专题05 解析几何（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题05 解析几何

【重难点知识点网络】：

【重难点题型突破】：

一、解圆锥曲线的离心率或最值问题

例1．（2020·南通一中月考）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设，且，则椭圆离心率的取值范围是　 　．

【答案】

【解析】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上．

设左焦点为，根据椭圆定义：，

又①

O是的斜边中点，∴，

又②

③

将②③代入①，得，，即

，

，，

故椭圆离心率的取值范围为．

【押题点】椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆的离心率取值范围问题

【变式训练1-1】.（2020·江苏溧阳模拟）双曲线的方程为，为其渐近线，为右焦点．过作且交双曲线于，交于．若，且则双曲线的离心率的取值范围为________．

【答案】

【解析】双曲线的渐近线方程为：，不妨设，，

则，联立解得，

设，故，故，

代入双曲线方程得到：，化简得到，

故，故答案为：．

【押题点】双曲线的标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系，平面向量在解析几何中的应用

【变式训练1-2】.（2020·江苏前黄中学月考），是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________．

【答案】

【解析】如图所示，

设椭圆的方程为，半焦距为，双曲线的方程为，，半焦距为，不妨设点在第一象限，设，，

，，，，

在中，由余弦定理可得：，，

两边同时除以，得，

，，．故答案为：．

【押题点】椭圆、双曲线的标准方程及其简单几何性质

【变式训练1-3】.（2020·江苏如皋中学月考）椭圆：的两个顶点，，过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），若，则椭圆的离心率为_____．

【答案】

【解析】依题意可得，

∵过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），

∴直线：，直线：．

由，∴．

由，∴，．

∵，，由可得，∴，椭圆的离心率，故答案为．

【押题点】椭圆的标准方程及其简单几何性质

【变式训练1-4】.（2020·江苏扬州新华中学高三月考）已知椭圆的上顶点为B，若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为________．

【答案】

【解析】由题意得：，设为椭圆上任意一点，

，

令，，

对称轴为，

的最大值为且在为椭圆下顶点时取得最大值，

最大时，，在上单调递减，

，即，，，，

故答案为：．

【押题点】椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆离心率的取值范围问题

二、解析几何与平面向量相结合问题

例2．（2020·江苏苏州模拟）如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】设圆心为O，AB中点为D，由题得．

取AC中点M，由题得，两方程平方相减得，

要使取最小值，就是PM最小，

当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小．

此时DM=，∴PM有最小值为2﹣，

代入求得的最小值为．故答案为．

【押题点】直线和圆的位置关系，平面向量的数量积运算及其最值

【变式训练2-1】（2020·江苏南通模拟）已知点，若圆上存在点M满足，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】设，则，，

，

即点轨迹为：，

又为圆上的点，存在点，只需两圆有交点即可，

，，本题正确结果：．

【押题点】两圆位置关系，平面向量的数量积运算

【变式训练2-2】.（2020·江苏三校联考）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______．

【答案】

【解析】∵直线过点，且斜率为，

∴直线的方程为：，

与双曲线联立消去，得，

设，∴，

∵，可得，

代入上式得，

消去并化简整理得：，

将代入化简得：，解之得，

因此，该双曲线的离心率，故答案为：．

【押题点】双曲线的标准方程及其几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的离心率，平面向量在解析几何中的应用

三、解析几何中的最值问题或探索性问题

例3．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．

【答案】

【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，

过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，

则，为锐角．

故当最小时，的值最小．

设切点，由的导数为，

则的斜率为，求得，可得，

，，．故答案为：．

【押题点】抛物线的定义、标准方程及其几何性质，直线的斜率公式，导数的几何意义

【变式训练3-1】.（2020·江苏启东月考）已知圆，圆，定点，动点，分别在圆和圆上，满足，则线段的取值范围_______．

【答案】

【解析】，，，

，分别在圆和圆上点，

设，，，

则，

由，可，即，

整理可得：，，

设中点为，则，，

，即，

点的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，的取值范围是，

的范围为，故：的范围为，

故答案为：．

【变式训练3-2】.（2020·江苏盐城中学高三月考）已知，分别为其左右焦点，为上任意一点，为平分线与轴交点，过作垂线，垂足分别为，求的最大值______．

【答案】

【解析】设，，，

故，故，

，

故．

当为上下顶点时，，，等号成立，故答案为：．

【押题点】椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆内三角形面积的最值问题