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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.1 角、相交线与平行线
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.1 角、相交线与平行线，共21页。
1.(2020陕西,2,3分)若∠A=23°,则∠A余角的大小是 ( )A.57° B.67° C.77° D.157°
答案 B 由余角的定义可得∠A的余角为90°-23°=67°.故选B.
2.(2019广西梧州,5,3分)如图,钟表上10点整时,时针与分针所成的角是 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
3.(2018云南昆明,11,4分)在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图所示,则∠CDO的度数为 ( ) A.90° B.95° C.100° D.120°
4.(2020内蒙古包头,10,3分)下列命题正确的是 ( )A.若分式 的值为0,则x的值为±2B.一个正数的算术平方根一定比这个数小C.若b>a>0,则 > D.若c≥2,则一元二次方程x2+2x+3=c有实数根
考点二 相交线和平行线
1.(2020海南,6,3分)如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80°
答案 C ∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ACD=40°.在△ABE中,∵∠EBA=70°,∠EAB=40°,∴∠AEB=180°-70°-40°=70°.
2.(2020江西,4,3分)如图,∠1=∠2=65°,∠3=35°,则下列结论错误的是 ( ) A.AB∥CD B.∠B=30°C.∠C+∠2=∠EFC D.CG>FG
答案 C ∵∠1=∠2=65°,∴AB∥CD,选项A正确;∵∠3=35°,∴∠EFB=35°,又∠1=∠EFB+∠B,∴∠B=∠1-∠EFB=65°-35°=30°,选项B正确;∵AB∥CD,∴∠C=∠B=30°,∵35°>30°,∴∠3>∠C,∴CG>FG,选项D正确;∵∠3=35°,∠EFC+∠3=180°,∴∠EFC=180°-35°=145°,而∠C+∠2=30°+65°=95°≠145°,∴∠C+∠2≠∠EFC,选项C错误.
3.(2020宁夏,4,3分)如图摆放的一副学生用直角三角板,∠F=30°,∠C=45°,AB与DE相交于点G,当EF∥BC 时,∠EGB的度数是 ( ) A.135° B.120° C.115° D.105°
答案 D 延长BA交EF于H点.∵EF∥BC,∠B=90°-∠C=45°,∴∠BHF=135°.在四边形GDFH中,∠F=30 °,∠D=90°,∴∠HGD=105°,∴∠EGB=105°,故选D.
4.(2019吉林,6,2分)曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人 更好地观赏风光.如图,A,B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是 ( ) A.两点之间,线段最短B.平行于同一条直线的两条直线平行C.垂线段最短D.两点确定一条直线
答案 A 由题意可知,曲桥增加的长度是相对于两点之间直接连线而言的,因为两点之间线段最短,所 以曲桥增加了桥的长度.故选A.
5.(2019四川成都,5,3分)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图所示的方式叠放在一起,若∠1=30°,则 ∠2的度数为 ( ) A.10° B.15° C.20° D.30°
答案 B 如图,由题意得AB∥CD,∠EFG=45°,∴∠3=∠1=30°,∴∠2=∠EFG-∠3=45°-30°=15°,故选B.
6.(2020吉林,11,3分)如图,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处,他们的做法是:过点C作CD⊥l于 点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是 .
解析 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
7.(2019吉林,11,3分)如图,E为△ABC的边CA的延长线上一点.过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50 °,则∠B= °.
解析 ∵ED∥BC,∴∠C=∠CED=50°.∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
8.(2019辽宁大连,11,3分)如图,AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= °.
解析 ∵AB∥CD,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°.∵CB∥DE,∴∠D=180°-∠C=180°-50°=130°.
9.(2020湖北武汉,18,8分)如图,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,且EM ∥FN.求证:AB∥CD. 证明 ∵EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,∴∠BEF=2∠MEF,∠CFE=2∠NFE.∵EM∥FN,∴∠MEF=∠NFE.∴∠BEF=∠CFE,∴AB∥CD.
考点三 角平分线和线段的垂直平分线
1.(2020广西北部湾经济区,7,3分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE 的度数为 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75°
答案 B ∵AB=BC,∴∠A=∠ACB,又∠B=80°,∴∠A=∠ACB=50°,根据作图痕迹,可知CE平分∠ACD, ∴
2.(2020贵州贵阳,9,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别 以D,E为圆心、大于 DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为 ( ) A.无法确定 B. C.1 D.2
答案 C 如图,过点G作GH⊥AB交AB于点H.根据垂线段最短可知,GH的长是GP的最小值. 由作图可知,BG平分∠ABC,∵GH⊥AB,GC⊥BC,∴GH=GC=1,∴GP的最小值为1,故选C.
3.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC 于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于 DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是 ( ) A.1 B. C.2 D.
答案 C 由作图可知AF是∠BAC的平分线,∵∠B=90°,BG=1,∴点G到AC的距离等于1,∴△ACG的面 积是 ×1×4=2.故选C.
思路分析 先判断AF是∠BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的 距离,最后根据三角形面积公式求解即可.
4.(2019吉林长春,7,3分)如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使∠ADC=2 ∠B,则符合要求的作图痕迹是 ( )
答案 B 选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,∴∠B=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠ B.
思路分析 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,找出与∠B相等的角,利用三角形 外角与内角的关系分析.
5.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在△ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60 °,∠C=25°,则∠BAD为 ( ) A.50° B.70° C.75° D.80°
答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+ 25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.
6.(2020宁夏,14,3分)如图,在△ABC中,∠C=84°,分别以点A、B为圆心,以大于 AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M,N,作直线MN交AC于点D;以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA、BC于点E、F,再分 别以点E、F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP,此时射线BP恰好经过点D,则∠A= 度.
解析 根据作法可知直线MN是线段AB的垂直平分线,BD平分∠ABC,∴AD=BD,∠CBD=∠ABD,∴∠A= ∠ABD=∠CBD.∵∠C=84°,∴∠A+∠ABC=180°-84°=96°,∴3∠A=96°,∴∠A=32°.
1.(2017河北,3,3分)用量角器测量∠MON的度数,下列操作正确的是 ( )
答案 C 用量角器测量一个角的度数时,应将量角器的圆心对准所量角的顶点,量角器的零刻度线与 角的一边重合,那么角的另一边所对应的刻度就是角的度数,故选C.
2.(2020安徽,9,4分)已知点A,B,C在☉O上,则下列命题为真命题的是 ( )A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形,则∠ABC=120°C.若∠ABC=120°,则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC
答案 B 对于选项A,虽然半径OB平分弦AC,但AC不一定平分OB,故四边形OABC不一定是平行四边 形,故A为假命题;对于选项B,∵四边形OABC是平行四边形,且OA=OB=OC,∴△OAB,△OBC均为等边三 角形,∴∠ABO=60°,∴∠ABC=2∠ABO=120°,则B为真命题;对于选项C,虽然∠ABC=120°,但点B不一定 是劣弧AC的中点,∴四边形OABC不一定是平行四边形,因而弦AC不一定平分半径OB,故C为假命题;对 于选项D,虽然弦AC平分半径OB,但过半径OB中点的弦有无数条,只有当AC⊥OB时,弦AC被半径OB平 分,D选项中没有说明此条件,故D为假命题.
思路分析 先根据各选项的条件画出草图,然后根据平行四边形的判定定理或者运用平行四边形的性 质来判断选项是否正确,判断时不能只注意特殊情况.
3.(2018云南昆明,3,3分)如图,过直线AB上一点O作射线OC,∠BOC=29°18',则∠AOC的度数为 .
答案 150°42'(或150.7°)
解析 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-29°18'=150°42'(150°42'=150.7°).
4.(2018北京,9,2分)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC ∠DAE.(填“>”“=”或“<”)
1.(2020辽宁营口,4,3分)如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的角平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为 ( ) A.66° B.56° C.68° D.58°
答案 D ∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°.又∠EFD=64°,∴∠BEF=180°-64°=116°.∵EG平分∠BEF, ∴∠GEB=58°.故选D.
2.(2020内蒙古包头,5,3分)如图,∠ACD是△ABC的外角,CE∥AB.若∠ACB=75°,∠ECD=50°,则∠A的度 数为 ( ) A.50° B.55° C.70° D.75°
答案 B 解法一:∵CE∥AB,∴∠B=∠ECD=50°,在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-75°=55°.解法二:∠ACD=180°-∠ACB=180°-75°=105°,∵CE∥AB,∴∠B=∠ECD=50°,∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=∠ACD-∠B=105°-50°=55°.
3.(2019河北,7,3分)下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容. 则回答正确的是 ( )A.◎代表∠FEC B.@代表同位角C.▲代表∠EFC D.※代表AB
答案 C 证明过程如下:延长BE交CD于点F,则∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=∠EFC,故AB∥CD(内错角相等,两直线平行).显然只有选项C判断正确,故选C.
4.(2019河南,3,3分)如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为 ( ) A.45° B.48° C.50° D.58°
答案 B ∵AB∥CD,∴∠1=∠B=75°.∵∠1=∠D+∠E,∠E=27°,∴∠D=∠1-∠E=48°.故选B.
5.(2018河北,11,2分)如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行, 此时的航行方向为 ( ) A.北偏东30° B.北偏东80° C.北偏西30° D.北偏西50°
答案 A 如图,过B作BC∥AP,∴∠2=∠1=50°.∴∠3=80°-∠2=30°,此时的航行方向为北偏东30°,故选A.
6.(2020云南,2,3分)如图,直线c与直线a、b都相交.若a∥b,∠1=54°,则∠2= 度.
解析 ∵a∥b,∠1=54°,∴∠2=∠1=54°.
7.(2020新疆,10,5分)如图,若AB∥CD,∠A=110°,则∠1= °.
8.(2020四川南充,12,4分)如图,两直线交于点O,若∠1+∠2=76°,则∠1= 度.
9.(2019吉林长春,12,3分)如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°,过线段AB上的点C 作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB的大小为 度.
解析 因为MN∥PQ,所以∠ABQ=∠MAB=33°.因为CD⊥AB,所以∠CDB=90°-∠ABQ=57°.
思路分析 由平行线的性质得到内错角相等,再在直角三角形BCD中,利用两角互余得到∠CDB的度数.
10.(2019湖北武汉,18,8分)如图,点A,B,C,D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.求证:∠E= ∠F. 证明 ∵∠A=∠1,∴AE∥BF,∴∠E=∠2.∵CE∥DF,∴∠F=∠2.∴∠E=∠F.
1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分 别以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度是 ( ) A.2 B.3 C. D.
2.(2019山东潍坊,8,3分)如图,已知∠AOB.按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连接CD.②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连接CE,DE.③连接OE交CD于点M. 下列结论中错误的是 ( )A.∠CEO=∠DEO B.CM=MDC.∠OCD=∠ECD D.S四边形OCED= CD·OE
答案 C 由作图方法可得OE是∠COD的平分线,∴∠COE=∠DOE,∵OC=OD,OE=OE,∴△COE≌△ DOE,∴∠CEO=∠DEO.∵OC=OD,CE=DE,∴OE垂直平分CD,∴CM=MD,OE⊥CD,∴S四边形OCED= CD·OE.但不能得出∠OCD=∠ECD,故选C.
3.(2019山东青岛,7,3分)如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F,若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠ CDE的度数为 ( ) A.35° B.40° C.45° D.50°
答案 C ∵BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,∴∠ABD=∠EBD= ∠ABC=17.5°,∠AFB=∠EFB=90°,∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°=72.5°,∴AB=BE,∴AF=EF,∴AD=ED,∴∠DAF=∠DEF.∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°,∴∠BED=∠BAD=95°,∴∠CDE=95°-50°=45°.
4.(2019广东广州,9,3分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF =5,则AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.10 D.8
答案 A 如图,连接AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO. ∵EF垂直平分线段AC,∴OA=OC,在△FAO和△ECO中, ∴△FAO≌△ECO(ASA),∴CE=AF=5.∴BC=BE+EC=3+5=8.∵EF垂直平分线段AC,∴EA=EC=5.∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°.在Rt△ABE中,AB= = =4.在Rt△ABC中,AC= = =4 .故选A.
5.(2020内蒙古包头,12,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,按以下步骤作图:(1)分别以点A,B为 圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点(点M在AB的上方);(2)作直线MN交AB于点O,交BC于点D;(3)用圆规在射线OM上截取OE=OD.连接AD,AE,BE,过点O作OF⊥AC,垂足为F,交AD于点G.下列 结论:①CD=2GF;②BD2-CD2=AC2;③S△BOE=2S△AOG;④若AC=6,OF+OA=9,则四边形ADBE的周长为25.其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 D ∵OF⊥AC,∴∠AFO=∠ACD=90°,∴OF∥BC,易知MN垂直平分AB,∴AO=BO,∴AG=GD,AF =FC,∴CD=2GF,故①正确;∵AO=BO,DO=EO,∴四边形ADBE为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴四边形ADBE为菱形,∴AD=BD,在Rt△ACD中,AD2-CD2=AC2,∴BD2-CD2=AC2,故②正确;∵四边形ADBE为菱形,∴S△BOE=S△AOD,∵AG=DG,∴2S△AOG=S△AOD,∴S△BOE=2S△AOG,故③正确;∵AF=FC,AC=6,∴AF=3,在Rt△AOF中,OA2-OF2=AF2,即(OA+OF)·(OA-OF)=AF2,结合OF+OA=9得,9(OA- OF)=9,∴OA=5,OF=4,在Rt△AOD中,G为AD的中点,∴OG= AD,∴FG=OF-OG=4- AD,CD=2FG=8-AD,在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,即62+(8-AD)2=AD2,解得AD= ,∴菱形ADBE的周长为4× =25,故④正确,故选D.
6.(2020海南,15,4分)如图,在△ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A、B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则△ACD的周长为 .
解析 根据作图可知MN垂直平分线段AB,∴AD=BD,∵BC=BD+DC=9,∴AD+DC=9.∵AC=4,∴△ACD的周长为AC+AD+DC=4+9=13.
思路分析 首先根据尺规作图可得MN垂直平分线段AB,即可得AD=BD,又由BC的长求得AD+DC的长, 则可求得△ACD的周长.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,2)若∠A与∠B互为余角,∠A=40°,则∠B= ( )A.140° B.40° C.50° D.60°
答案 C ∵∠A与∠B互为余角,∴∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.故选C.
2.(2020内蒙古包头4月模拟,2)如图,a∥b,若∠1=110°,则∠2的度数是 ( ) A.110° B.80° C.70° D.60°
答案 C 如图,∵a∥b,∠1=110°,∴∠3=∠1=110°.∵∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-∠3=70°,故选C.
3.(2019重庆模拟,6)如图所示,已知∠AOC=∠BOD=70°,∠BOC=30°,则∠AOD的度数为 ( ) A.100° B.110° C.130° D.140°
答案 B ∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=40°,∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°,故选B.
4.(2019江西宜春高安一模,5)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE过点C且平行于AB,若∠BCE=35°,则∠A的 度数为 ( ) A.35° B.45° C.55° D.65°
答案 C ∵AB∥DE,∠BCE=35°,∴∠B=∠BCE=35°,∴∠A=90°-∠B=55°.故选C.
二、填空题(每小题3分,共6分)5.(2020江西南昌二模,9)如图,AB∥CD,Rt△EFG的直角顶点E在直线AB上,且EF交CD于点P,若∠BEG=5 2°,则∠CPF的度数为 .
解析 ∵∠BEG=52°,∠GEF=90°,∠AEF+∠GEF+∠BEG=180°,∴∠AEF=180°-∠GEF-∠BEG=38°.∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EPD=38°,∴∠CPF=∠EPD=38°.
6.(2019云南曲靖一模,13)如图,将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上,若 ∠2=44°,则∠1的大小为 .
三、解答题(共32分)7.(2020江西南昌一模,17)如图,在7×6的网格图中,每个小格均为正方形,点A,B,C均为格点,仅用无刻度直 尺按要求作图.(1)在图1中,画一条射线AM,使∠BAM=45°;(2)在图2中,在线段AB上求点P,使∠CPA=45°.
解析 (1)如图1,射线AM1或AM2即为所求.(2)如图2,点P即为所求.
8.(2020湖北武汉青山备考,18)如图,已知AB∥CD∥PN,∠ABC=50°,∠CPN=150°,求∠BCP的度数.
解析 ∵AB∥CD∥PN,∴∠BCD=∠ABC=50°,∠DCP=180°-∠CPN=30°,∴∠BCP=∠BCD-∠DCP=20°.
9.(2020湖北武汉4月调考,18)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,E是DC延长线上一点,连接AE, 求证:∠E=∠BAE. 证明 ∵AD∥BC,∴∠D=∠BCE.∵∠B=∠D,∴∠B=∠BCE,∴AB∥DC,∴∠E=∠BAE.
10.(2019重庆第二外国语学校模拟,20)已知:如图,在△ABC中,D是边AC上一点,AB=BD=DC,∠ABD=20°, AE∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数.
解析 ∵AB=BD,∠ABD=20°,∴∠ADB= (180°-∠ABD)=80°.∵BD=DC,∴∠CBD=∠DCB= ∠ADB=40°.∵AE∥BD,∴∠AEB=∠CBD=40°.
11.(2019湖北武汉青山一模,18)如图,点E、B、C、F在一条直线上,AB∥CD,AB=FB,CD=CE,AF、DE交 于O,求∠EOF的度数.
解析 如图,∵AB∥CD,∴∠1=∠CDE.∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,∴∠E=∠1.∵∠2=∠1,∴∠E=∠2,∴∠EOF=∠BAF+∠2=∠BAF+∠E.∵AB=BF,∴∠BAF=∠F,∴∠EOF=∠F+∠E.∵∠EOF+∠F+∠E=180°,∴∠EOF=90°.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)
1.(2020辽宁鞍山铁东一模,4)如图,AB∥CD,点E在CD上,点F在AB上,如果∠CEF∶∠BEF=6∶7,∠ABE= 50°,那么∠AFE的度数为 ( ) A.110° B.120° C.130° D.140°
答案 B 设∠CEF=6x,∵∠CEF∶∠BEF=6∶7,∴∠BEF=7x.∵AB∥CD,∴∠ABE+∠BEC=180°.又∵∠ABE=50°,∴∠BEC=130°.又∵∠BEC=∠CEF+∠BEF,∴7x+6x=130°,解得x=10°,∴∠CEF=60°.∵AB∥CD,∴∠AFE+∠CEF=180°,∴∠AFE=120°,故选B.
2.(2020四川成都一诊,5)如图,直线a∥b,将一块含30°角的直角三角尺按图中方式放置,其中点A和点B分 别落在直线a和b上.若∠2=50°,则∠1的度数为 ( ) A.10° B.20° C.30° D.40°
答案 A ∵直线a∥b,∠2=50°,∴∠1+90°+∠2+30°=180°,解得∠1=10°.故选A.
3.(2020陕西西安高新一中一模,2)如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°,则∠AED= ( ) A.65° B.115° C.125° D.130°
4.(2019辽宁沈阳铁西一模,5)如图,直线AD∥BC,若∠1=42°,∠2=60°,则∠BAC的度数为 ( ) A.72° B.78° C.80° D.88°
答案 B ∵AD∥BC,∴∠2=∠ABC=60°.∵∠1=42°,∴∠BAC=180°-60°-42°=78°,故选B.
5.(2019黑龙江哈尔滨香坊模拟,7)如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△ AB'C'的位置,使得CC'∥AB,则∠BAB'= ( ) A.30° B.35° C.40° D.50°
答案 A ∵CC'∥AB,∠CAB=75°,∴∠C'CA=∠CAB=75°.由旋转知AC=AC',∠BAB'=∠CAC',∴△ACC' 为等腰三角形,∴∠BAB'=∠CAC'=180°-2∠C'CA=30°.故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)6.(2020甘肃兰州一诊,16)如图,在菱形ABCD中,AB=8,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,以大于 CD的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN.若直线MN恰好经过点A,则菱形ABCD的面积等于 .
7.(2020四川成都龙泉驿三诊,12)如图,AB∥CD,EF⊥BD,垂足为F,∠1=43°,则∠2的度数为 .
解析 ∵AB∥CD,∴∠D=∠1=43°.∵EF⊥BD,垂足为F,∴∠DFE=90°,∴∠2=180°-90°-43°=47°.
8.(2019云南昆明盘龙一模,2)如图,AB∥CD,EF⊥AB于E,EF交CD于F,已知∠1=58°12',则∠2= .
9.(2019甘肃定西一诊,16)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.
三、解答题(共28分)10.(2020陕西西安西北工大附中二模,18)如图,已知点A,D,C,B在同一直线上,AD=BC,DE∥CF,AE∥BF, 求证:AE=BF.
11.(2020湖北武汉武钢实验学校调考,18)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED 于点G、F,若BE=6,DC=8,DE=20,求FG.
解析 ∵ED∥BC,∴∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠FCB.∵∠GBC=∠GBE,∠FCB=∠FCD,∴∠EGB=∠EBG,∠DCF=∠DFC,∴BE=EG,CD=DF.∵BE=6,DC=8,DE=20,∴FG=DE-EG-DF=DE-BE-CD=20-6-8=6.
12.(2019湖北武汉硚口一模,18)如图,△ABC中,D、E、F三点分别在AB、AC、BC三边上,过点D的直线 与线段EF的交点为点H,∠1+∠2=180°,∠3=∠C,求证:DE∥BC. 证明 ∵∠1+∠DHE=180°,∠1+∠2=180°,∴∠DHE=∠2,∴DH∥AC,∴∠3=∠AED.又∵∠3=∠C,∴∠C=∠AED,∴DE∥BC.
13.(2018重庆江北质检,19)如图,已知EF∥GH,Rt△ABC的两个顶点A、B分别在直线GH、EF上,∠C=90 °,AC交EF于点D,若BD平分∠ABC,∠BAH=28°.求∠BAC的度数.
1.(2020陕西,2,3分)若∠A=23°,则∠A余角的大小是 ( )A.57° B.67° C.77° D.157°
答案 B 由余角的定义可得∠A的余角为90°-23°=67°.故选B.
2.(2019广西梧州,5,3分)如图,钟表上10点整时,时针与分针所成的角是 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
3.(2018云南昆明,11,4分)在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图所示,则∠CDO的度数为 ( ) A.90° B.95° C.100° D.120°
4.(2020内蒙古包头,10,3分)下列命题正确的是 ( )A.若分式 的值为0,则x的值为±2B.一个正数的算术平方根一定比这个数小C.若b>a>0,则 > D.若c≥2,则一元二次方程x2+2x+3=c有实数根
考点二 相交线和平行线
1.(2020海南,6,3分)如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于 ( ) A.50° B.60° C.70° D.80°
答案 C ∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ACD=40°.在△ABE中,∵∠EBA=70°,∠EAB=40°,∴∠AEB=180°-70°-40°=70°.
2.(2020江西,4,3分)如图,∠1=∠2=65°,∠3=35°,则下列结论错误的是 ( ) A.AB∥CD B.∠B=30°C.∠C+∠2=∠EFC D.CG>FG
答案 C ∵∠1=∠2=65°,∴AB∥CD,选项A正确;∵∠3=35°,∴∠EFB=35°,又∠1=∠EFB+∠B,∴∠B=∠1-∠EFB=65°-35°=30°,选项B正确;∵AB∥CD,∴∠C=∠B=30°,∵35°>30°,∴∠3>∠C,∴CG>FG,选项D正确;∵∠3=35°,∠EFC+∠3=180°,∴∠EFC=180°-35°=145°,而∠C+∠2=30°+65°=95°≠145°,∴∠C+∠2≠∠EFC,选项C错误.
3.(2020宁夏,4,3分)如图摆放的一副学生用直角三角板,∠F=30°,∠C=45°,AB与DE相交于点G,当EF∥BC 时,∠EGB的度数是 ( ) A.135° B.120° C.115° D.105°
答案 D 延长BA交EF于H点.∵EF∥BC,∠B=90°-∠C=45°,∴∠BHF=135°.在四边形GDFH中,∠F=30 °,∠D=90°,∴∠HGD=105°,∴∠EGB=105°,故选D.
4.(2019吉林,6,2分)曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人 更好地观赏风光.如图,A,B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是 ( ) A.两点之间,线段最短B.平行于同一条直线的两条直线平行C.垂线段最短D.两点确定一条直线
答案 A 由题意可知,曲桥增加的长度是相对于两点之间直接连线而言的,因为两点之间线段最短,所 以曲桥增加了桥的长度.故选A.
5.(2019四川成都,5,3分)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图所示的方式叠放在一起,若∠1=30°,则 ∠2的度数为 ( ) A.10° B.15° C.20° D.30°
答案 B 如图,由题意得AB∥CD,∠EFG=45°,∴∠3=∠1=30°,∴∠2=∠EFG-∠3=45°-30°=15°,故选B.
6.(2020吉林,11,3分)如图,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处,他们的做法是:过点C作CD⊥l于 点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是 .
解析 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
7.(2019吉林,11,3分)如图,E为△ABC的边CA的延长线上一点.过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50 °,则∠B= °.
解析 ∵ED∥BC,∴∠C=∠CED=50°.∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
8.(2019辽宁大连,11,3分)如图,AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= °.
解析 ∵AB∥CD,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°.∵CB∥DE,∴∠D=180°-∠C=180°-50°=130°.
9.(2020湖北武汉,18,8分)如图,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,且EM ∥FN.求证:AB∥CD. 证明 ∵EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,∴∠BEF=2∠MEF,∠CFE=2∠NFE.∵EM∥FN,∴∠MEF=∠NFE.∴∠BEF=∠CFE,∴AB∥CD.
考点三 角平分线和线段的垂直平分线
1.(2020广西北部湾经济区,7,3分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE 的度数为 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75°
答案 B ∵AB=BC,∴∠A=∠ACB,又∠B=80°,∴∠A=∠ACB=50°,根据作图痕迹,可知CE平分∠ACD, ∴
2.(2020贵州贵阳,9,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别 以D,E为圆心、大于 DE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为 ( ) A.无法确定 B. C.1 D.2
答案 C 如图,过点G作GH⊥AB交AB于点H.根据垂线段最短可知,GH的长是GP的最小值. 由作图可知,BG平分∠ABC,∵GH⊥AB,GC⊥BC,∴GH=GC=1,∴GP的最小值为1,故选C.
3.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC 于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于 DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是 ( ) A.1 B. C.2 D.
答案 C 由作图可知AF是∠BAC的平分线,∵∠B=90°,BG=1,∴点G到AC的距离等于1,∴△ACG的面 积是 ×1×4=2.故选C.
思路分析 先判断AF是∠BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的 距离,最后根据三角形面积公式求解即可.
4.(2019吉林长春,7,3分)如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使∠ADC=2 ∠B,则符合要求的作图痕迹是 ( )
答案 B 选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,∴∠B=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠ B.
思路分析 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,找出与∠B相等的角,利用三角形 外角与内角的关系分析.
5.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在△ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60 °,∠C=25°,则∠BAD为 ( ) A.50° B.70° C.75° D.80°
答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+ 25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.
6.(2020宁夏,14,3分)如图,在△ABC中,∠C=84°,分别以点A、B为圆心,以大于 AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M,N,作直线MN交AC于点D;以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA、BC于点E、F,再分 别以点E、F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP,此时射线BP恰好经过点D,则∠A= 度.
解析 根据作法可知直线MN是线段AB的垂直平分线,BD平分∠ABC,∴AD=BD,∠CBD=∠ABD,∴∠A= ∠ABD=∠CBD.∵∠C=84°,∴∠A+∠ABC=180°-84°=96°,∴3∠A=96°,∴∠A=32°.
1.(2017河北,3,3分)用量角器测量∠MON的度数,下列操作正确的是 ( )
答案 C 用量角器测量一个角的度数时,应将量角器的圆心对准所量角的顶点,量角器的零刻度线与 角的一边重合,那么角的另一边所对应的刻度就是角的度数,故选C.
2.(2020安徽,9,4分)已知点A,B,C在☉O上,则下列命题为真命题的是 ( )A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形,则∠ABC=120°C.若∠ABC=120°,则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC
答案 B 对于选项A,虽然半径OB平分弦AC,但AC不一定平分OB,故四边形OABC不一定是平行四边 形,故A为假命题;对于选项B,∵四边形OABC是平行四边形,且OA=OB=OC,∴△OAB,△OBC均为等边三 角形,∴∠ABO=60°,∴∠ABC=2∠ABO=120°,则B为真命题;对于选项C,虽然∠ABC=120°,但点B不一定 是劣弧AC的中点,∴四边形OABC不一定是平行四边形,因而弦AC不一定平分半径OB,故C为假命题;对 于选项D,虽然弦AC平分半径OB,但过半径OB中点的弦有无数条,只有当AC⊥OB时,弦AC被半径OB平 分,D选项中没有说明此条件,故D为假命题.
思路分析 先根据各选项的条件画出草图,然后根据平行四边形的判定定理或者运用平行四边形的性 质来判断选项是否正确,判断时不能只注意特殊情况.
3.(2018云南昆明,3,3分)如图,过直线AB上一点O作射线OC,∠BOC=29°18',则∠AOC的度数为 .
答案 150°42'(或150.7°)
解析 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-29°18'=150°42'(150°42'=150.7°).
4.(2018北京,9,2分)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC ∠DAE.(填“>”“=”或“<”)
1.(2020辽宁营口,4,3分)如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的角平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为 ( ) A.66° B.56° C.68° D.58°
答案 D ∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°.又∠EFD=64°,∴∠BEF=180°-64°=116°.∵EG平分∠BEF, ∴∠GEB=58°.故选D.
2.(2020内蒙古包头,5,3分)如图,∠ACD是△ABC的外角,CE∥AB.若∠ACB=75°,∠ECD=50°,则∠A的度 数为 ( ) A.50° B.55° C.70° D.75°
答案 B 解法一:∵CE∥AB,∴∠B=∠ECD=50°,在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-75°=55°.解法二:∠ACD=180°-∠ACB=180°-75°=105°,∵CE∥AB,∴∠B=∠ECD=50°,∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=∠ACD-∠B=105°-50°=55°.
3.(2019河北,7,3分)下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容. 则回答正确的是 ( )A.◎代表∠FEC B.@代表同位角C.▲代表∠EFC D.※代表AB
答案 C 证明过程如下:延长BE交CD于点F,则∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=∠EFC,故AB∥CD(内错角相等,两直线平行).显然只有选项C判断正确,故选C.
4.(2019河南,3,3分)如图,AB∥CD,∠B=75°,∠E=27°,则∠D的度数为 ( ) A.45° B.48° C.50° D.58°
答案 B ∵AB∥CD,∴∠1=∠B=75°.∵∠1=∠D+∠E,∠E=27°,∴∠D=∠1-∠E=48°.故选B.
5.(2018河北,11,2分)如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行, 此时的航行方向为 ( ) A.北偏东30° B.北偏东80° C.北偏西30° D.北偏西50°
答案 A 如图,过B作BC∥AP,∴∠2=∠1=50°.∴∠3=80°-∠2=30°,此时的航行方向为北偏东30°,故选A.
6.(2020云南,2,3分)如图,直线c与直线a、b都相交.若a∥b,∠1=54°,则∠2= 度.
解析 ∵a∥b,∠1=54°,∴∠2=∠1=54°.
7.(2020新疆,10,5分)如图,若AB∥CD,∠A=110°,则∠1= °.
8.(2020四川南充,12,4分)如图,两直线交于点O,若∠1+∠2=76°,则∠1= 度.
9.(2019吉林长春,12,3分)如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°,过线段AB上的点C 作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB的大小为 度.
解析 因为MN∥PQ,所以∠ABQ=∠MAB=33°.因为CD⊥AB,所以∠CDB=90°-∠ABQ=57°.
思路分析 由平行线的性质得到内错角相等,再在直角三角形BCD中,利用两角互余得到∠CDB的度数.
10.(2019湖北武汉,18,8分)如图,点A,B,C,D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.求证:∠E= ∠F. 证明 ∵∠A=∠1,∴AE∥BF,∴∠E=∠2.∵CE∥DF,∴∠F=∠2.∴∠E=∠F.
1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分 别以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度是 ( ) A.2 B.3 C. D.
2.(2019山东潍坊,8,3分)如图,已知∠AOB.按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连接CD.②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连接CE,DE.③连接OE交CD于点M. 下列结论中错误的是 ( )A.∠CEO=∠DEO B.CM=MDC.∠OCD=∠ECD D.S四边形OCED= CD·OE
答案 C 由作图方法可得OE是∠COD的平分线,∴∠COE=∠DOE,∵OC=OD,OE=OE,∴△COE≌△ DOE,∴∠CEO=∠DEO.∵OC=OD,CE=DE,∴OE垂直平分CD,∴CM=MD,OE⊥CD,∴S四边形OCED= CD·OE.但不能得出∠OCD=∠ECD,故选C.
3.(2019山东青岛,7,3分)如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F,若∠ABC=35°,∠C=50°,则∠ CDE的度数为 ( ) A.35° B.40° C.45° D.50°
答案 C ∵BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,∴∠ABD=∠EBD= ∠ABC=17.5°,∠AFB=∠EFB=90°,∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°=72.5°,∴AB=BE,∴AF=EF,∴AD=ED,∴∠DAF=∠DEF.∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°,∴∠BED=∠BAD=95°,∴∠CDE=95°-50°=45°.
4.(2019广东广州,9,3分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF =5,则AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.10 D.8
答案 A 如图,连接AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO. ∵EF垂直平分线段AC,∴OA=OC,在△FAO和△ECO中, ∴△FAO≌△ECO(ASA),∴CE=AF=5.∴BC=BE+EC=3+5=8.∵EF垂直平分线段AC,∴EA=EC=5.∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°.在Rt△ABE中,AB= = =4.在Rt△ABC中,AC= = =4 .故选A.
5.(2020内蒙古包头,12,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,按以下步骤作图:(1)分别以点A,B为 圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点(点M在AB的上方);(2)作直线MN交AB于点O,交BC于点D;(3)用圆规在射线OM上截取OE=OD.连接AD,AE,BE,过点O作OF⊥AC,垂足为F,交AD于点G.下列 结论:①CD=2GF;②BD2-CD2=AC2;③S△BOE=2S△AOG;④若AC=6,OF+OA=9,则四边形ADBE的周长为25.其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 D ∵OF⊥AC,∴∠AFO=∠ACD=90°,∴OF∥BC,易知MN垂直平分AB,∴AO=BO,∴AG=GD,AF =FC,∴CD=2GF,故①正确;∵AO=BO,DO=EO,∴四边形ADBE为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴四边形ADBE为菱形,∴AD=BD,在Rt△ACD中,AD2-CD2=AC2,∴BD2-CD2=AC2,故②正确;∵四边形ADBE为菱形,∴S△BOE=S△AOD,∵AG=DG,∴2S△AOG=S△AOD,∴S△BOE=2S△AOG,故③正确;∵AF=FC,AC=6,∴AF=3,在Rt△AOF中,OA2-OF2=AF2,即(OA+OF)·(OA-OF)=AF2,结合OF+OA=9得,9(OA- OF)=9,∴OA=5,OF=4,在Rt△AOD中,G为AD的中点,∴OG= AD,∴FG=OF-OG=4- AD,CD=2FG=8-AD,在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2,即62+(8-AD)2=AD2,解得AD= ,∴菱形ADBE的周长为4× =25,故④正确,故选D.
6.(2020海南,15,4分)如图,在△ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A、B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则△ACD的周长为 .
解析 根据作图可知MN垂直平分线段AB,∴AD=BD,∵BC=BD+DC=9,∴AD+DC=9.∵AC=4,∴△ACD的周长为AC+AD+DC=4+9=13.
思路分析 首先根据尺规作图可得MN垂直平分线段AB,即可得AD=BD,又由BC的长求得AD+DC的长, 则可求得△ACD的周长.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,2)若∠A与∠B互为余角,∠A=40°,则∠B= ( )A.140° B.40° C.50° D.60°
答案 C ∵∠A与∠B互为余角,∴∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.故选C.
2.(2020内蒙古包头4月模拟,2)如图,a∥b,若∠1=110°,则∠2的度数是 ( ) A.110° B.80° C.70° D.60°
答案 C 如图,∵a∥b,∠1=110°,∴∠3=∠1=110°.∵∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-∠3=70°,故选C.
3.(2019重庆模拟,6)如图所示,已知∠AOC=∠BOD=70°,∠BOC=30°,则∠AOD的度数为 ( ) A.100° B.110° C.130° D.140°
答案 B ∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=40°,∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°,故选B.
4.(2019江西宜春高安一模,5)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE过点C且平行于AB,若∠BCE=35°,则∠A的 度数为 ( ) A.35° B.45° C.55° D.65°
答案 C ∵AB∥DE,∠BCE=35°,∴∠B=∠BCE=35°,∴∠A=90°-∠B=55°.故选C.
二、填空题(每小题3分,共6分)5.(2020江西南昌二模,9)如图,AB∥CD,Rt△EFG的直角顶点E在直线AB上,且EF交CD于点P,若∠BEG=5 2°,则∠CPF的度数为 .
解析 ∵∠BEG=52°,∠GEF=90°,∠AEF+∠GEF+∠BEG=180°,∴∠AEF=180°-∠GEF-∠BEG=38°.∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EPD=38°,∴∠CPF=∠EPD=38°.
6.(2019云南曲靖一模,13)如图,将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上,若 ∠2=44°,则∠1的大小为 .
三、解答题(共32分)7.(2020江西南昌一模,17)如图,在7×6的网格图中,每个小格均为正方形,点A,B,C均为格点,仅用无刻度直 尺按要求作图.(1)在图1中,画一条射线AM,使∠BAM=45°;(2)在图2中,在线段AB上求点P,使∠CPA=45°.
解析 (1)如图1,射线AM1或AM2即为所求.(2)如图2,点P即为所求.
8.(2020湖北武汉青山备考,18)如图,已知AB∥CD∥PN,∠ABC=50°,∠CPN=150°,求∠BCP的度数.
解析 ∵AB∥CD∥PN,∴∠BCD=∠ABC=50°,∠DCP=180°-∠CPN=30°,∴∠BCP=∠BCD-∠DCP=20°.
9.(2020湖北武汉4月调考,18)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,E是DC延长线上一点,连接AE, 求证:∠E=∠BAE. 证明 ∵AD∥BC,∴∠D=∠BCE.∵∠B=∠D,∴∠B=∠BCE,∴AB∥DC,∴∠E=∠BAE.
10.(2019重庆第二外国语学校模拟,20)已知:如图,在△ABC中,D是边AC上一点,AB=BD=DC,∠ABD=20°, AE∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数.
解析 ∵AB=BD,∠ABD=20°,∴∠ADB= (180°-∠ABD)=80°.∵BD=DC,∴∠CBD=∠DCB= ∠ADB=40°.∵AE∥BD,∴∠AEB=∠CBD=40°.
11.(2019湖北武汉青山一模,18)如图,点E、B、C、F在一条直线上,AB∥CD,AB=FB,CD=CE,AF、DE交 于O,求∠EOF的度数.
解析 如图,∵AB∥CD,∴∠1=∠CDE.∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,∴∠E=∠1.∵∠2=∠1,∴∠E=∠2,∴∠EOF=∠BAF+∠2=∠BAF+∠E.∵AB=BF,∴∠BAF=∠F,∴∠EOF=∠F+∠E.∵∠EOF+∠F+∠E=180°,∴∠EOF=90°.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)
1.(2020辽宁鞍山铁东一模,4)如图,AB∥CD,点E在CD上,点F在AB上,如果∠CEF∶∠BEF=6∶7,∠ABE= 50°,那么∠AFE的度数为 ( ) A.110° B.120° C.130° D.140°
答案 B 设∠CEF=6x,∵∠CEF∶∠BEF=6∶7,∴∠BEF=7x.∵AB∥CD,∴∠ABE+∠BEC=180°.又∵∠ABE=50°,∴∠BEC=130°.又∵∠BEC=∠CEF+∠BEF,∴7x+6x=130°,解得x=10°,∴∠CEF=60°.∵AB∥CD,∴∠AFE+∠CEF=180°,∴∠AFE=120°,故选B.
2.(2020四川成都一诊,5)如图,直线a∥b,将一块含30°角的直角三角尺按图中方式放置,其中点A和点B分 别落在直线a和b上.若∠2=50°,则∠1的度数为 ( ) A.10° B.20° C.30° D.40°
答案 A ∵直线a∥b,∠2=50°,∴∠1+90°+∠2+30°=180°,解得∠1=10°.故选A.
3.(2020陕西西安高新一中一模,2)如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°,则∠AED= ( ) A.65° B.115° C.125° D.130°
4.(2019辽宁沈阳铁西一模,5)如图,直线AD∥BC,若∠1=42°,∠2=60°,则∠BAC的度数为 ( ) A.72° B.78° C.80° D.88°
答案 B ∵AD∥BC,∴∠2=∠ABC=60°.∵∠1=42°,∴∠BAC=180°-60°-42°=78°,故选B.
5.(2019黑龙江哈尔滨香坊模拟,7)如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△ AB'C'的位置,使得CC'∥AB,则∠BAB'= ( ) A.30° B.35° C.40° D.50°
答案 A ∵CC'∥AB,∠CAB=75°,∴∠C'CA=∠CAB=75°.由旋转知AC=AC',∠BAB'=∠CAC',∴△ACC' 为等腰三角形,∴∠BAB'=∠CAC'=180°-2∠C'CA=30°.故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)6.(2020甘肃兰州一诊,16)如图,在菱形ABCD中,AB=8,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,以大于 CD的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN.若直线MN恰好经过点A,则菱形ABCD的面积等于 .
7.(2020四川成都龙泉驿三诊,12)如图,AB∥CD,EF⊥BD,垂足为F,∠1=43°,则∠2的度数为 .
解析 ∵AB∥CD,∴∠D=∠1=43°.∵EF⊥BD,垂足为F,∴∠DFE=90°,∴∠2=180°-90°-43°=47°.
8.(2019云南昆明盘龙一模,2)如图,AB∥CD,EF⊥AB于E,EF交CD于F,已知∠1=58°12',则∠2= .
9.(2019甘肃定西一诊,16)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.
三、解答题(共28分)10.(2020陕西西安西北工大附中二模,18)如图,已知点A,D,C,B在同一直线上,AD=BC,DE∥CF,AE∥BF, 求证:AE=BF.
11.(2020湖北武汉武钢实验学校调考,18)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED 于点G、F,若BE=6,DC=8,DE=20,求FG.
解析 ∵ED∥BC,∴∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠FCB.∵∠GBC=∠GBE,∠FCB=∠FCD,∴∠EGB=∠EBG,∠DCF=∠DFC,∴BE=EG,CD=DF.∵BE=6,DC=8,DE=20,∴FG=DE-EG-DF=DE-BE-CD=20-6-8=6.
12.(2019湖北武汉硚口一模,18)如图,△ABC中,D、E、F三点分别在AB、AC、BC三边上,过点D的直线 与线段EF的交点为点H,∠1+∠2=180°,∠3=∠C,求证:DE∥BC. 证明 ∵∠1+∠DHE=180°,∠1+∠2=180°,∴∠DHE=∠2,∴DH∥AC,∴∠3=∠AED.又∵∠3=∠C,∴∠C=∠AED,∴DE∥BC.
13.(2018重庆江北质检,19)如图,已知EF∥GH,Rt△ABC的两个顶点A、B分别在直线GH、EF上,∠C=90 °,AC交EF于点D,若BD平分∠ABC,∠BAH=28°.求∠BAC的度数.
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