中考冲刺-数学-第8课 列方程（组）解应用题

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要点梳理　1．列方程(组)解应用题的一般步骤：　　 （1）.审:分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.　　 （2）.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整.　　 （3）.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组).　　 （4）.解:解所列的方程(组).　　 （5）.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义).　　 （6）.答:注意单位和语言完整2．各类应用题的等量关系： (1)行程问题：路程＝速度×时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程； 追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程． (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．　(3)几何图形问题：　面积问题：S长方形＝ab(a、b分别表示长和宽)；　　　　　　　　　 S正方形＝a2(a表示边长)；　　　　　　　　　 S圆＝πr2(r表示圆的半径)； 体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；　　　　　　　　 　V正方体＝a3(a表示边长)；　　　　　　　　　 V圆锥＝⅓(πr2h)(r表示底面圆的半径，h表示高)；其它几何图形问题：如线段、周长等．
第8课 列方程(组)解应用题
　(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.　　(5)利润问题：　　　　利润＝销售价－进货价；　　　　 利润率＝ 　　　　 销售价＝(1＋利润率)×进货价．　　(6)利息问题：　　　　利息＝本金×利率×期数；　　　　本息和＝本金＋利息．两种设元方法　　(1)直接设元．在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设元法．　　(2)间接设元．如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．三个注意　　列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．
　考点巩固测试 1. (2013·云南) 某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？解　设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校的矿泉水件数是(2x－400)，依题意得方程：(2x－400)＋x＝2000，解得：x＝800，2x－400＝1200.答：该企业捐给甲校的矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件．感悟提高　　列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，推导出相等关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．变式训练1　(2012·长沙) 以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个．　(1)求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？ (2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？
　解　(1)设境外投资合作项目个数为x个，根据题意得：2x－(348－x)＝51，解得：x＝133，故省外境内投资合作项目为：348－133＝215个．答：境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个．(2)∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，∴湖南省共引进资金：133×6＋215×7.5＝2410.5亿元．答：东道主湖南省共引进资金2410.5亿元．2.(2013·娄底) 体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元. (1)购进篮球和排球各多少个？(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
解　(1)设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：答：购进篮球12个，购进排球8个．(2)设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：6×(60－50)＝(95－80)a，解得a＝4.答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等．感悟提高　　本题考查学生的阅读能力和处理信息能力，学生需通过分析抽象出数学问题，然后用所学知识去解决．变式训练2　(2012·苏州) 我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的1/5，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少？(单位：m3)解　设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3.答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3、11500m3.
3.甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题：　　(1)根据题意，填写下表：　　(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？解 解之得x＝60，经检验：x＝60是所列方程的解，∴x＋30＝90.答：甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生产90个零件．
感悟提高(1)当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后再求出另一个未知量的值；(2)本题中工作时间＝工作量÷工作效率，出现分式，宜用分式方程来解．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．变式训练3　(2012·扬州) 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种⅓，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树？　　解　设原计划每天种x棵树，据题意得，　　 经检验：x＝30是原方程的解．　　答：原计划每天种30棵树．
4.　新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？解　设每台冰箱降价x元．x2－300x＋22500＝0，(x－150)2＝0，∴x1＝x2＝150.∴2900－150＝2750.答：每台冰箱的定价是2750元．感悟提高 现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程，本题采用灵活的间接设未知数的方法．　　
变式训练4　(2012·广东) 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：　(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；　(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？解　(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.根据题意，得5000(1＋x)2＝7200，解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2 (不合题意，舍去)．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200(1＋x)＝7200×120%＝8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．