数学必修12.3 幂函数测试题

 www.ks5u.com§2.3　幂函数

课时目标　1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．

1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．

3．结合2中图象，填空．

(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．

(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．

(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．

(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．

(5)幂函数在第____象限无图象．

一、选择题

1．下列函数中不是幂函数的是(　　)

A．y＝B．y＝x3

C．y＝2xD．y＝x－1

2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为(　　)

A.B．64

C．2D.

3．下列是y＝的图象的是(　　)

4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A．－2，－，，2

B．2，，－，－2

C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>bB．a>b>c

C．c>a>bD．b>c>a

6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是(　　)

A．0B．2

C．3D．4

二、填空题

7．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的序号为________．

8．函数y＝＋x－1的定义域是____________．

9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．

三、解答题

10．比较1.、、的大小，并说明理由．

11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．

能力提升

12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；

(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、

§2.3　幂函数

知识梳理

1．函数y＝xα　3.(1)(1,1)　(2)(0,0)，(1,1)　递增　下凸

(3)(1,1)　递减　(4)原点　y轴　(5)四

作业设计

1．C　[根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]

2．A　[设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，

即22α＝2－1，∴α＝－.

∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]

3．B　[y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝

＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．]

4．B　[作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]

5．A　[根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]

6．B　[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.

要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，

所以α＝－1,1显然是不成立的．

当α＝0时，f(x)＝1>|x|；

当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；

当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.

综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]

7．④

解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．

8．(0，＋∞)

解析　y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．

9．m<－

解析　由幂函数的性质知－2m－3>0，

故m<－.

10．解　考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，

∴它在(0，＋∞)上是增函数．

又∵>，∴>.

再考查函数y＝，∵>0，

∴它在(0，＋∞)上是增函数．

又∵1.4>1.1，∴>，

∴>>.

11．解　由题意，得3m－7<0.

∴m<.

∵m∈N，∴m＝0,1或2，

∵幂函数的图象关于y轴对称，

∴3m－7为偶数．

∵m＝0时，3m－7＝－7，

m＝1时，3m－7＝－4，

m＝2时，3m－7＝－1.

故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.

12．解　(1)若f(x)为正比例函数，

则⇒m＝1.

(2)若f(x)为反比例函数，

则⇒m＝－1.

(3)若f(x)为二次函数，则

⇒m＝.

(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±.

13．解　设f(x)＝xα，则由题意，得

2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.

设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，

∴β＝－2，即g(x)＝x－2.

在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．

由图象可知：

(1)当x>1或x<－1时，

f(x)>g(x)；

(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．