2021年中考数学：专题09 分式方程（知识点串讲）

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专题09 分式方程
【思维导图】

【知识要点】
知识点一：分式的基础
概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
与分式有关的条件：

要求
表示
分式有意义
分母≠0

分式无意义
分母=0

分式值为0
分子为0且分母不为0

分式值为正或大于0
分子分母同号
① A>0,B>0
② A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
①A>0,B<0
②A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
知识点二：分式的运算（重点）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，
其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
n 分式的约分
约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
分式约分步骤：
1）提分子、分母公因式
2）约去公因式
3）观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
n 分式的通分
通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式通分的关键：确定最简公分母
确定分式的最简公分母的方法
1.因式分解
2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3.字母：各分母的所有字母的最高次幂
4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
5.积
约分与通分的相同点：

n 分式的四则运算与分式的乘方
1）分式的乘除法法则：
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

注意：
1.分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2.分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
3）分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

4）整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
5)分式混合运算的运算
运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；
2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
3.确定分式的符号，然后约分；
4.结果应是最简分式.
n 整数指数幂
Ø
Ø
Ø
Ø （）
Ø
Ø （）
Ø （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
n 科学记数法
有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
注意：
1）1≤︱a︱＜10
2）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
知识点三 分式方程
解分式方程的基本
1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解
若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解
4）写出答案
增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程解决实际问题的步骤：
1. 根据题意找等量关系
2. 设未知数
3. 列出方程
4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
5. 写答案
【考查题型】

考查题型一 分式有意义的条件
【解题思路】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
典例1．（2020·四川遂宁市·中考真题）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠1．故选：D．
变式1-1．（2020·湖北黄石市·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且 B． C． D．，且
【答案】A
【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．
【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0，解得，且故选A．
变式1-2．（2019·甘肃中考真题）使得式子有意义的x的取值范围是（　　）
．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【答案】D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4故选D．
考查题型二 分式值为0的条件
【解题思路】分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
典例2．（2020·四川雅安市·中考真题）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】B
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，∴，解得：x=1，故选B．
变式2-1．（2020·贵州贵阳市·中考真题）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.
变式2-2．（2019·山东聊城市·中考真题）如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0
【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
根据题意，得|x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B．
考查题型三 分式求值
【解题思路】熟练掌握分式的性质式解题的关键
典例3．（2020·武汉模拟）若＝，则的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】设x＝3k，y＝2k，然后分别代入原式即可求出答案．
【详解】解：∵＝，∴设x＝3k，y＝2k，∴＝＝＝5；故选：A．
变式3-1．（2019·江苏无锡市·九年级零模）若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（　　）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】首先把分式转化为，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．
【详解】
,
当或或或时，是整数，即原式是整数．
当或时，x的值不是整数，当等于或是满足条件．
故使分式的值为整数的x值有4个，是2，0和．
故选B．
变式3-2．（2019·湖北孝感市·）使分式的值为整数的所有整数的和是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由整除的性质知：是的约数可得答案．
【详解】解：因为的值是整数，则是的约数，
所以，
由因为为整数，所以：，
所以：它们的和为．
故选D．
考查题型四 探索分式的基本性质
【解题思路】熟练掌握分式的性质式解题的关键
典例4．（2020·河北中考真题）若a不等于b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；故选：D．
变式4-1．（2020·河北邯郸市模拟）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】B
【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝ ＝9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
变式4-2．（2020·江苏淮安市三模）若=，则的值为（　　）
A．5 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为=，
所以4b=a-b．，解得a=5b，
所以＝.
故选A.
变式4-3．（2020·山东烟台市期末）分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质逐项进行化简即可，注意负号的作用．
【详解】

故选项A、B、C均错误，选项D正确，
故选：D．
变式4-4．（2020·河北模拟）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】锐角三角函数的定义．
【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A．
考查题型五 分式的运算
典例5．（2020·山东威海市·中考真题）分式化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．
【详解】解：





故选：B．
变式5-1．（2020·天津中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．
【详解】
，
因为，故．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为解题工具．
变式5-2．（2020·湖北随州市·中考真题）的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．
【详解】

=
=
=．
故选：B．
变式5-3．（2020·四川攀枝花市·中考真题）中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪．2020年1月12日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒名为．该病毒的直径在0.00000008米-0.000000012米，将0.000000012用科学计数法表示为的形式，则为（ ）．
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000012用科学计数法表示为1.2×10-8，
∴n=-8，
故选A.
变式5-4．（2020·山东滨州市·中考真题）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米．
故选：C．
考查题型六 解分式方程
【解题思路】熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键
典例6．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【详解】
解：方程可化简为



经检验是原方程的解
故选D
变式6-1．（2020·四川甘孜藏族自治州·中考真题）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：方程变形得.
方程的两边同乘（x-1）,得3=x-1.
解得x=4.
经检验，x=4是原方程的解．
故选：D．
变式6-2．（2020·四川南充市·中考真题）若，则x的值是 （ ）
A．4 B． C． D．﹣4
【答案】C
【分析】根据解分式方程即可求得x的值．
【详解】解：，去分母得，
∴，
经检验，是原方程的解
故选：C．
考查题型七 分式方程的解
【解题思路】熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0
典例7．（2020·甘肃兰州市·中考真题）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【详解】分式方程去分母得：，即，
因为分式方程解为负数，所以，且，
解得：且，
故选D．
变式7-1．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　　　 ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】B
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
【详解】由题意，得
，即
，即
∴，即
，解得
有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2
∴且
∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
变式7-2．（2020·四川成都市·中考真题）已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将代入原方程，即可求出值．
【详解】解：将代入方程中，得

解得： ．
故选：B．
变式7-3．（2020·四川遂宁市·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
考查题型八 列分式方程
【解题思路】找题中等量关系
典例8．（2020·湖南长沙市·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：．故选：B．
变式8-1．（2020·辽宁本溪市·中考真题）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
变式8-2．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，

故选：B．
考查题型九 利用分式方程解决实际问题
典例9．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．
【分析】
（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】
解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y=a+（60﹣a），
y=﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣300a+36000．
∴k=﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
变式9-1．（2020·广东中考真题）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．
【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元
【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可；
（2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
【详解】
解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米
由题意得
解得，
∴，经检验为分式方程的解
∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米
（2）设建类摊位个，则类个，费用为
∵
∴

，
∵110>0，
∴z随着a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当时z有最大值，此时
∴建造90个摊位的最大费用为10520元
变式9-2．（2020·浙江中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支．
【分析】
（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；
②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答．
【详解】
（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，
解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，
解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，
∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：
=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
变式9-3．（2020·山东青岛市·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【分析】
（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．