2021年中考数学：专题02 整式的加减（知识点串讲）

专题02 整式的加减

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 代数式

概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.

【注意】

1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。

2.代数式中不含有=、<、>、≠ 等

3.对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。

代数式的分类：

列代数式方法

列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.

列代数式时应该注意的问题

(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.

(2)数字通常写在字母前面.

(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.

(4)除法常写成分数的形式.

代数式的值

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.

知识点二 单项式

概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）.

【注意】：

1）圆周率是常数，所以也是常数；

2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写;

3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．

单项式的系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；

单项式的次数：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.

【注意】：

1）一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或者-1。

2)一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。

3）负数作系数时，需带上前面的符号。

4）若系数是1或-1时，“1”通常省略不写。

知识点三 多项式

概念：几个单项式的和叫多项式.

多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；

【注意】

1.ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式（若a、b、c、p、q是常数）.

2.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。

知识点四 整式的加减

同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.

同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。

合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.

步骤：①找   ②移   ③合

去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

注意：

1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.

2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.

3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.

4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.

5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。

整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.

注意:多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。

多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.

【考查题型】

考查题型一 列代数式

【解题思路】列代数式解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系，注意字母和数字相乘的简写方法．

典例1．（2020·磴口县一模）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．一样

【答案】C

【解析】解：设商品原价为x，

甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x；

乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x；

丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x；

故到丙超市合算．

故选C．

变式1-2．（2020·浙江模拟）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是(　　)

A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元

C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元

【答案】B

【解析】将原价x元的衣服以（）元出售，是把原价打8折后再减去10元．故选B．

变式1-2．（2020·河北模拟）如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一汽车在A地的东3km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　）

A．12n+5 B．12n+2 C．12n﹣7 D．12n﹣10

【答案】D

【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．

【详解】解：由题意可得，

一汽车在A地的东3km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：（5﹣3）+12（n﹣1）＝（12n﹣10）（km），

故选：D．

考查题型二 通过代数式求值

【解题思路】解决此类型题熟练掌握运算法则是解本题的关键．

典例2．（2020·无锡市中考真题）若，，则的值等于（   ）

A．5 B．1 C．-1 D．-5

【答案】C

【提示】将两整式相加即可得出答案．

【详解】

∵，，

∴，

∴的值等于，

故选：C．

变式2-1．（2020·山东潍坊市·中考真题）若，则的值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【提示】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．

【详解】∵，

∴

=

=4×1-3

=1．

故选：D．

变式2-2．（2020·大庆市中考真题）若，则的值为（    ）

A．－5 B．5 C．1 D．－1

【答案】A

【提示】根据绝对值和平方的非负性可求出x，y的值，代入计算即可；

【详解】

∵，

∴，，

∴，，

∴．

故答案选A．

变式2-3．（2020·重庆中考真题）已知a+b=4，则代数式的值为（　　）

A．3 B．1 C．0 D．-1

【答案】A

【提示】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解.

【详解】

由题意，得

故选：A.

考查题型三 单项式规律题

【解题思路】分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．

典例3．（2019·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是(    )

A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1

C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1

【答案】C

【提示】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得.

【详解】

观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，

∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，

指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，

∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1    ，

故选C.

变式3-1．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【提示】

先提示前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．

【详解】

解： ，，，，，，…，

可记为：

第项为：

故选A．

考查题型四 数字类规律探索

【解题思路】数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.

典例4．（2020·陕西模拟）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【提示】

根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.

【详解】

250＋251＋252＋…＋299＋2100

＝a＋2a＋22a＋…＋250a

＝a＋(2＋22＋…＋250)a，

∵，

，

，

…，

∴2＋22＋…＋250＝251－2，

∴250＋251＋252＋…＋299＋2100

＝a＋(2＋22＋…＋250)a

＝a＋(251－2)a

＝a＋(2 a－2)a

＝2a2－a    ，

故选C.

变式4-1．（2020·山东泰安市三模）将全体正奇数排成一个三角形数阵
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
… … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（   ）

A．639    B．637      C．635     D．633

【答案】A

【提示】

根据数阵的排列规律确定第25行,从左向右的第20个数为多少个奇数即可．

【详解】

根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n-1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n-1）=个，
则第25行（n≥3）从左向右的第20个数为为第=320个奇数，
所以此数是：320×2-1=639．

故选A

变式4-2．（2020·五莲县二模）观察下列各式及其展开式：

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

…

请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）

A．36 B．45 C．55 D．66

【答案】B

【提示】

归纳总结得到展开式中第三项系数即可．

【详解】

解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2；

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；

（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；

第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；

第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；

第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，

则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．

故选B．

考查题型五 图形类规律探索

【解题思路】考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.

典例5．（2020·云南昆明市二模）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（　　）

A．73 B．81 C．91 D．109

【答案】C

【解析】

试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；

第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；

第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；

…，

第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；

第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．

故选C．

变式5-1．（2020·天津南开区三模）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C

【提示】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.

【详解】

∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；

第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；

第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；

……

∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）

∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，

故选C.

变式5-2．（2020·重庆中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（    ）

A．10 B．15 C．18 D．21

【答案】B

【提示】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．

【详解】

解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，

第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，

第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，

……

∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，

故选：B．

考查题型六 同类项

【解题思路】同类项的概念

典例6．（2020·湘潭市中考真题）已知与是同类项，则的值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【提示】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值.

【详解】解：∵与是同类项，

∴n+1=4，

解得，n=3，

故选：B.

变式6-1．（2020·山东济宁市一模）已知代数式和 是同类项，则m-n的值是（    ）

A．-1 B．-2 C．-3 D．0

【答案】A

【提示】由同类项的定义可先求得m和n的值，从而求出代数式的值．

【详解】

∵代数式和是同类项，

∴m−1=1，2n=6，

∴m=2，n=3，

∴m−n=2−3=−1，

故选：A.

变式6-2．（2020·河北石家庄市一模）若单项式am+1b2与的和是单项式，则mn的值是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【提示】根据同类项的定义求得m，n的值，然后再代入代数式计算即可．

【详解】

解：∵整式am+1b2与的和为单项式，

∴m+1＝3，n＝2，

∴m＝2，n＝2，

∴m2＝22＝4．

故答案为B．

考查题型七 整式的加减

【解题思路】解决此类的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．

典例7．（2020·湖南长沙市中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：

第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，

请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．

【答案】

【提示】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．

【详解】设每个同学的扑克牌的数量都是；

第一步，A同学的扑克牌的数量是，B同学的扑克牌的数量是；
第二步，B同学的扑克牌的数量是，C同学的扑克牌的数量是；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2()，B同学的扑克牌的数量是()；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：()．
故答案为：．

变式7-1．（2020·四川南充市二模）甲、乙两船在静水中的速度分别是，．有一天从同一港口同时同向出发逆水而行，若水流速度是，则后两船相距_________．

【答案】

【提示】根据题意得出两船的行驶速度，再求出两船2h行驶的路程，两路程相减即可解答．

【详解】由题意知，甲船的行驶速度是，乙船的行驶速度是，

2h后两船的距离为2（55-a）-2(40-a)=30(km)，

故答案为：．

变式7-2（2020·浙江模拟）已知，那么_____________．

【答案】96

【提示】令，，可得到，即可求解；

【详解】令，，

则，，

则，

∴；

故答案是96．

变式7-3．（2020·深圳市一模）若＝，则的值为______．

【答案】4

【提示】由＝可得 ，代入计算即可.

【详解】解：∵＝，

∴，

则

故答案为：4.