【小升初】11.探索规律教案讲义及练习

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探索规律一般分为重复的规律(周期问题)和变换的规律，其中变换的规律又分为数字排列律，计算式规律，图形排列规律，图形变换规律。
数字排列规律:
数列填空，要在数列中相邻两个数的和、差、积、商中发现共同点，寻找规律。
数组填空，一般先看到每组第一个数与组数的关系，再分别看每组中后几个数与本组中的第一个数的关系。
数阵或数表填空，要分析数的横行或竖列中各数的关系，找出规律。
图形的变化规律:
先确定有儿种图形，然后观察每种图形在不同组的位置变化，最后找出图形的排列规律。
颜色交替规律:
通过发现两组颜色的变化来找出规律。
间隔排列物体个数之问的变化规律:两种物体间隔着排成一行，排在两端的物体个数比中间多1个。或者说排在中问的物体个数比两端的少1个。
解决周期问题主要是找到循环重复的部分，用有余除法进行解答，而探索变换的规律时要注意观察，比较和归纳总结，对学生的综合能力要求较高，学生要多加练习不同的题型。
考点精讲分析
典例精讲
考点1 数字排列规律
【例1】找规律填空。
(1)1，5，9，13，17，( )，（ ）……
(2)10，11，13，16，( )，25……
(3)1，3，7，15，31，( )……
(4)1，1，2，3，5，8，( )，（ ）……
(5)4，9，16，25，( )，（ ）……
【精析】本题先比较相邻两个数的差，发现规律，(1)的差都相等是4,(2)的差是1 ,2,3,4……的有序自然数，(3)的差是2,4,8,16……的倍数关系数列，(4)的差是0,1,1,2,3又重复本来的数列，再总结下可以发现从第三个数开始每个数等于前两个数的和，(5)的差是5,7,9...…奇数列，再总结下发现每个数是自然数的平方。然后根据规律填空即可。
【答案】(1)1,5,9,13,17,( 21),(25)……
(2)10，11，13，16，(20),25……
(3)1，3，7，15，31，(63)……
(4)1，1，2，3，5，8，(13)，(21)……
(5)4，9，16，25，(36)，(49)……
【归纳总结】此类题是数列找规律题目，解决时可以先观察数字之间的联系，如果直接看不出来的话通常可以算出数列相邻两个数字的差，然后再观察差的规律，根据规律推出差，进行加法计算，算出空的数字，此题中的(I)是小学比较重要的等差数列，(2)和(3)可以称为二阶数列(相邻两数差构成基本数列),(4)是著名的兔子数列(也叫斐波那切数列),(5)是平方数列，总结这些数列的特点，可以帮助我们更好的解答数列找规律的题目。
【例2】将17化成小数后，小数点后第2011位数是( )。
【精析】先把17化成小数，然后认真观察，看小数部分从哪一位开始每几位数重复为一个周期，再用有余数除法计算出余数，余几就是周期内第几个数。17=0.142857，每6位为一个周期，2011÷6=335……1，即2011位是第336个周期的第一个数字“1”。
【答案】1
【归纳总结】周期问题也是找规律的一种方式，发现重复的部分，然后用有余除法进行计算，商表示有一个完整的周期，余数表示最后不完整第几个数。
考点2 计算式找规律
【例3】先观察下面各算式，找出规律，再填空。
(1)12345679×9=111111111
(2)12345679×18=222222222
(3)12345679×27=（ ）
(4)12345679×54=（ ）
(5)（ ）×72=88888888
(6)（ ）×（ ）=999999999
【精析】经过对比观察，题中前4个算式的第一个因数都是12345679，所以(5)和(6)的第一个空填12345679:第一个式子乘9后得到111111111，对比第二个式子乘18得到222222222,18是9的2倍，222222222也是111111111的2倍，也就是第二个乘数扩大2倍，积也相应地扩大2倍，这样，规律就找出来了。接着发现27是9的3倍，54是9的6
倍，这样(3)的空填111111111×3=333333333,(4)的空填666666666，同理，(6)的空也可以填。
【答案】(1)12345679×9=111111111
(2)12345679×18=222222222
(3)12345679×27=(333333333)
(4) 12345679×54=(666666666)
(5)(12345679)×72=888888888
(6)(12345679)×(81)=999999999
【归纳总结】解决此类题关键是观察给出的式子，对比找出各部分量的相同点和不同点，对于不同点找其中的关系，根据关系进行填空。
考点3 图形找规律
【例4】观察下列图形，根据排列规律在 上画出相应的图形: □□△△△○□□△△△○□ △…… (第30个图形)。
【精析】观察题目所给图形的规律，发现图形
以“□□△△△○”的顺序循环出现，所以前两个空中应为“□”“△”。由于所给图形是6个一组的顺序循环出现，且30÷6=5，那么第30个图形应为“○”
【答案】□ △ ○
【归纳总结】对于此类根据图形规律画图题，先由所给图形寻找规律(几个一组循环出现或对称出现等)，再判断所对应出现的图形。
【例5】用小棒按照如下方式摆图形。
摆n个八边形需要( )根小棒，用2010根小棒可摆( )个八边形。
【精析】此题数形结合，需要同学们认真观察，比较，归纳出每组图形所用小棒数量特征。第一个图一个八边形用8根小棒，第二个图有两个八边形，在第一个图的基础上只多用7根小木棒(因为有公用的一边)，因此摆n个只需在第一个的基础上再增加(n-1)个7根小棒，用式子表示是8+7(n-1)，化简即是7n+1；第二问正好相反，给小棒数问有多少个八边形，其实可以得到一个方程7n+1=2010，算出n=287。、
【答案】7n+1 287
【归纳总结】此题考查学生观察图形，寻找规律与归纳公式的综合能力，学生在解答时一定要比较图形之间的变化规律，然后在第一个图形的基础上总结第n个图形的算式表达式，在不确定正确与否时可以代入前几个图形进行检验。
考点4周期问题找规律
【例6】1991年1月1日是星期二，(1)该月的22日是星期几?该月28日是星期几?(2) 1994
年1月1日是星期几?
【精析】(1)一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。(22-1)÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；(28-1)÷7=3……6，从星期二的后一天周三开始数6天，28日是星期一。
(2)1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日共365 +366+365=1096天，1096÷7 = 156……4，从星期三开始数4天，1994年1月1日是星期六。
【答案】(1)(22-1)÷7=3周，22日是周二；(28-1)÷7=3周……6天，28日是周一。
(2)365+366+365=1096(天)，1096÷7=156周…4天，故1月1日是周六。
【归纳总结】周期问题也是常见的一种找规律的题目，前面的例2和例4都可以用周期问题解决。此题属于较难的日期周期问题，首先需要找出天数差，一定要注意“算头不算尾”或者“算尾不算头”，算出天数差后除以周期7，商表示过多少周，没有余数，星期不变，有余数，余几表示从这天往后数几天(不包括这天)。
名题精析
【例】(西安高新某中入学)如下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，依次规律，第20个图案有( )个三角形。
【精析】此题先观察每个图形中三角形的个数的特征，我们发现每次多1个正方形时会加上3个空白三角形，所以第20个图案在第一个图案有4个空白三角形的基础上增加了(20-1)×3，用式子表示是:4+(20-1)×3=61个。当然，也可以理解为先有1个空白三角形，再每次加3个，那么第20个图案有1+20×3=61个。
【答案】61
【归纳总结】
此类题目要观察每个图形比前一个增加的部分，如果增加的部分相等(也就是等差)，那么就利用等差数列公式或者在不变的部分增加相同变量的思路去解答。
毕业升学训练
一、填空题
1.先观察算式，找出规律再填数。
21×9=189 321×9=2889 4321×9=38889
（ ）×9=488889
（ ）×9=（ ）
2.找规律填空。
（1）114，329，5316，7525，9836，（ ），（ ）……
（2）1.1，2.2，4.3，8.4，16.5，32.6，（ ），（ ）……
3.如下图是用棋子摆成的“上”字，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现:第⑩个“上”字需要( )枚棋子。
4.为庆祝“六一”儿童节，某小学举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示:
第21堆火柴棒的个数为（ ）。
5.观察下列各式:
11+12-1=12，13+14-12=112，,15+16-13=130，17,+18-14=156，……按照这个规律，则第100个式子为（ ）。
6. 2016年元旦是星期六，2017年元旦是星期( )。
7.李老师把1～ 95号数字卡片依次发给甲、乙、丙、丁4位同学。问第50号卡片应发给( )。发完95张卡片，丙拿到了( )张，丁拿到了( )张。
8.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，他有一定的规律性则第24个三角数与第22个三角数的差为( )。
9.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元2016年属猴年，那么公元2042年属( )年。
10.下面一组图形的阴影变化是有规律的，请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来。
二、选择题
1.给定一个列按规律排列的数：12，25，310，417，……则这列数的第8个数是（ ）。
A.863 B. 865 C. 765 D. 864
2.老师给同学讲完“用分数表示下图中各部分的面积占总面积的几分之几”之后，小冯给同桌出了一道题“计算12+14+18+116+132的值”请你帮他写出12+14+18+116+132=（ ）。
A.3132 B.1516 C.78 D.1
3.如果有2016名学生排成一排，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1……的规律报数，那么第2010名学生所报的数是()。
A.1 B.2 C.3 D.4
4.填在下面各正方形中的四个数之问都有相同的规律，根据此规律，m的值是( )。
A.38 B.52 C.66 D.74
5.如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )。
A.20 B.27 C.35 D.40
三、解决问题
1.图的变化很多，请你认真仔细地观察，画出第四幅图的答案。
2.与应用:
一个西瓜放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成2块，2刀最多可以切成4块；3刀最多可以切成7块，4刀最多可以切成11块(如图).
上述问题转化为数学模型实际上就是n条直线最多把平面分成儿块的问题，有没有规律呢?请先进行试验，然后回答以下问题。
(1)填表:
(2)设n条直线把平面最多分成的块数是S，请写出S关于n的表达式。(不需要解题过程)
冲刺提升
一、填空题
1.(西安某交大附中入学)观察下列各等式:2×2+4×2+3=3×5，3×3+4×3+3=4×6，4×4+4
×4+3=5×7……按这个规律，第100个等式为（ ）。
2.(江西某师大附中入学)联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室，那么第31个气球是( )色。
3.(陕西某师大附中入学)把2015名学生排成一排，按1，2，3，4，5，6，7，6，5，4，3，2，1，1，2，3，4，5，6，7，6，5，4，3，2，……循环报数，则第201名学生所报的数是( )。
4.(西安高新某中入学)工地准备搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭8顶这样的帐篷需要钢管的根数是( )。
5.(西安某交大附中入学)如图，是由一些棱长为1的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为6，按照图中的叠放规律，第5个几何体的表面积为( )。
6.(西安高新某中入学)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第6个图中共有点的个数是( )。
7.(西安某工大附中分班)按照图所示的规律摆下去，第20个图形摆放的黑色棋子的个数是( )。
8.(成都某师大附中入学)2016年5月1日，西安市政府召开“全市建筑垃圾管理工作推进会”，市长在此会议上作重要讲话，他说:“如果连市民起码的生命安全都保证不了，还有什么幸福感可言！”。为追查一辆肇事的渣土车，西安市联合执法部门经过多方走访调查，只有车牌号最后三位数字不能确定，但可以肯定的是后三位数字只能在5,2,8这三个数字中产生(数字可以重复)，据此判断，共有()辆嫌疑渣土车。
9.(西安某铁一中分班)如图，A、B两地全长400千米，在此道路上距离A地12千米处有一个广告牌，之后每往东27千米就有一个广告牌。A、B两地间共有( )个广告牌。
10.(西安某交大附中入学)将图标☆和●按以下规律摆放:☆●●☆☆●●●☆☆☆●●●●☆☆ ☆☆……请推断，第30个●图标位于图标列的第( )个。
11.(西安某工大附中分班)对一个整数进行下列操作:如果他是奇数，给他+3；如果他是偶数给他÷2，若这个数是11，第一次操作的结果为14，第二次操作的结果为7，第三次操作的结果是10,依次操作第2016次结果是( )。
12.(成都某七中入学)正整数按图中的规律排行:
(1)请写出第20行，第21列的数字（ ）。
(2)数字2012是第( )行，第（ ）列的数。
二、解决问题
1.(西安某交大附中入学)仔细分析，探究规律.
(1)像上面那样摆，第7个图形需要用( )根小棒，第，，个图形需要( )根小棒。
(2)像上面那样摆下去，一个图形用了85根小棒，这是第( )个图形。
2.(西安某知中学入学)如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题:
(1)在第6个图中，有( )块白瓷砖，有( )块黑瓷砖。
(2)在铺设第n个图形时，用( )块白瓷砖，( )块黑瓷砖。
(3)如果每块黑瓷砖4元，每块白瓷砖3元，铺设当n等于10的图形时，共需花多少钱购买瓷砖?
3.(西安高新某中入学)如图用水平线和竖直线将平面分成了若干个面积为I的小正方形格子，小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形为格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。
(1)上图中的格点多边形，其内部都只有1个格点，它们的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如上表，请将表格的第四列填写完整，请用x表示S，即S=( )。
(2)进一步探索:请你在下面网格中画出三个不同格点多边形，使这些多边形内部都只有2个格点，在这种情况下，用x表示S，即S=( )。
11.探索规律
毕业升学训练
一、1.54321 654321 5888889 2.111349 132164 64.7 128.8 3.42 4.128 5. 1199+1200-1100=139800 6.一 7.乙 24 23 8.47 9.狗
10.
二、1.B 2.A 3.B 4.D 5.B
三、1.【解析】
2.【解析】 (1)4-2=2,7-4=3,11-7=4,发现差的规律,所以第5 条是11+5=16,第6 条是16+6=22。
(2)S=1+1+2+3+4++n=1+(1+n)×n÷2
冲刺提升
一、1.101×101+4×101+3=102×104 2.红 3.6 4.94 5.38 6.64 7.440 8.50 51 9.15 10.58 11.4 12.420 45 14
二、1.(1)15 2n+1 (2)42
2.(1)42 30 (2)n×(n+1) 4n+6
【解析】黑:4×10+6=46( 块)
白:10×(10+1) =110(块)
46×4+110×3=514( 元)
3.【解析】表格由上到下填4 和8
(1)S= - 12 x,
(2)画图略,满足题意即可，S=12x+1。
直线条数
1
2
3
4
5
6
……
分成的最多平面数
^2
4
7
11
多边形的序号
①
②
③
④
…
对变形的面积S
2
2.5
3
…
多边形各边上格点的个数和x
4
5
6
…