专题05 （直线与椭圆的位置关系问题)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题五   直线与椭圆的位置关系问题

1. 已知椭圆C：过点，且离心率为．
   求椭圆C的标准方程；
   设过点的直线l与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为点C与点B不重合，证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．

【答案】 
解：椭圆C：过点，且离心率为．
，解，，
椭圆C的标准方程为．
证明：设，，则，
由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为：，
由，得，
所以，，
直线BC的方程为：，
所以，
令，则



，
所以直BC与x轴交于定点．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆的性质，考查了圆锥曲线中的定点问题，是中档题．
由题意列出关于a，b，c的方程解出a和b的值，即可求出椭圆方程；
设直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系可得，，直线BC的方程为：，
令，求出x即可．
 

2. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P为坐标平面内的一点，且，，O为坐标原点．

求椭圆C的方程；

设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为，，且，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】解：设P点坐标为，，
则，，
由题意得
解得，

又，


所求椭圆C的方程为：
证明：依题直线AB斜率存在，
设直线AB方程为，且
联立方程

，
又由，
，
设直线MA，MB斜率分别为，，则

即：



化简得：
得：，或
当时，，过点，不合题意舍去
当时，，过点，
直线AB恒过定点．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程以及直线和椭圆的关系和圆锥曲线的定点问题，是一道难题．
根据已知条件得到c，根据离心率得到a，由此可得椭圆的标准方程；
设直线AB方程为，把直线和椭圆进行联立，根据得，找出MA，MB的斜率之间的关系，借助韦达定理求出m和k之间的关系，从而求出直线AB恒过的定点．
 

3. 已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆E的一个顶点，且离心率为．

求椭圆E的方程；

若直线与椭圆E相交于A、B两点，与直线相交于Q点，P是椭圆E上一点，且满足其中O为坐标原点，试问在x轴上是否存在一点T，使得为定值？若存在，求出点T的坐标及的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：抛物线的焦点即为椭圆E的顶点，即，
离心率为，
，
，，
椭圆E的方程为；
设，，
则直线方程代入椭圆方程，可得，

，可得，
，， ，

因为，
，
代入椭圆方程可得

，

假设存在这样的T点满足条件，设，，
，

，
 ，
 ，
 要使为定值，只需，
  ，
在x轴上存在一点，使得．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
利用椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论．
 

4. 已知为椭圆C的一个焦点，B为椭圆C与y轴正半轴的交点，椭圆C上的点P满足．

求椭圆C的标准方程；

直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过原点，求证：原点到直线l的距离为定值．

【答案】解：由题意设椭圆C的标准方程为则，
因为，
所以，
因为P在椭圆C上，所以，解得，
所以，
所以椭圆C的标准方程为．
证明：当直线l的斜率不存在时，设，
因为，所以，
因为以PQ为直径的圆过原点，所以，
得，
．
此时原点到直线l的距离为
当直线l的斜率存在时，设．
由得，
，得，
设，，
则，，


．
因为以PQ为直径的圆过原点，
所以，
．
此时原点到直线l的距离，
综上，原点到直线l的距离为定值

【解析】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及定值问题，属于较难题．
依题意，求出P的坐标，代入椭圆方程即可解题；
对直线l的斜率是否存在分类研究，当直线l的斜率存在时，设代入椭圆方程，得，设，，运用韦达定理，由得到，然后由点到直线的距离公式即可．
 

5. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上

求椭圆C的方程；

若直线与椭圆交于P，Q两点，试求三角形OPQ面积的最大值．

【答案】解：椭圆的一个焦点即为直线与x轴的交点，所以，
又离心率为，则，，
所以椭圆方程为；
设，，
联立直线与椭圆方程得，
令，得，
当时，O、P、Q三点共线，故，
则方程的两根为，
，，

，
点O到直线的距离，

，
当且仅当，
即或时取等号，
而或满足且，
所以三角形OPQ面积的最大值为1．

【解析】【试题解析】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，同时考查直线与椭圆的位置关系及基本不等式的应用，属于中档题．
由已知求出c，然后利用离心率得出a，b即可求解
联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理将用t表示，然后求出O到PQ的距离，利用基本不等式求解即可．

6. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为．
    

求椭圆E的方程；

如上图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C，D两点，直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值．

【答案】解：过且斜率为的直线方程为，
令，则，
由题意可得解得
所以椭圆E的方程为．
由题意知，直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为．
设，，
将代入，得．
所以，．
由
所以

直线AD的方程为，
令，解得，
则，同理可得．
所以

所以与的面积之积为定值，

【解析】本题考查椭圆的性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系和定值问题，属于较难题．
根据条件得解得，即可得椭圆方程；
由题意知，直线BC的斜率存在设直线BC的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求得，同理可得，进一步可求证与的面积之积为定值．
 

7. 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”如图，已知椭圆E：，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M．
   

求椭圆M的方程；

设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值为坐标原点？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】解：Ⅰ由条件知，椭圆M的离心率，
且长轴的顶点为，，
椭圆M的方程为，
Ⅱ当直线l的斜率存在时，设直线l：．
由得，．
令得，．
联立与，化简得．
设，，则
，而原点O到直线l的距离
．
当直线l的斜率不存在时，l：或，则，原点O到直线l的距离，
．
综上所述，的面积为定值6．

【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
Ⅰ由条件知，椭圆M的离心率，且长轴的顶点为，，即可求出椭圆方程，
Ⅱ当直线l的斜率存在时，设直线l：，根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形的面积，
当直线l的斜率不存在时，可求出三角形的面积．
 

8. 已知椭圆C：的四个顶点组成的四边形的面积为，且椭圆C经过点
   求椭圆C的方程；
   若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与椭圆C交于A，B两点，与OM交于点N，设四边形AMBO和的面积分别为，，求的最大值．

【答案】解：在椭圆C上，，
又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，，
解得，，
椭圆C的方程为．
由可知，设，，，
则当时，，所以，
直线AB的方程为，即，
由得，
则，，，
又，，
由，得，，
，
当时，直线，
当时，．

【解析】由在椭圆C上，可得；又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，可得：，联立解出即可得出．
由可知，设，，，则当时，，，直线AB的方程为，与椭圆方程联立：，利用根与系数的关系、弦长公式可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

9. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，离心率为，P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
    

求椭圆的方程；

设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】解：由题知，，
，，
椭圆方程为．
假设存在常数，使得．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，，
此时，易得；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，
代入椭圆方程得，
可知：，
，，
直线PM方程为，则，
则，
，，
由，
得，
即，
化简得：，
将，，，，代入并化简得：，
；
综上：存在常数，使得．

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，属于较难题．
根据题意，可得，，即可得出椭圆的方程；
根据题意，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进行求解即可．
 

10. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为．
     

求椭圆E的方程；

如上图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C，D两点，直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值．

【答案】解：过且斜率为的直线方程为，
令，则，
由题意可得解得，
所以椭圆E的方程为．
由题意知，直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为．
设，，
将代入，得．
所以，．
由，
所以

直线AD的方程为，
令，解得，
则，同理可得．
所以

所以与的面积之积为定值，

【解析】本题考查椭圆的性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系和定值问题，属于较难题．
根据条件得解得，即可得椭圆方程；
由题意知，直线BC的斜率存在设直线BC的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求得，同理可得，进一步可求证与的面积之积为定值．