初中数学北师大版八年级下册4 角平分线优质教学设计

第一章  三角形的证明

4  角平分线

课时2 三角形三个内角的平分线的性质

1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

三角形三个内角的平分线的性质.

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.

本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线.那么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习.

【教学说明】通过老师的说明，对这节课的大体内容和总的研究方法有了整体的认识和把握，学生可以在一个比较高的起点上来学习本节课的内容.同时，由于老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验.在教师的帮助下提炼出数学中的联系，构建认知结构.

探究：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点

已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

2.证明：这一点到三条边的距离相等

如上图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.

由上题的证明可知：PD=PE=PF.

【教学说明】让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性.

【归纳结论】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

例1.已知：如图，P点是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：（1）OC=OD；

（2）OP是CD的垂直平分线．

证明：(1)P点是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．

在Rt△OPC和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．

∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．

（2）又∵OP是∠AOB的角平分线，

∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．

例2.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?

解：我找到四处．除了△ABC三条角平分线交点P外，在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2、P3.因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3.

例3.作图证明：如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，交BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．（图形略）

（2）△BOE≌△BOF≌△DOF（证明过程略）

【教学说明】让学生首先自己思考例题的解决方法.分析例题的条件和结论，充分暴露自己的思维过程，让学生“观摩”，在此过程中使学生知道“老师是怎么想到的”.

本节课应掌握：

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

 教材“习题1.10”中第2、3 题.