试卷 2021年江苏省无锡市中考数学模拟试卷

这是一份试卷 2021年江苏省无锡市中考数学模拟试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（ ）
A．1B．2C．﹣3D．﹣5
2．（3分）函数y＝+（x﹣5）﹣2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3且≠5B．x＞3且x≠5C．x＜3且x≠5D．x≤3且x≠5
3．（3分）如表所示是某位运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟）：
则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ）
A．25.25，30B．30，85C．27.5，85D．30，30
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2B．2（a+2b）＝2a+2b
C．7ab﹣（﹣3ab）＝4abD．﹣a2﹣a2＝﹣2a2
5．（3分）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
6．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（t﹣3）2＝t2﹣9
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4D．x2•x＝x2
8．（3分）已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+1的图象没有交点，则k的值可以是（ ）
A．B．C．D．﹣1
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：4a3﹣16a＝ ．
12．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 ．
13．（2分）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是 元（结果保留π）．
14．（2分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝ ．
15．（2分）写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上 ．
16．（2分）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
17．（2分）已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．
18．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）+﹣．
（2）﹣+．
20．（8分）（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15
（2）解方程：3x2﹣2x＝2
（3）解不等式组
21．（8分）如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．
22．（8分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
23．（6分）莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘制如下统计图：
请根据统计图给出的信息回答下列问题：
（1）本次活动中预备年级共有多少同学捐款？
（2）本次活动中捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？
24．（8分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
25．（8分）如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：
（1）CD＝CB；
（2）AD•DB＝2CD•DO．
26．（10分）某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月之间存在如图1所示（图1的图象是线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月满足函数表达式y2＝ax2﹣2x+c，其变化趋势如图2所示（图2的图象是抛物线）．
（1）求y1关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）
（2）求y2关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）
（3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大．
27．（10分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接DE，把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，当△BEC′为直角三角形时，求BE的长．
28．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
2021年江苏省无锡市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（ ）
A．1B．2C．﹣3D．﹣5
【分析】利用倒数的性质得到ab＝1，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：ab＝1，
则2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3．
故选：C．
2．（3分）函数y＝+（x﹣5）﹣2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3且≠5B．x＞3且x≠5C．x＜3且x≠5D．x≤3且x≠5
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：依题意有x﹣3＞0且x﹣5≠0，
解得：x＞3且x≠5．
故选：B．
3．（3分）如表所示是某位运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟）：
则这组成绩的中位数和平均数分别为（ ）
A．25.25，30B．30，85C．27.5，85D．30，30
【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：10，20，25，35，40，50
故这组数据的中位数是：（25+35）÷2＝30；
平均数＝（10+20+25+35+40+50）÷6＝30．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a﹣2a＝2B．2（a+2b）＝2a+2b
C．7ab﹣（﹣3ab）＝4abD．﹣a2﹣a2＝﹣2a2
【分析】依据合并同类项的法则、去括号的法则即可解决．
【解答】解：A、应为4a﹣2a＝2a，故选项错误；
B、应为2（a+2b）＝2a+4b，故选项错误；
C、应为7ab﹣（﹣3ab）＝10ab，故选项错误；
D、﹣a2﹣a2＝﹣2a2，故选项正确．
故选：D．
5．（3分）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
【分析】根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为360°可求出正多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角为x，则它的一个内角为4x，
4x+x＝180°，
∴x＝36°
∴这个正n边形的边数为：360°÷36°＝10，
故选：C．
6．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：A．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（t﹣3）2＝t2﹣9
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4D．x2•x＝x2
【分析】直接利用乘法公式以及积的乘方运算法则、二次根式的除法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、÷＝，故此选项错误；
B、（t﹣3）2＝t2﹣6t+9，故此选项错误；
C、（﹣2ab2）2＝4a2b4，正确；
D、x2•x＝x3，故此选项错误；
故选：C．
8．（3分）已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+1的图象没有交点，则k的值可以是（ ）
A．B．C．D．﹣1
【分析】先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝与一次函数y＝x+1的图象没有交点，
∴方程组无解，即＝x+1无解，整理得x2+x﹣k＝0，
∴△＝1+4k＜0，解得k＜﹣，
四个选项中只有﹣1＜﹣，所以只有选项D符合条件．
故选：D．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点D作DM⊥CE，根据折叠可得到∠ACE＝∠ACB＝60°，设EM＝x，由折叠性质可知，EC＝CB，设DM＝x，则CD＝2x，MC＝x，EM＝EC﹣CM＝﹣x，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，
∴∠CAB＝30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
由折叠可知：∠ACE＝∠ACB＝60°，EC＝BC＝，
∴∠ECD＝30°，
设DM＝x，则CD＝2x，
∴MC＝x，
∴EM＝EC﹣CM＝﹣x，
∵tan∠CED＝，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴EM＝，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
∴DE＝＝．
故选：B．
10．（3分）如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m+m+n+n＝3+，所以所以n＝3﹣m，S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，接着确定m的取值范围为6﹣3≤m≤3﹣3，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．
【解答】解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，
在Rt△BDN中，BD＝DN＝m，
在Rt△CPF中，CF＝PF＝n，
∵BD+DE+EF+CF＝AB，
∴m+m+n+n＝3+，
∴m+n＝3，
∴n＝3﹣m，
∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，
当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，
在Rt△BDN中，BD＝DN，BN＝DN，
∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，
在Rt△CPF中，CF＝PF，
∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3，
解得PF＝6﹣9，
∴6﹣3≤m≤3﹣3，
∴当m＝时，S最小，S的最小值为．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：4a3﹣16a＝ 4a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），
故答案为：4a（a+2）（a﹣2）
12．（2分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 3.6×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，
故答案为：3.6×104．
13．（2分）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是 180π 元（结果保留π）．
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl，算出油毡的面积，乘以10即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：圆锥侧面积＝π×3×6＝18π（平方米），
则购买油毡所需要的费用＝10×18π＝180π（元）．
故答案为：180π．
14．（2分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝ 9.6 ．
【分析】连接AC交BD于点G，连接AO，根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出OE+OF的值．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD•AG＝AB•OE+AD•OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
15．（2分）写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上 y＝3x2（本题答案不唯一） ．
【分析】抛物线开口向下，则二次函数解析式的二次项系数为负数，依此写二次函数解析式．
【解答】解：依题意，得y＝3x2．本题答案不唯一．
故答案为：y＝3x2（本题答案不唯一）．
16．（2分）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 70 岁．
【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，
依题意得：，
解得：．
故答案为：70．
17．（2分）已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1） ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 0 ．
【分析】（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；
（2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m值大于﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可．
【解答】解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，
当x＝0时，y＝0+0+1＝1，
∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）∵k为任意正实数，
∴k＞0，
∴函数图象开口向上，
∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≥﹣1﹣，
故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．
故答案为：0．
18．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为 9 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算可得到EF．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB：BC＝5：3，DE＝15，
∴＝，
解得，EF＝9，
故答案为：9．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）+﹣．
（2）﹣+．
【分析】（1）首先计算开平方和立方根，然后再计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝9﹣3﹣4＝2；
（2）原式＝﹣+，
＝，
＝，
＝，
＝．
20．（8分）（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15
（2）解方程：3x2﹣2x＝2
（3）解不等式组
【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（3）根据一元一次不等式组即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（x+1）（x+3）＝15，
∴x2+4x+3＝15，
∴x2+4x﹣12＝0，
∴（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣6或x＝2；
（2）∵3x2﹣2x＝2，
∴3x2﹣2x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴△＝4﹣4×3×（﹣2）＝28，
∴x＝＝；
（3）由①可得：x＜﹣1；
由②得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为：﹣4＜x＜﹣1；
21．（8分）如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．
【分析】由“ASA”可证△ACB≌△ECD，可得BC＝CD＝3．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴BC＝CD＝3．
22．（8分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
【分析】（1）根据概率公式求解；
（2）通过列表展示9种等可能的结果，再找出所摸出的两个球上数字之和等于4的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）P（标号为奇数）＝；
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A）的有3种，
所以，P（A）＝．
23．（6分）莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘制如下统计图：
请根据统计图给出的信息回答下列问题：
（1）本次活动中预备年级共有多少同学捐款？
（2）本次活动中捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？
【分析】（1）把捐每种款项的人数相加即是预备年级共有的学生人数，列式解答即可得到答案；
（2）用捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数除以预备年级捐款总人数，列式解答即可得到答案．
【解答】解：（1）25+70+55+16+25+4＝195（人）
答：本次活动中预备年级共有195个同学捐款；
（2）（16+25+4）÷195
＝45÷195，
＝，
答：捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数．
24．（8分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】作∠AOB的角平分线，作MN的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到M点（或N点）的距离为半径作圆．
【解答】解：如图所示．
圆P即为所作的圆．
25．（8分）如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：
（1）CD＝CB；
（2）AD•DB＝2CD•DO．
【分析】（1）由切线的性质可得∠ABO+∠CBD＝90°，由直角三角形的性质可得∠OAB+∠ODA＝90°，可得∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，可证CD＝CB；
（2）过点C作CH⊥DB于点H，由等腰三角形的性质可得DH＝BH＝BD，通过证明△AOD∽△CHD，可得，可得结论．
【解答】解：（1）连接OB，
∵CB与圆O相切，
∴OB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AO⊥CO，
∴∠OAB+∠ODA＝90°，
∴∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB；
（2）过点C作CH⊥DB于点H，
∵CD＝CB，CH⊥DB，
∴DH＝BH＝BD，
∵∠ADO＝∠CDH，∠AOD＝∠CHD＝90°，
∴△AOD∽△CHD，
∴，
∴AD•DH＝CD•DO，
∴AD•DB＝CD•DO，
∴AD•DB＝2CD•DO．
26．（10分）某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月之间存在如图1所示（图1的图象是线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月满足函数表达式y2＝ax2﹣2x+c，其变化趋势如图2所示（图2的图象是抛物线）．
（1）求y1关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）
（2）求y2关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）
（3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大．
【分析】（1）、（2）用待定系数法即可求解；
（3）设每千克所获得的收益为w（元），则w＝y1﹣y2＝（﹣x+24）﹣（x2﹣2x+）＝﹣x2+x+，进而求解．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为y1＝kx+b，
将点（4，22）、（8，20）代入函数一次函数表达式得，解得，
故y1关于x的函数表达式为y1＝﹣x+24；
（2）将点（3，12）、（7，14）代入抛物线表达式得：，解得，
故y2关于x的函数表达式为y2＝x2﹣2x+；
（3）设每千克所获得的收益为w（元），则w＝y1﹣y2＝（﹣x+24）﹣（x2﹣2x+）＝﹣x2+x+，
∵﹣＜0，故w有最大值，此时x＝3，
故3月出售这种水果，每千克所获得的收益最大．
27．（10分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接DE，把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，当△BEC′为直角三角形时，求BE的长．
【分析】如图1，当∠BC′E＝90°时，如图2，当∠BEC′＝90°时，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图1，当∠BC′E＝90°时，如图1，
矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝10，
∵把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，
∴∠DC′E＝∠C＝90°，
∵∠BC′E＝90°，
∴B，C′，D三点共线，
∴DC′＝DC＝6，
∴BC′＝4，BE＝8﹣C′E，
∵BC′2+EC′2＝BE2，
∴42+C′E2＝（8﹣C′E）2，
解得C′E＝3，
∴BE＝8﹣3＝5；
如图2，当∠BEC′＝90°时，
矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝10，
∵把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，
∴∠DC′E＝∠C＝90°，
∵∠BEC′＝90°，
∴∠CEC′＝90°，
∴四边形ECDC′是正方形，
∴C′E＝CE＝CD＝6，
∴BE＝2．
综上所述，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为2或5．
28．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，根据S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2）．
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
第几次
1
2
3
4
5
6
比赛成绩
40
50
35
20
25
10
第几次
1
2
3
4
5
6
比赛成绩
40
50
35
20
25
10
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）