹簧的串并联
(1)弹簧的串联：弹簧的串联就是把几根弹簧首尾相接，连成一根弹簧。
如图4.16所示，劲度系数分别为，的两个弹簧首尾相接，串联成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为，下面推导与，的关系：若在，末端分别施加拉力，则两弹簧形变量分别为，。当拉力施加在，串联后的新弹簧上时，由于弹簧上各处弹力均为，因此，在新弹簧中发生的形变量仍为，。而新弹簧的形变量满足，比较，，的表达式可得。可见，两个弹簧串联之后等效的劲度系数的倒数等于两个弹簧劲度系数的倒数之和。
将上面关系推而广之：若有个弹簧串联，则有。即串联后弹簧的等效劲度系数的倒数等于各个弹簧劲度系数的倒数之和。．
特殊地，若个原长为、劲度系数为的完全相同的弹簧串联，串联后新弹簧的原长为，劲度系数为，可见，在其他条件相同时，弹簧的劲度系数与其长度成反比。
(2)弹簧的并联：弹簧的并联就是把几根弹簧并排放置，作为一根弹簧来使用。
如图4.17所示，两个原长相同的、劲度系数分别为和的弹簧并列放置，并联成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为，下面推导与，的关系：若在新弹簧末端施加拉力，由于两弹簧原长相同，因此形变量相同，设为，则两弹簧弹的弹力分别为，，且有，并联后新弹簧的形变量亦为，则，因此可得，可见，两个原长相同的弹簧并联之后等效的劲度系数等于两个弹簧劲度系数之和。
将上面关系推而广之：若有个弹簧并联，则有。即串联后弹簧的等效劲度系数等于各个弹簧劲度系数之和。
值得一提的是，上述关系只适用于几个原长相同的弹簧并联，若弹簧原长不同，则受力时形变量不同，没有上述关系。此时应该逐一分析弹簧形变及弹力情况，列式求解相关问题。
例6 (上海第20届大同杯复赛)现有长度为的两根弹簧和，已知弹簧和的劲度系数分别为和。为了制成一个长度也是、劲度系数却为的新弹簧，可以分别在弹簧和上截取一段，然后将这两段串联成一个弹簧即可。则在弹簧和上截取的长度分别为( )。
A．和 B．和
C．和 D．和
分析与解 设从弹簧上截取的长度为，则从弹簧上截取的长度为，根据弹簧的劲度系数与长度成反比，可知从弹簧，上截取下来的部分劲度系数分别为，，又，联立解得，故选项B正确。
例7 (上海第28届大同杯初赛)轻质弹簧的上端固定在天花板上，下端挂一质量为的物体，平衡时弹簧的长度为，现将一根与完全相同的弹簧剪为和两部分；将质量为和的两物体分别与和相连并悬挂在天花板上，如图4.18所示。平衡时与的长度之和为，则( )。
A．一定等于
B．—定大于，且越大，原长越长，就越长
C．一定小于，且越大，原长越长，就越短
D．一定小于，且越大，原长越长，就越短
分析与解 设长为的弹簧共有圈，每一圈的劲度系数为，长为的弹簧有圈，劲度系数为，长为的弹簧有圈，劲度系数为，且。所以第一种情况下弹簧的长度，第二种情况下弹簧的长度，由于，因此—定大于，且越大，其差值就越大，就越短；越大(即原长越长)，其差值也越大，所以选项C正确。
三、摩擦力
摩擦力是指发生在物体表面，阻碍物体相对滑动或相对滑动趋势的力。摩擦力分为两类：静摩擦力和滑动摩擦力。
(一)静摩擦力
静摩擦力发生在两个相对静止、有相对运动趋势的物体之间。
1．静摩擦力产生的条件
静摩擦力产生的条件为：①相互接触有弹力，②接触面粗糙，③有相对运动的趋势。两物体间有弹力是这两物体间有摩擦力的必要条件(没有弹力不可能有摩擦力)。
值得注意的是，静摩擦力发生在相对静止的物体之间，即使物体在运动，也可能受到静摩擦力的作用。这里应对“相对运动”与“运动”加以区别。
2．静摩擦力的方向
静摩擦力阻碍的是物体间相对滑动的趋势，即静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势的方向相反。相对滑动趋势的方向就是假设接触面光滑时，物体将要滑动的方向。
图4.19画出了物体所受静摩擦力的几种情况。
3．静摩擦力的大小
静摩擦力的大小往往随着物体所受其他力的变化而变化，可以根据物体的平衡条件(比如二力平衡)来计算静摩擦力的大小。静摩擦力的大小与接触面间的压力无关。
当物体恰好要发生相对滑动时，静摩擦力达到最大，叫做最大静摩擦力，记为。静摩擦力的大小范围为。最大静摩擦力与压力、接触面的粗糙程度和材料都有关系，可以用公式来计算最大静摩擦力。其中为静摩擦因数，与接触面间的材料和粗糖程度有关，对某两个具体的接触面而言，是一个常数。表示接触面间的压力。
若要使物体发生相对滑动，就要克服最大静摩擦力。最大静摩擦力越大，物体越不容易发生相对滑动。
例8 (上海第30届大同杯初赛)如图4.20所示，两板间夹一木块，向左右两板施加压力时，木块静止，若将压力都增大到，则木块所受的摩擦力( )。
A．是原来的2倍 B．是原来的4倍
C．与原来相同 D．无法判断
分析与解 物体受竖直向下的重力和挡板对其竖直向上的静摩擦力作用，始终受力平衡。因此所受静摩擦力始终等于重力大小。力增大到只是使得物体与挡板间的最大静摩擦力增加为原来的2倍，但并未增加物体实际受到的静摩擦力。这里应该对静摩擦力与最大静摩擦力的概念加以区分。
例9 (上海第31届大同杯初赛)如图4.21所示，长度为的铁链挂在宽度为的桌面上，桌面与铁链之间的静摩擦因数为，为保证铁链静止在桌面上，铁链左端距桌面的最短距离为( )
A． B．
C． D．
分析与解 设整根铁链重力为，则左端垂下部分受重力为，右端垂下部分受重力为，由于垂下部分铁链的重力经过桌角(可视为光滑定滑轮)后转化为对桌面上铁链的水平拉力，因此左、右两边垂下的铁链对桌面上的铁链的拉力分别为，，又水平拉力，对桌面受到的压力没有贡献，所以桌面上的铁链对桌面的压力等于，桌面上铁链所受最大静摩擦力为。以桌面上铁链为研究对象，恰好静止时有，解得，选项A正确。
(二)滑动摩擦力
滑动摩擦力是指发生在两个有相对滑动的物体之间的摩擦力。
1．滑动摩擦力的产生条件
滑动摩擦力产生的条件为：①相互接触有弹力，②接触面粗糙，③发生了相对滑动。可见，两物体间有弹力是两物体间有摩擦力的必要条件(没有弹力不可能有摩擦力)。
要注意的是，滑动摩擦力发生在有相对运动的两个物体之间，要注意相对运动与运动的区别。即使某物体静止，它也可能受到其他物体对它的滑动摩擦力的作用。
2．滑动摩擦力的方向
滑动摩擦力阻碍的是两物体间的相对滑动，滑动摩擦力的方向与物体相对滑动的方向相反。例如，物体对物体的摩擦力的方向与物体相对于物体运动的方向相反，但未必与物体运动方向相反。
3．滑动摩擦力的大小
滑动摩擦力的大小与接触面间的压力、接触面的材料和粗糙程度都有关系，可以用来计算滑动摩擦力的大小。其中表示物体间的压力大小，是动摩擦因数，与接触面的材料和粗糖程度有关。对某两个具体的接触面，动摩擦因数为定值。
可见，滑动摩擦力的大小与物体间相对运动的速度、接触面积无关。
由于动摩擦因数小于静摩擦因数，滑动摩擦力小于最大静摩擦力。如图4.22(a)所示，将从零逐渐增加的水平力作用在物块上，在物块移动之前，物块受到向左的静摩擦力，且静摩擦力始终与力等大，图4.22(b)给出了摩擦力随拉力变化的图像。当拉力增加到恰好等于最大静摩擦力时，物体将开始移动，此后，摩擦力变为滑动摩擦力，因为滑动摩擦力小于最大静摩擦力，所以在物体移动后，摩擦力会突然减小一些并保持恒定，不再随拉力的增加而变化。
例10 如图4.23所示，一质量为的物体夹在两木板之间，物体左、右两侧面与两块木板间的动摩擦因数均为0.2。若把该物体从上面匀速抽出，需的力。若把它从下面匀速抽出，需多大的力？木板对物体的压力为多大？(设两木板对物体的压力不变，取)
分析与解 设木板对物块的滑动摩擦力为，压力为，则，注意到两侧木板对物块均有摩擦力，向上匀速拉动时，滑动摩擦力向下，有，向下匀速拉动时，滑动摩擦力向上，有。可解得，，木板对物体的压力。
例11 如图4.24所示，物体所受重力为，物体所受重力为，与，与地面间的动摩擦因数均为0.1，当向右匀速拉动时，求：
(1)力的大小；
(2)绳中的拉力。
分析与解 (1)向右拉动物体时，对、地面对均有水平向左的滑动摩擦力的作用，对的滑动摩擦力大小为，地面对的摩擦力大小为，因此拉力。
(2)当向右被拉出时，相对于向左运动，受到对它的滑动摩擦力水平向右，大小为，所以绳子中的拉力。
例12 (上海第28届大同杯初赛)如图4.25所示，在水平力的作用下，物体贴在竖直墙上并处于静止状态。若改变的大小，则下列判断有可能正确的是( )。
A．若适当增大，则物体与墙之间的摩擦力增大
B．若适当增大，则物体与墙之间的摩擦力不变
C．若适当减小，则物体与墙之间的摩擦力减小
D．若适当减小，则物体与墙之间的摩擦力不变
分析与解 物体受竖直向下的重力作用，静止时，必受竖直向上的静摩擦力作用，且由二力平衡知识，静摩擦力的大小等于重力大小。若增大，则物体与墙壁间的压力增大，最大静摩擦力增大，物体仍保持静止，静摩擦力不变，B选项正确。若减小，则物体与墙壁间的压力变小，最大静摩擦力变小。这会导致两种可能：若减小后的最大静摩擦力仍大于物体重力，则物体仍静止，静摩擦力不变，D选项正确；若减小后的最大静摩擦力小于物体重力，物体将滑下，此时受到的是滑动摩擦力，且小于物体重力，因此摩擦力变小，C选项芷确。本题正确选项为BCD。
练习题
1．有一个质量分布均匀的圆形薄板，若将其中央挖掉一个小圆，则薄板的余下部分( )。
A．重力减小，重心随挖下的小圆板移走了
B．重力和重心都没改变
C．重力减小，重心位置没有改变
D．重力减小，重心不存在了
2．在弹性限度内，当弹簧的长度为时，它产生的弹力大小为；当弹簧的长度变为时，它产生的弹力大小为。则弹簧的劲度系数为( )。
A． B． C． D．
3．一根轻质弹簧，当它上端固定，下端挂一零为的物体时，长度为；当它下端固定在水平面上，上端压一重为的物体时，长度为，则该弹簧的劲度系数为( )。
A． B． C． D．
4．如图4.26所示，在水平力的作用下，所受重力大小为的物体沿墙壁匀速下滑，物体与墙之间的动摩擦因数为，物体所曼摩擦力大小等于( )。
A． B．
C． D．
5．(上海第22届大同杯初赛)如图4.27所示，位于水平桌面上的物块由跨过定滑轮的轻绳与物块相连，滑轮到，的两段绳都是水平的。已知与之间以及与桌面之间的动摩擦因数都是；两物玦的质量都是，轻绳与滑轮之间的摩擦不计，在水平向右的拉力作用下，向右做匀速运动，则的大小为( )。
A． B．
C． D．
6．(上海第29届大同杯初赛)，两物体叠放在水平桌面上，在如图4.28所示的三种情况下：①图(a)中两物体静置于桌面上；②图(b)中水平恒力作用在物体上，使一起以的速度做匀速直线运动；③图(c)中水平恒力作用在物体上，使—起以的速度做匀速直线运动。比较上述三种情况下物体在水平方向的受力情况，以下说法正确的是( )。
A．三种情况下，在水平方向都不受力
B．三种情况下，在水平方向都受力且受力相同
C．图(a)中在水平方向不受力，图(b)(c)中在水平方向都受力但受力不同
D．图(a)中在水平方向不受力，图(b)(c)中在水平方向都受力且受力相同
7．(上海第27届大同杯初赛)如图4.29所示，甲和乙是叠放在水平桌面上的两个物块，它们在丙的作用下一起向右做匀速直线运动，则( )。
A．甲对乙的摩擦力方向向右
B．甲对乙的摩擦力方向向左
C．甲可能不受摩擦力
D．将乙拿掉后，甲的运动状态一定会发生改变
8．(上海第30届大同杯初赛)如图4.30所示，水平桌面上叠放著甲、乙两个物体，在拉力的作用下，甲、乙以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有( )。
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
9．(上海第22届大同杯初赛)如图4.31所乐，是位于水平粗糙桌面上的物块。用跨过定滑轮的轻绳将与装有砝码的小盘相连，小盘与砝码的总质量为。在运动的过程中，若不计空气阻力，则在水平方向受到的作用力与相应的施力物体分别是( )。
A．拉力和摩擦力；地球和桌面
B．拉力和摩擦力；轻绳和桌面
C．重力和摩擦力；地球和物块
D．重力和摩擦力；轻绳和桌面
10．如图4.32所示，物体用两根细线悬挂起来，一根恰水平，一根恰竖直，则物体受到的作用力有________个，它们分别是________。
11．两根原长相同的轻质弹簧，将它们两端平齐地套在一起后，下端挂一重物，平衡时两弹簧的弹力比为，若将它们串接后再挂上原重物，平衡时，两弹簧的伸长量之比为________。
12．(上海第22届大同杯初赛)如图4.33所示，两根竖直悬挂的劲度系数分别为，的轻弹簧下端用绕过轻滑轮的细绳相连，若在滑轮下挂一重为的物体，则平衡后滑轮下降的距离为________。
13．(上海第22届大同杯复赛)有一根长度为的弹簧，它能承受的最大拉力为，在最大拉力的作用下，弹簧伸长了。现用剪刀将弹簧剪成长度为和的两段，则长度为的弹簧能承受的最大拉力为________，在这个最大拉力作用下，弹簧伸长了________。
14．如图4.34所示为三个质量均不计的完全相同的弹簧秤，各小球质量相同，一切摩擦不计，平衡时各弹簧秤示数分别为，，，其大小关系是________。
15．如图4.35所示，两木块的质量分别为，两轻质弹簧的劲度系数分别为和，上面木块压在上面的弹簧上(但不栓按)，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧。在这个过程中木块上升的高度为________，木块上升的高度为________。
16．如图4.36所示，劲度系数均为的甲、乙两轻质弹簧，甲弹簧一端固定在天花板上，乙弹簧一端固定在水平地面上。当在甲的另一端挂一重物，乙的另一端压一重物时，两弹簧的长度均为，现将两弹簧并联，并在其下方系一重物，此时弹簧的长度应为________。
17．如图4.37所示，用水平力将物体压在竖直墙上，且物体处于静止状态。(1)分别画出物体及墙所受摩擦力的方向；(2)若增大力物体的质量，它所受摩擦力将________；(3)若增大，物体所受摩擦力将________。((2)(3)均选填“增大”“不变”或“减小”)
18．如图4.38所示，滑轮质量不计且光滑，物体及所挂砝码均静止，连接物体的绳子恰水平。(1)分别画出物体及桌面所受的摩擦力的方向；(2)若增大物体的质量，它所受摩擦力将________；(3)若增大所挂砝码的质量而物体仍静止，则所受摩擦力将________。((2)(3)均选填“增大”“不变”或“减小”)
19．如图4.39所示，有一等边三角形，在，两点各放一个质量为的小球，在处放一个质量为的小球，问：这个球组的重心在何处？
20．如图4.40所示，，，弹簧的劲度系数为，不计绳重和摩擦，求物体对支持面的压力和弹簧的伸长量。
21．如图4.41(a)所示，一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长，它们的一端固定，另一端自由，当压缩此弹簧组合时，测得所用外力与压缩距离之间的关系图线如图4.41(b)所示，问：这两根弹簧的劲度系数(大弹簧)和(小弹簧)分別为多少？
22．(上海第20届大同杯复赛)在机械制造中有一个给大飞轮定重心的工序，该工序的目的是使飞轮的重心发生微小的移动，以使它准确位于轮轴上。如图4.42所示为放置在竖直平面内的一个质量为、半径为的金属大飞轮。用力推动飞轮，让飞轮转动若干周后停止。多次拭验，发现飞轮边緣上的标记总是停在图示位置。
(1)根据以上情况，在图上标出飞轮重心的可能位置。
(2)工人在飞轮边缘上的某点处，焊上质量为的少量金属(不计焊锡质量)后，再用力推动飞轮，当观察到________现象时，说明飞轮的重心已调整到轴心上了，请在图上标出点的位置。
(3)为给飞轮定重心，还可以采用其他方法，例如，可以在飞轮边缘上某点处，钻下质量为的少量金属，则钻下的质量________(用，，表示)，并在图中标出点的位置。
参考答案
1．C。质量均匀分布的薄圆板，重心在圆心处，中央挖掉一个小圆盾，剩余部分仍为对称图形，重心还在圆心处。
2．C。设弹簧原长为，劲度系数为，当弹簧长度为时，弹簧可能处于伸长状态，则，当弹簧长度为时，可能处于压缩状态，则，解得，。其余的可能都只会解出为负值，舍去。本题正确选项为C。
3．D。设弹簧原长为，劲度系数为，则下端挂重物时，有，上端压重物时，有，解得。选项D正确。
4．CD。物块沿着竖直墙壁匀速下滑，竖直方向仅受重力和滑动摩擦力，则由二力平衡，，选项D正确。再由物体对墙的压力为，滑动摩擦力，选项C正确。
5．A。当向右移动时，相对于向左移动，对的滑动摩擦力向冇，大小为，由于匀速，细线对向左的拉力。对而言，受到对它的向左的摩擦力，细线对它向左的拉力，以及地面对它的摩擦力，所以拉力，选项A正确。
6．A。本题中，物体在水平方向上可能受到的力只能是对其施加的摩擦力。判断摩擦力的有无，除了可以依据物体间是否满足了摩擦力产生的条件以外，还可以利用假设法，即假设物体受到或不受摩擦力，推断物体接下来所处的运动状态是否与实际情况符合，从而可以得出假设是否正确。物体处于静止或匀速直线运动状态，必受力平衡。可以假设物体受到摩擦力的作用，则摩擦力必沿接触面，即沿水平方向，而水平方向上并没有其他力，因此若物体受到摩擦力的话，将不能处于平衡状态，假设错误。题中三种情况下物体均不曼摩擦力作用。选项A正确。
7．D。丙匀速下降时，甲、乙保持相对静止匀速向右运动，则乙在甲上不受摩擦力，否则乙所受合力不为零，不会随着甲匀速运动，因此选项A和B错误。甲受绳于水平向右的拉力，则桌面一定对甲有向左的滑动摩擦力，选项C错误。若将乙拿掉，甲对地面的压力变小，摩擦力变小，甲将在绳于拉力作用下向右加速，运动状态改变，D项正确。
8．C。由于甲随着乙做匀速直线运动，因此乙对甲没有水平方向的摩擦力。根据作用力与反作用力的规律，甲对乙也没有水平方向的作用力，但是甲对乙有压力。同时乙受重力、地面支持力、地面对乙的摩擦力和拉力，乙共受5个力的作用，C选项正确。
9．B。分析物体受力时，应先找物体一定受到的力，比如重力、拉力等，再找接触面上的弹力和摩擦力。本题在水平方向上受两个力：绳子对其施加的拉力和桌面对其施加的滑动摩擦力。因此本题正确选项为B。
10．2，重力和竖直细线拉力。本题用假设法。假设水平细线对小球有拉力，则坚直细线将会倾斜，与题意不符，因此小球不受水平细线的拉力。
11．。两弹簧原长相同，形变量相同时弹力之比为，则劲度系数之比为。当两弹簧串接后再挂上原重物，两弹簧弹力大小相等，伸长量与劲度系数成反比，为。
12．。设挂上重物后，弹簧，伸长量分别为，，则滑轮下降高度为，由两弹簧弹力相等得，又，解得，，所以。
13．1，。设长度为的弹簧劲度系数为，则有，设长度为和的两段弹簧劲度系数分别为，，由于弹簧劲度系数与长度成反比，可知，且，解得，。原弹簧最大承受力为，由于弹簧各处受力相同，因此长度为的弹簧的最大承受力也为，其最大伸长量。
14．。提示：弹簧拉力的大小等于小球重力的大小。
15．，。系统平衡时，弹簧的压缩量为，弹簧的压缩量为。当物块刚离开弹簧时，恢复到原长，而弹簧压缩量减小为，因此上升的高度。木块上升的高度为。
16．。由题可知，甲弹簧原长为，乙弹簧的原长为。当两弹簧并联，并在其下方系一重物时，设弹簧长度为，则两弹簧弹力分别为，，又，可解得。
17．增大；不变。提示：物体受到的静摩擦力大小等于物体的重力。
18．画图略；不变；增大。提示：物体所受静摩擦力大小等于砝码的重力。
19．在边中线的中点处。由于，两球质量相同，因此它们的重心在的中点处，相当于在点存在一个质量为的物体，球与点的等效物体的重心在的中点。因此三个球的重心应在边中线的中点处。
20．，。物体所受绳子的拉力等于的重力，，弹簧收缩的力，则弹簧伸长量，物体对支持面的压力的大小等于的重力与弹簧收缩力的差，即。
21．，。由于两根弹簧原长不同，它们并未同时发生形变。在范围内，只有大弹簧发生形变，则，在范围内，两弹簧均发生形变，但是小弹簧比大弹簧的形变量少，因此有，解得。
22．(1)由于飞轮重心不在轮轴上，飞轮在静止时，其重心必在圆心正下方，否则不能平衡。因此，重心必在图4.43所示的半径上。
(2)如图4.44所示，设飞轮重心在点正下方的点，，则要使重心回到圆心，应在连线上且位于点另一侧的点焊接上质量为的少量金属。当观察到用力转动飞轮，最后飞轮停止转动时点的位置是任意的时，说明飞轮重心回到了点。
据此我们可以求出的值，由，得。
(3)若要钻去；小部分质量为的金属，使飞轮重心回到点，则钻孔部位应在连线上且与点同侧，如图4.45所示。整个飞轮的质量可以看做由钻去部分和剩余部分组成，这两部分的重心在点，而部分的重心在点，于是有，将代入，解得。
第二讲 力与物体的平衡
第一节 几种常见的力
力是物体与物体之间的相互作用，日常生活中的物体间往往存在着力的作用。常见的力有重力、弹力和摩擦力。
一、重力
重力即地球表面的物体由于地球的吸引而受到的力，地球表面任何物体部受到重力的作用，重力的方向是竖直向下或者表达为垂直于水平面向下，重力的大小与物体质量成正比，可用公式表示为，其中为比例系数。通常情况下取，粗略计算中可以取。但值得注意的是，地球上不同位置的的值不尽相同，的值随着纬度的升高而变大，赤道处的最小，约为，两极处的最大，约为，因此，同一物体在极地和在赤道所受重力大小是不同的。
物体各个部分都受到重力作用，各部分重力的作用点分散在物体各个部位，物体所受到的总重力可以等效地认为作用在某一点，该点即为物体的重心。对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心的位置在它们的几何中心。如图4.1所示的点即为常见均匀几何体的重心。
对于形状不规则、质量分布不均匀的薄板型物体，可以用悬挂法来确定重心的位置。
下面介绍计算物体重心位置的方法：
1．两个物体的重心
如图4.2所示，设两物体的质量分别为，，它们重心之间的距离为，这两个物体所受的总重力的等效作用点即为两物体组成的系统的重心。若以不计质量的轻细杆将，连接，再支起轻杆使其水平平衡，则支点即为物体的等效重心。设，的重心到系统重心的距离分别为，，则，由杠杆平衡条件可得，解得，。可见，两物体重心的位置必在两物件各自重心的连线上，且两物体的重心距离系统重心的距离与物体质量成反比，即系统重心离质量较大的物体较近。
2．几个物体的重心
现在我们讨论由处于同一平面内的几个物体纽成的系统的重心。如果某平面内存在着若干个物体，它们的质量分别为，，，，，则可以在平面内建立直角坐标系，并记各个物体重心的坐标为，，，，，如图4.3所示，则这空物体组成的系统的重心坐标可以表示为，其中
特殊地，如果几个物体恰在一条直线上，则只需建立一维坐标系轴即可。
例1 (上海第25届大同杯复赛)如图4.4所示，两根长度相等的杆与在点用螺母铰接在一起，两臂间的夹角可以改变，是没有质量的轻杆，而杆是有一定质量且质量均匀分布的重杆，初始时两杆间的夹角为，用一根细线悬挂端点，两杆处于静止状态，然后将两杆间的夹角变为，两杆再次处于静止状态时点相对于初始状态________(选填“上升”“下降”或“位置不变”)，为使金属杆的顶点(即两臂连接处)位置最高，金属杆两臂张开的角度应为________。
分析与解 由于杆为没有质量的轻质杆，因此杆与杆所组成的系统的重心在的中点点，且点必位于悬挂点的正下方，如图4.5所示。由于悬挂点不动，当两杆夹角变化时，点的轨迹是以点为圆心、杆长为半径的圆，越大，点位置越高。不妨假设，，则在中，由正弦定理可得，因此，故当时，取得最大值，点最高。此时可得。当两杆间的夹角由增加到时，可知变小，结合可知，应同时变大或变小，则，均变小，点高度下降。
例2 半径为的均匀薄圆盘的质量为。在圆盘上挖去一个半径为的小圆孔，且小圆孔与圆盘相切，如图4.6所示，求剩余部分重心的位置。
分析与解 整个圆盘可以分成两部分：被挖去部分与剩余部分，这两部分的重心在圆盘圆心点。圆盘单位面积的质量，挖去部分的质量。以圆盘圆心为坐标原点，沿着圆盘圆心与挖去部分的圆心连线方向建立轴如图4.7所示，则整个圆盘重心坐标为0，挖去部分原来的重心坐标为，由对称性，剩余部分的重心必在轴上。设剩余部分的重心坐标为，则应有，代入数据可解得，因此剩余部分的重心在距离点处。
例3 (上海第23届大同杯复赛)均匀三角板的重心在三角形三条中线的交点上，均匀细杆的重心在杆的中点上。现有一块等腰直角三角板和三根均匀细杆。三根细杆的长度分别与三角板的边长相等，将这三根细杆构成如图4.8所示的三角形。设三角板的重心为，三根细杆构成的三角形的重心为，与未在图中画出。
以下是三位同学的观点：
甲同学认为和的位置重合；
乙同学认为和的位置不重合，且到斜边的距离大于到斜边的距离；
丙同学认为和的位置不重合，且到斜边的距离小于到斜边的距离。
请你通过分析，对以上三位同学的观点做出判断。
分析与解 对于三角形薄板，其重心在三条边中线的交点，设斜边上的高为，则根据中线的性质，重心到斜边的距离为。对三角形，三条边的重心分别在边的中点上，如图4.9的，，所示。为了找到三角形重心的位置，现以斜边上的中点为坐标原点，沿箬斜边上高的方向建立如图所示的轴坐标，则，，再根据边长关系设三角形的三边质量分别为，，，结合对称性，必在轴上，则到斜边的高度。因为，所以甲、丙同学说法错误，乙同学说法正确。
二、弹力
(一)弹力的概念
弹力是指两个相互接触的物体之间，由于相互挤压而产生的力的作用。弹力的产生条件有两个：两个物体直接接触，相互挤压而发生弹性形变。弹力的大小与形变程度有关。弹力的方向与施加这个弹力的物体的形变方向相反，与受到这个弹力的物体的形变方向相同。弹力方向还可如下判断：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面，若接触面是曲面，则垂直于曲面的切线。②绳对物体的拉力总是沿着绳指向绳收缩的方向。③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。如果可自由转动的轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆的弹力方向一定沿杆。
如图4.10给出了细杆与圆球在几种常见情况下所受弹力的示意图。
值得注意的是，有时候物体相互接触，但却不一定挤压而发生弹性形变，因此互相接触的物体不一定会产生弹力。大多情况下物体发生的形变很微小，肉眼难以判断。因此根据弹力产生的两个条件来判断弹力的有无很困难。我们可以采用“假设法”来判断物体间的弹力是否存在。
如图4.11(a)所示，球静置于光滑水平面上，与竖直光滑墙壁接触。竖直墙壁对球是否施加了弹力，就可以用假设法判断：假设竖直墙壁对球施加了弹力，由于接触面均光滑，球必然会向右移动，与题述球静止矛盾，因此竖直墙与球之间没有弹力作用。同样在图4.11(b)中，悬绳竖直，小球与斜面接触。判断斜面对球是否有弹力，可以先假设存在弹力，则小球所受斜面对其的弹力必垂直于斜面向上，悬绳自然会倾斜，这与题矛盾，因此该弹力不存在。
(二)弹簧的弹力
当弹簧被拉伸或者被压缩时，弹簧会对与它接触的物体产生弹力的作用，当弹簧被拉伸时，弹簧的弹力表现为拉力；当弹簧被压缩时，弹簧的弹力表现为斥力。对于质量不计的轻弹簧，其内部的弹力大小处处相等。
1．胡克定律
弹簧被拉伸或压缩时，会产生反抗形变的弹力，如图4.12所示。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，这就是胡克定律，由英国物理学家胡克发现。胡克定律可以表示为，其中表示弹簧的劲度系数，反映了弹簧发生形变的难易程度，由可知，劲度系数越大的弹簧，发生相同形变量时所需的力越大，即弹簧越不容易发生形变。弹簧的劲度系数只与弹簧的材料、长度、粗细、匝数等因素有关，与弹簧的形变量及弹力大小无关。图4.13反映了弹簧弹力与弹簧的形变量之间的函数关系。
应该注意的是，弹簧的形变量不能太大，否则弹簧在外力撤去时将不能恢复到原长状态，即不能使外力超过弹簧的弹性限度。
例4 如图4.14所示，，是两个相同的轻弹簧，原长，劲度系数，如果图中悬挂的两个物体质量均为，取，则两个弹簧的总长度为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 上方弹簧承受的拉力大小等于两物体重力之和，因此其伸长量，上方弹簧的长度为。下方弹簧承受的拉力大小等于，其伸长量，下方弹簧长度为，所以两个弹簧的总长度为，选项C正确。
例5 (上海第25届大同杯初赛)如图4.15所示，劲度系数为的轻质弹簧—端固定在地面上并竖直放置，质量为的物块压在弹簧上，用一细绳跨过定滑轮，细绳一端与相连，另一端与劲度系数为的轻质弹簧相连。现用手握住弹簧的右端使其位于点时，弹簧恰好呈水平且没有形变，将弹簧的右端水平拉到点时，弹簧恰好没有形变。已知，则，之间的距离为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 当弹簧处于原长状态时，弹簧的压缩量为，当弹簧恢复原长时，弹簧的伸长量为，则，之间的距离为，选项A正确。
2．弹簧的串并联
(1)弹簧的串联：弹簧的串联就是把几根弹簧首尾相接，连成一根弹簧。
如图4.16所示，劲度系数分别为，的两个弹簧首尾相接，串联成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为，下面推导与，的关系：若在，末端分别施加拉力，则两弹簧形变量分别为，。当拉力施加在，串联后的新弹簧上时，由于弹簧上各处弹力均为，因此，在新弹簧中发生的形变量仍为，。而新弹簧的形变量满足，比较，，的表达式可得。可见，两个弹簧串联之后等效的劲度系数的倒数等于两个弹簧劲度系数的倒数之和。
将上面关系推而广之：若有个弹簧串联，则有。即串联后弹簧的等效劲度系数的倒数等于各个弹簧劲度系数的倒数之和。．
特殊地，若个原长为、劲度系数为的完全相同的弹簧串联，串联后新弹簧的原长为，劲度系数为，可见，在其他条件相同时，弹簧的劲度系数与其长度成反比。
(2)弹簧的并联：弹簧的并联就是把几根弹簧并排放置，作为一根弹簧来使用。
如图4.17所示，两个原长相同的、劲度系数分别为和的弹簧并列放置，并联成一个新弹簧，设新弹簧劲度系数为，下面推导与，的关系：若在新弹簧末端施加拉力，由于两弹簧原长相同，因此形变量相同，设为，则两弹簧弹的弹力分别为，，且有，并联后新弹簧的形变量亦为，则，因此可得，可见，两个原长相同的弹簧并联之后等效的劲度系数等于两个弹簧劲度系数之和。
将上面关系推而广之：若有个弹簧并联，则有。即串联后弹簧的等效劲度系数等于各个弹簧劲度系数之和。
值得一提的是，上述关系只适用于几个原长相同的弹簧并联，若弹簧原长不同，则受力时形变量不同，没有上述关系。此时应该逐一分析弹簧形变及弹力情况，列式求解相关问题。
例6 (上海第20届大同杯复赛)现有长度为的两根弹簧和，已知弹簧和的劲度系数分别为和。为了制成一个长度也是、劲度系数却为的新弹簧，可以分别在弹簧和上截取一段，然后将这两段串联成一个弹簧即可。则在弹簧和上截取的长度分别为( )。
A．和 B．和
C．和 D．和
分析与解 设从弹簧上截取的长度为，则从弹簧上截取的长度为，根据弹簧的劲度系数与长度成反比，可知从弹簧，上截取下来的部分劲度系数分别为，，又，联立解得，故选项B正确。
例7 (上海第28届大同杯初赛)轻质弹簧的上端固定在天花板上，下端挂一质量为的物体，平衡时弹簧的长度为，现将一根与完全相同的弹簧剪为和两部分；将质量为和的两物体分别与和相连并悬挂在天花板上，如图4.18所示。平衡时与的长度之和为，则( )。
A．一定等于
B．—定大于，且越大，原长越长，就越长
C．一定小于，且越大，原长越长，就越短
D．一定小于，且越大，原长越长，就越短
分析与解 设长为的弹簧共有圈，每一圈的劲度系数为，长为的弹簧有圈，劲度系数为，长为的弹簧有圈，劲度系数为，且。所以第一种情况下弹簧的长度，第二种情况下弹簧的长度，由于，因此—定大于，且越大，其差值就越大，就越短；越大(即原长越长)，其差值也越大，所以选项C正确。
三、摩擦力
摩擦力是指发生在物体表面，阻碍物体相对滑动或相对滑动趋势的力。摩擦力分为两类：静摩擦力和滑动摩擦力。
(一)静摩擦力
静摩擦力发生在两个相对静止、有相对运动趋势的物体之间。
1．静摩擦力产生的条件
静摩擦力产生的条件为：①相互接触有弹力，②接触面粗糙，③有相对运动的趋势。两物体间有弹力是这两物体间有摩擦力的必要条件(没有弹力不可能有摩擦力)。
值得注意的是，静摩擦力发生在相对静止的物体之间，即使物体在运动，也可能受到静摩擦力的作用。这里应对“相对运动”与“运动”加以区别。
2．静摩擦力的方向
静摩擦力阻碍的是物体间相对滑动的趋势，即静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势的方向相反。相对滑动趋势的方向就是假设接触面光滑时，物体将要滑动的方向。
图4.19画出了物体所受静摩擦力的几种情况。
3．静摩擦力的大小
静摩擦力的大小往往随着物体所受其他力的变化而变化，可以根据物体的平衡条件(比如二力平衡)来计算静摩擦力的大小。静摩擦力的大小与接触面间的压力无关。
当物体恰好要发生相对滑动时，静摩擦力达到最大，叫做最大静摩擦力，记为。静摩擦力的大小范围为。最大静摩擦力与压力、接触面的粗糙程度和材料都有关系，可以用公式来计算最大静摩擦力。其中为静摩擦因数，与接触面间的材料和粗糖程度有关，对某两个具体的接触面而言，是一个常数。表示接触面间的压力。
若要使物体发生相对滑动，就要克服最大静摩擦力。最大静摩擦力越大，物体越不容易发生相对滑动。
例8 (上海第30届大同杯初赛)如图4.20所示，两板间夹一木块，向左右两板施加压力时，木块静止，若将压力都增大到，则木块所受的摩擦力( )。
A．是原来的2倍 B．是原来的4倍
C．与原来相同 D．无法判断
分析与解 物体受竖直向下的重力和挡板对其竖直向上的静摩擦力作用，始终受力平衡。因此所受静摩擦力始终等于重力大小。力增大到只是使得物体与挡板间的最大静摩擦力增加为原来的2倍，但并未增加物体实际受到的静摩擦力。这里应该对静摩擦力与最大静摩擦力的概念加以区分。
例9 (上海第31届大同杯初赛)如图4.21所示，长度为的铁链挂在宽度为的桌面上，桌面与铁链之间的静摩擦因数为，为保证铁链静止在桌面上，铁链左端距桌面的最短距离为( )
A． B．
C． D．
分析与解 设整根铁链重力为，则左端垂下部分受重力为，右端垂下部分受重力为，由于垂下部分铁链的重力经过桌角(可视为光滑定滑轮)后转化为对桌面上铁链的水平拉力，因此左、右两边垂下的铁链对桌面上的铁链的拉力分别为，，又水平拉力，对桌面受到的压力没有贡献，所以桌面上的铁链对桌面的压力等于，桌面上铁链所受最大静摩擦力为。以桌面上铁链为研究对象，恰好静止时有，解得，选项A正确。
(二)滑动摩擦力
滑动摩擦力是指发生在两个有相对滑动的物体之间的摩擦力。
1．滑动摩擦力的产生条件
滑动摩擦力产生的条件为：①相互接触有弹力，②接触面粗糙，③发生了相对滑动。可见，两物体间有弹力是两物体间有摩擦力的必要条件(没有弹力不可能有摩擦力)。
要注意的是，滑动摩擦力发生在有相对运动的两个物体之间，要注意相对运动与运动的区别。即使某物体静止，它也可能受到其他物体对它的滑动摩擦力的作用。
2．滑动摩擦力的方向
滑动摩擦力阻碍的是两物体间的相对滑动，滑动摩擦力的方向与物体相对滑动的方向相反。例如，物体对物体的摩擦力的方向与物体相对于物体运动的方向相反，但未必与物体运动方向相反。
3．滑动摩擦力的大小
滑动摩擦力的大小与接触面间的压力、接触面的材料和粗糙程度都有关系，可以用来计算滑动摩擦力的大小。其中表示物体间的压力大小，是动摩擦因数，与接触面的材料和粗糖程度有关。对某两个具体的接触面，动摩擦因数为定值。
可见，滑动摩擦力的大小与物体间相对运动的速度、接触面积无关。
由于动摩擦因数小于静摩擦因数，滑动摩擦力小于最大静摩擦力。如图4.22(a)所示，将从零逐渐增加的水平力作用在物块上，在物块移动之前，物块受到向左的静摩擦力，且静摩擦力始终与力等大，图4.22(b)给出了摩擦力随拉力变化的图像。当拉力增加到恰好等于最大静摩擦力时，物体将开始移动，此后，摩擦力变为滑动摩擦力，因为滑动摩擦力小于最大静摩擦力，所以在物体移动后，摩擦力会突然减小一些并保持恒定，不再随拉力的增加而变化。
例10 如图4.23所示，一质量为的物体夹在两木板之间，物体左、右两侧面与两块木板间的动摩擦因数均为0.2。若把该物体从上面匀速抽出，需的力。若把它从下面匀速抽出，需多大的力？木板对物体的压力为多大？(设两木板对物体的压力不变，取)
分析与解 设木板对物块的滑动摩擦力为，压力为，则，注意到两侧木板对物块均有摩擦力，向上匀速拉动时，滑动摩擦力向下，有，向下匀速拉动时，滑动摩擦力向上，有。可解得，，木板对物体的压力。
例11 如图4.24所示，物体所受重力为，物体所受重力为，与，与地面间的动摩擦因数均为0.1，当向右匀速拉动时，求：
(1)力的大小；
(2)绳中的拉力。
分析与解 (1)向右拉动物体时，对、地面对均有水平向左的滑动摩擦力的作用，对的滑动摩擦力大小为，地面对的摩擦力大小为，因此拉力。
(2)当向右被拉出时，相对于向左运动，受到对它的滑动摩擦力水平向右，大小为，所以绳子中的拉力。
例12 (上海第28届大同杯初赛)如图4.25所示，在水平力的作用下，物体贴在竖直墙上并处于静止状态。若改变的大小，则下列判断有可能正确的是( )。
A．若适当增大，则物体与墙之间的摩擦力增大
B．若适当增大，则物体与墙之间的摩擦力不变
C．若适当减小，则物体与墙之间的摩擦力减小
D．若适当减小，则物体与墙之间的摩擦力不变
分析与解 物体受竖直向下的重力作用，静止时，必受竖直向上的静摩擦力作用，且由二力平衡知识，静摩擦力的大小等于重力大小。若增大，则物体与墙壁间的压力增大，最大静摩擦力增大，物体仍保持静止，静摩擦力不变，B选项正确。若减小，则物体与墙壁间的压力变小，最大静摩擦力变小。这会导致两种可能：若减小后的最大静摩擦力仍大于物体重力，则物体仍静止，静摩擦力不变，D选项正确；若减小后的最大静摩擦力小于物体重力，物体将滑下，此时受到的是滑动摩擦力，且小于物体重力，因此摩擦力变小，C选项芷确。本题正确选项为BCD。
练习题
1．有一个质量分布均匀的圆形薄板，若将其中央挖掉一个小圆，则薄板的余下部分( )。
A．重力减小，重心随挖下的小圆板移走了
B．重力和重心都没改变
C．重力减小，重心位置没有改变
D．重力减小，重心不存在了
2．在弹性限度内，当弹簧的长度为时，它产生的弹力大小为；当弹簧的长度变为时，它产生的弹力大小为。则弹簧的劲度系数为( )。
A． B． C． D．
3．一根轻质弹簧，当它上端固定，下端挂一零为的物体时，长度为；当它下端固定在水平面上，上端压一重为的物体时，长度为，则该弹簧的劲度系数为( )。
A． B． C． D．
4．如图4.26所示，在水平力的作用下，所受重力大小为的物体沿墙壁匀速下滑，物体与墙之间的动摩擦因数为，物体所曼摩擦力大小等于( )。
A． B．
C． D．
5．(上海第22届大同杯初赛)如图4.27所示，位于水平桌面上的物块由跨过定滑轮的轻绳与物块相连，滑轮到，的两段绳都是水平的。已知与之间以及与桌面之间的动摩擦因数都是；两物玦的质量都是，轻绳与滑轮之间的摩擦不计，在水平向右的拉力作用下，向右做匀速运动，则的大小为( )。
A． B．
C． D．
6．(上海第29届大同杯初赛)，两物体叠放在水平桌面上，在如图4.28所示的三种情况下：①图(a)中两物体静置于桌面上；②图(b)中水平恒力作用在物体上，使一起以的速度做匀速直线运动；③图(c)中水平恒力作用在物体上，使—起以的速度做匀速直线运动。比较上述三种情况下物体在水平方向的受力情况，以下说法正确的是( )。
A．三种情况下，在水平方向都不受力
B．三种情况下，在水平方向都受力且受力相同
C．图(a)中在水平方向不受力，图(b)(c)中在水平方向都受力但受力不同
D．图(a)中在水平方向不受力，图(b)(c)中在水平方向都受力且受力相同
7．(上海第27届大同杯初赛)如图4.29所示，甲和乙是叠放在水平桌面上的两个物块，它们在丙的作用下一起向右做匀速直线运动，则( )。
A．甲对乙的摩擦力方向向右
B．甲对乙的摩擦力方向向左
C．甲可能不受摩擦力
D．将乙拿掉后，甲的运动状态一定会发生改变
8．(上海第30届大同杯初赛)如图4.30所示，水平桌面上叠放著甲、乙两个物体，在拉力的作用下，甲、乙以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有( )。
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
9．(上海第22届大同杯初赛)如图4.31所乐，是位于水平粗糙桌面上的物块。用跨过定滑轮的轻绳将与装有砝码的小盘相连，小盘与砝码的总质量为。在运动的过程中，若不计空气阻力，则在水平方向受到的作用力与相应的施力物体分别是( )。
A．拉力和摩擦力；地球和桌面
B．拉力和摩擦力；轻绳和桌面
C．重力和摩擦力；地球和物块
D．重力和摩擦力；轻绳和桌面
10．如图4.32所示，物体用两根细线悬挂起来，一根恰水平，一根恰竖直，则物体受到的作用力有________个，它们分别是________。
11．两根原长相同的轻质弹簧，将它们两端平齐地套在一起后，下端挂一重物，平衡时两弹簧的弹力比为，若将它们串接后再挂上原重物，平衡时，两弹簧的伸长量之比为________。
12．(上海第22届大同杯初赛)如图4.33所示，两根竖直悬挂的劲度系数分别为，的轻弹簧下端用绕过轻滑轮的细绳相连，若在滑轮下挂一重为的物体，则平衡后滑轮下降的距离为________。
13．(上海第22届大同杯复赛)有一根长度为的弹簧，它能承受的最大拉力为，在最大拉力的作用下，弹簧伸长了。现用剪刀将弹簧剪成长度为和的两段，则长度为的弹簧能承受的最大拉力为________，在这个最大拉力作用下，弹簧伸长了________。
14．如图4.34所示为三个质量均不计的完全相同的弹簧秤，各小球质量相同，一切摩擦不计，平衡时各弹簧秤示数分别为，，，其大小关系是________。
15．如图4.35所示，两木块的质量分别为，两轻质弹簧的劲度系数分别为和，上面木块压在上面的弹簧上(但不栓按)，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧。在这个过程中木块上升的高度为________，木块上升的高度为________。
16．如图4.36所示，劲度系数均为的甲、乙两轻质弹簧，甲弹簧一端固定在天花板上，乙弹簧一端固定在水平地面上。当在甲的另一端挂一重物，乙的另一端压一重物时，两弹簧的长度均为，现将两弹簧并联，并在其下方系一重物，此时弹簧的长度应为________。
17．如图4.37所示，用水平力将物体压在竖直墙上，且物体处于静止状态。(1)分别画出物体及墙所受摩擦力的方向；(2)若增大力物体的质量，它所受摩擦力将________；(3)若增大，物体所受摩擦力将________。((2)(3)均选填“增大”“不变”或“减小”)
18．如图4.38所示，滑轮质量不计且光滑，物体及所挂砝码均静止，连接物体的绳子恰水平。(1)分别画出物体及桌面所受的摩擦力的方向；(2)若增大物体的质量，它所受摩擦力将________；(3)若增大所挂砝码的质量而物体仍静止，则所受摩擦力将________。((2)(3)均选填“增大”“不变”或“减小”)
19．如图4.39所示，有一等边三角形，在，两点各放一个质量为的小球，在处放一个质量为的小球，问：这个球组的重心在何处？
20．如图4.40所示，，，弹簧的劲度系数为，不计绳重和摩擦，求物体对支持面的压力和弹簧的伸长量。
21．如图4.41(a)所示，一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长，它们的一端固定，另一端自由，当压缩此弹簧组合时，测得所用外力与压缩距离之间的关系图线如图4.41(b)所示，问：这两根弹簧的劲度系数(大弹簧)和(小弹簧)分別为多少？
22．(上海第20届大同杯复赛)在机械制造中有一个给大飞轮定重心的工序，该工序的目的是使飞轮的重心发生微小的移动，以使它准确位于轮轴上。如图4.42所示为放置在竖直平面内的一个质量为、半径为的金属大飞轮。用力推动飞轮，让飞轮转动若干周后停止。多次拭验，发现飞轮边緣上的标记总是停在图示位置。
(1)根据以上情况，在图上标出飞轮重心的可能位置。
(2)工人在飞轮边缘上的某点处，焊上质量为的少量金属(不计焊锡质量)后，再用力推动飞轮，当观察到________现象时，说明飞轮的重心已调整到轴心上了，请在图上标出点的位置。
(3)为给飞轮定重心，还可以采用其他方法，例如，可以在飞轮边缘上某点处，钻下质量为的少量金属，则钻下的质量________(用，，表示)，并在图中标出点的位置。
参考答案
1．C。质量均匀分布的薄圆板，重心在圆心处，中央挖掉一个小圆盾，剩余部分仍为对称图形，重心还在圆心处。
2．C。设弹簧原长为，劲度系数为，当弹簧长度为时，弹簧可能处于伸长状态，则，当弹簧长度为时，可能处于压缩状态，则，解得，。其余的可能都只会解出为负值，舍去。本题正确选项为C。
3．D。设弹簧原长为，劲度系数为，则下端挂重物时，有，上端压重物时，有，解得。选项D正确。
4．CD。物块沿着竖直墙壁匀速下滑，竖直方向仅受重力和滑动摩擦力，则由二力平衡，，选项D正确。再由物体对墙的压力为，滑动摩擦力，选项C正确。
5．A。当向右移动时，相对于向左移动，对的滑动摩擦力向冇，大小为，由于匀速，细线对向左的拉力。对而言，受到对它的向左的摩擦力，细线对它向左的拉力，以及地面对它的摩擦力，所以拉力，选项A正确。
6．A。本题中，物体在水平方向上可能受到的力只能是对其施加的摩擦力。判断摩擦力的有无，除了可以依据物体间是否满足了摩擦力产生的条件以外，还可以利用假设法，即假设物体受到或不受摩擦力，推断物体接下来所处的运动状态是否与实际情况符合，从而可以得出假设是否正确。物体处于静止或匀速直线运动状态，必受力平衡。可以假设物体受到摩擦力的作用，则摩擦力必沿接触面，即沿水平方向，而水平方向上并没有其他力，因此若物体受到摩擦力的话，将不能处于平衡状态，假设错误。题中三种情况下物体均不曼摩擦力作用。选项A正确。
7．D。丙匀速下降时，甲、乙保持相对静止匀速向右运动，则乙在甲上不受摩擦力，否则乙所受合力不为零，不会随着甲匀速运动，因此选项A和B错误。甲受绳于水平向右的拉力，则桌面一定对甲有向左的滑动摩擦力，选项C错误。若将乙拿掉，甲对地面的压力变小，摩擦力变小，甲将在绳于拉力作用下向右加速，运动状态改变，D项正确。
8．C。由于甲随着乙做匀速直线运动，因此乙对甲没有水平方向的摩擦力。根据作用力与反作用力的规律，甲对乙也没有水平方向的作用力，但是甲对乙有压力。同时乙受重力、地面支持力、地面对乙的摩擦力和拉力，乙共受5个力的作用，C选项正确。
9．B。分析物体受力时，应先找物体一定受到的力，比如重力、拉力等，再找接触面上的弹力和摩擦力。本题在水平方向上受两个力：绳子对其施加的拉力和桌面对其施加的滑动摩擦力。因此本题正确选项为B。
10．2，重力和竖直细线拉力。本题用假设法。假设水平细线对小球有拉力，则坚直细线将会倾斜，与题意不符，因此小球不受水平细线的拉力。
11．。两弹簧原长相同，形变量相同时弹力之比为，则劲度系数之比为。当两弹簧串接后再挂上原重物，两弹簧弹力大小相等，伸长量与劲度系数成反比，为。
12．。设挂上重物后，弹簧，伸长量分别为，，则滑轮下降高度为，由两弹簧弹力相等得，又，解得，，所以。
13．1，。设长度为的弹簧劲度系数为，则有，设长度为和的两段弹簧劲度系数分别为，，由于弹簧劲度系数与长度成反比，可知，且，解得，。原弹簧最大承受力为，由于弹簧各处受力相同，因此长度为的弹簧的最大承受力也为，其最大伸长量。
14．。提示：弹簧拉力的大小等于小球重力的大小。
15．，。系统平衡时，弹簧的压缩量为，弹簧的压缩量为。当物块刚离开弹簧时，恢复到原长，而弹簧压缩量减小为，因此上升的高度。木块上升的高度为。
16．。由题可知，甲弹簧原长为，乙弹簧的原长为。当两弹簧并联，并在其下方系一重物时，设弹簧长度为，则两弹簧弹力分别为，，又，可解得。
17．增大；不变。提示：物体受到的静摩擦力大小等于物体的重力。
18．画图略；不变；增大。提示：物体所受静摩擦力大小等于砝码的重力。
19．在边中线的中点处。由于，两球质量相同，因此它们的重心在的中点处，相当于在点存在一个质量为的物体，球与点的等效物体的重心在的中点。因此三个球的重心应在边中线的中点处。
20．，。物体所受绳子的拉力等于的重力，，弹簧收缩的力，则弹簧伸长量，物体对支持面的压力的大小等于的重力与弹簧收缩力的差，即。
21．，。由于两根弹簧原长不同，它们并未同时发生形变。在范围内，只有大弹簧发生形变，则，在范围内，两弹簧均发生形变，但是小弹簧比大弹簧的形变量少，因此有，解得。
22．(1)由于飞轮重心不在轮轴上，飞轮在静止时，其重心必在圆心正下方，否则不能平衡。因此，重心必在图4.43所示的半径上。
(2)如图4.44所示，设飞轮重心在点正下方的点，，则要使重心回到圆心，应在连线上且位于点另一侧的点焊接上质量为的少量金属。当观察到用力转动飞轮，最后飞轮停止转动时点的位置是任意的时，说明飞轮重心回到了点。
据此我们可以求出的值，由，得。
(3)若要钻去；小部分质量为的金属，使飞轮重心回到点，则钻孔部位应在连线上且与点同侧，如图4.45所示。整个飞轮的质量可以看做由钻去部分和剩余部分组成，这两部分的重心在点，而部分的重心在点，于是有，将代入，解得。
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