小升初-应用题归类讲解及训练(六)(比例的意义和基本性质)

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1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。
1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。2、表示两个比相等的式子叫做比例。3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了） （1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。这两个长方形的长有什么关系？宽呢？（2）如果要把长方形A按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？
（1）长方形B的长是长方形A的2倍，宽也是长方形A的2倍。或者说长方形B和长方形A长的比是2:1，宽的比也是2:1。把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:1，就是把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。（2）把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C，长、宽缩小为原来的，图C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。
例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小） 先按3:2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形C。（1）图B的长、宽各是几格？（2）图C呢？（3）观察这三幅图形，你有什么发现？
（1）按3:2的比将长方形A放大，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，那么图B的长为6×1.5 = 9格，宽为4×1.5 = 6格。（2）按1:2的比将长方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的，那么图C的长为6÷2 = 3格，宽为4÷2 = 2格。（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。
按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。
例3、（将两个相等比写成一个等式）图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？ B A 3厘米 6厘米 4厘米 8厘米
（1）图A中长与宽的比是4:3；图B中长与宽的原始比是8:6，而8:6化简后就是4:3。（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即4:3 = 8:6或 = ，都读作：4比3 等于 8比6。
例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。（1） 5 ：6 和15 ：18 （2）  0.2 ：0.1 和 3 ：1
分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。
判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。
例5、比例的各部分名称和比例的基本性质一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗？
1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ：4（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。 3.6 ：4.8 = 3 ：4（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ：4.8
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如： 3.6 ：3  =  4.8 ：4 内项                          外项观察题中的三个比例，你有什么发现？3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ：3.6 = 4 ：4.8
（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。（2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。（3）如果把3.6 ：3 = 4.8 ：4改写成分数形式 = ，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。（4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d，那么这个规律可表示成ad = bc 或 bc = ad。（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。
根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 1010 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.42 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 77 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2
像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。
例7、（按比例放大的含义）王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？宽是多少厘米？ 4厘米 5厘米
按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4解：设宽是ⅹ厘米。12.5 : 5 = ⅹ : 4 5ⅹ = 12.5 × 4 ┈┈ 根据比例的基本性质 5ⅹ = 50 ⅹ = 10答：放大后图片的宽是10厘米。
像上面这样，求比例中的未知项，叫做解比例。
1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 : 3的比缩小后，新图片的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为30厘米。3、按2 : 1的比画出平行四边形放大后的图形，按1 : 3的比画出长方形缩小后的图形。
4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？6∶10和9∶15　 20∶5和4∶1　 5∶1和6∶25、在2∶5、12∶0.2、310∶15 三个比中，与5.6∶14 能组成比例的一个比是(        )。6、在比例里，两个（ ）的积和两个（ ）积相等。7、如果A×3=B×5，那么A∶B= ( ) ∶ ( )。8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是： ( ) ∶ ( ) = ( ) ∶ ( )。 9、根据3×8 = 4×6写成的比例是（ ）、（ ）或（ ）。10、甲数的25% 等于乙数的75%，那么甲数与乙数的比是（ ）∶（ ）。