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2019年广西百色市中考数学试卷
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这是一份2019年广西百色市中考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择照，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年广西百色市中考数学试卷
一、选择照（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是（ ）
A．122° B．85° C．58° D．32
3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（3分）方程＝1的解是（ ）
A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A．四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（ ）
A．6048×102 B．6.048×105 C．6.048×106 D．0.6048×106
7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
8．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．﹣4＜x≤6 B．x≤﹣4或x＞2 C．﹣4＜x≤2 D．2≤x＜4
9．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是（ ）
A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定
B．两人成绩的众数相同
C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定
D．两人的平均成绩不相同
11．（3分）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
12．（3分）阅读理解：
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（ ）
A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）﹣16的相反数是 ．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是 ．
16．（3分）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是 ．
17．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 ．
18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°
20．（6分）求式子÷的值，其中m＝﹣2019．
21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式：
（2）求四边形OABC的周长．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号
一
二
三
四
五
人数
a
15
20
10
b
已知前面两个小组的人数之比是1：5．
解答下列问题：
（1）a+b＝ ．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]
26．（12分）已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．
2019年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择照（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【考点】K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
【解答】解：因为三角形的内角和等于180度，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．
2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是（ ）
A．122° B．85° C．58° D．32
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质进行解答便可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝58°，
∴∠2＝58°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一个基础题，关键是熟记定理．
3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为2、4、6、8、10、12，
所以这组数据的中位数为＝7，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（3分）方程＝1的解是（ ）
A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
【考点】B2：分式方程的解；B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；
【解答】解：＝1，
∴移项可得﹣1＝＝0，
∴x＝0，
经检验x＝0是方程的根，
∴方程的根是x＝0；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解法；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A．四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、俯视图是三角形，故此选项正确；
B、俯视图是圆，故此选项错误；
C、俯视图是圆，故此选项错误；
D、俯视图是圆，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（ ）
A．6048×102 B．6.048×105 C．6.048×106 D．0.6048×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字604800用科学记数法表示为6.048×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．﹣4＜x≤6 B．x≤﹣4或x＞2 C．﹣4＜x≤2 D．2≤x＜4
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式12﹣2x＜20，得：x＞﹣4，
解不等式3x﹣6≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是（ ）
A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定
B．两人成绩的众数相同
C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定
D．两人的平均成绩不相同
【考点】VD：折线统计图；W5：众数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据折线统计图得出两人成绩的波动幅度，结合众数、平均数和方差的定义逐一判断即可得．
【解答】解：A，由折线统计图知，小黄的成绩波动幅度小，成绩更稳定，此选项正确，C选项错误；
B．小韦成绩的众数为10环，小黄成绩的众数为9环，此选项错误；
D．小韦成绩的平均数为＝，小黄的平均成绩为＝，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了折线统计图，方差，平均数，弄清题意是解本题的关键．
11．（3分）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等两直线平行是真命题；
②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题；
故选：C．
【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
12．（3分）阅读理解：
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（ ）
A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9
【考点】D5：坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】根据中点坐标公式求得点B的坐标，然后代入a，b满足的等式．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，
∴m＝，n＝．
∴a＝2m+3，b＝2n．
又a，b满足等式：a2+b2＝9，
∴（2m+3）2+4n2＝9．
故选：D．
【点评】考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式，难度不大．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）﹣16的相反数是 16 ．
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：﹣16的相反数是16．
故答案为：16
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥108 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由在实数范围内有意义，得x﹣108≥0．
解得x≥108，
故答案是：x≥108．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用概率公式求解可得．
【解答】解：在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，
所以编号是偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
16．（3分）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是 57 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】根据数列中的已知数得出这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，据此求解可得．
【解答】解：由题意知，这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
当n＝21时，3n﹣6＝3×21﹣6＝57，
故答案为：57．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出数列的变化规律：每次增加3．
17．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 18 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换．菁优网版权所有
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ 30° ．
【考点】K4：三角形的稳定性；L1：多边形．菁优网版权所有
【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′D′的一半，据此可得∠A'为30°．
【解答】解：∵，
∴平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′D′的一半，
∴∠A'＝30°．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；
【解答】解：原式＝﹣1+3﹣1﹣2×＝1﹣2×3＝﹣5；
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的运算性质是解题的关键．
20．（6分）求式子÷的值，其中m＝﹣2019．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝（m+3），
当m＝2019时，
原式＝×（﹣2019+3）
＝×（﹣2016）
＝﹣1512．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式：
（2）求四边形OABC的周长．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据函数y＝（k≠0）的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线OB的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）依题意有：点C（1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝xy＝2，
∵A（3，0）
∴CB＝OA＝3，
又CB∥x轴，
∴B（4，2），
设直线OB的函数表达式为y＝ax，
∴2＝4a，
∴a＝，
∴直线OB的函数表达式为y＝x；
（2）作CD⊥OA于点D，
∵C（1，2），
∴OC＝，
在平行四边形OABC中，
CB＝OA＝3，AB＝OC＝，
∴四边形OABC的周长为：3+3+＝6+2，
即四边形OABC的周长为6+2．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号
一
二
三
四
五
人数
a
15
20
10
b
已知前面两个小组的人数之比是1：5．
解答下列问题：
（1）a+b＝ 5 ．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
【考点】VA：统计表；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意知a+b＝50﹣（15+20+10）＝5；
（2）a＝3，b＝50﹣（3+15+20+10）＝2，a+b＝5；
（3）一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P＝．
【解答】解：（1）由题意知a+b＝50﹣（15+20+10）＝5，
故答案为：5；
（2）∵a＝3，
∴b＝50﹣（3+15+20+10）＝2，
∴a+b＝5，
故答案为5；
（2）补全图形如下：
（3）由题意得a＝3，b＝2
设第一组3位同学分别为A1、A2、A3，设第五组2位同学分别为B1、B2，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P＝．
【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．
24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得：＝，
解得：a＝．
答：甲、丙两地相距千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意可得∠BOE＝∠AOC＝∠D，且∠A＝∠A，即可证△ACD∽△ABO；
（2）由切线的性质和勾股定理可求CD的长，由相似三角形的性质可求AE＝3，由平行线分线段成比例可得，即可求EF的值．
【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC
∴∠BOE＝∠AOC
∵OC＝OD
∴∠D＝∠OCD
∵∠AOC＝∠D+∠OCD
∴∠D＝∠AOC
∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABO
（2）∵EF切⊙O于E
∴∠OEF＝90°
∵EF∥OC
∴∠DOC＝∠OEF＝90°
∵OC＝OD＝3
∴CD＝＝3
∵△ACD∽△ABO
∴
∴
∴AE＝3
∵EF∥OC
∴
∴
∴EF＝6﹣3
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出AE的长是本题的关键．
26．（12分）已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据点M的坐标，利用待定系数法可求出m，b的值；
（2）由（1）可得出抛物线及直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出结论；
（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，由点P的坐标可得出PN，PO的长，再利用正弦的定义即可求出sin∠BOP的值．
【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，
∴m＝1；
将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，
∴b＝2．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．
设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20．
∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形，
∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，
整理，得：x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．
（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，如图所示．
当点P的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝＝，
∴sin∠BOP＝＝；
当点P的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2，
∴sin∠BOP＝＝．
∴满足（2）的条件时，sin∠BOP的值的值为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．
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日期：2019/8/5 10:22:42；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
2019年广西百色市中考数学试卷
一、选择照（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是（ ）
A．122° B．85° C．58° D．32
3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（3分）方程＝1的解是（ ）
A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A．四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（ ）
A．6048×102 B．6.048×105 C．6.048×106 D．0.6048×106
7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
8．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．﹣4＜x≤6 B．x≤﹣4或x＞2 C．﹣4＜x≤2 D．2≤x＜4
9．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是（ ）
A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定
B．两人成绩的众数相同
C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定
D．两人的平均成绩不相同
11．（3分）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
12．（3分）阅读理解：
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（ ）
A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）﹣16的相反数是 ．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是 ．
16．（3分）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是 ．
17．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 ．
18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°
20．（6分）求式子÷的值，其中m＝﹣2019．
21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式：
（2）求四边形OABC的周长．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号
一
二
三
四
五
人数
a
15
20
10
b
已知前面两个小组的人数之比是1：5．
解答下列问题：
（1）a+b＝ ．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]
26．（12分）已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．
2019年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择照（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．（3分）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【考点】K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
【解答】解：因为三角形的内角和等于180度，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．
2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是（ ）
A．122° B．85° C．58° D．32
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质进行解答便可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝58°，
∴∠2＝58°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一个基础题，关键是熟记定理．
3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为2、4、6、8、10、12，
所以这组数据的中位数为＝7，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（3分）方程＝1的解是（ ）
A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
【考点】B2：分式方程的解；B3：解分式方程．菁优网版权所有
【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；
【解答】解：＝1，
∴移项可得﹣1＝＝0，
∴x＝0，
经检验x＝0是方程的根，
∴方程的根是x＝0；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解法；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A．四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、俯视图是三角形，故此选项正确；
B、俯视图是圆，故此选项错误；
C、俯视图是圆，故此选项错误；
D、俯视图是圆，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．
6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（ ）
A．6048×102 B．6.048×105 C．6.048×106 D．0.6048×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字604800用科学记数法表示为6.048×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．﹣4＜x≤6 B．x≤﹣4或x＞2 C．﹣4＜x≤2 D．2≤x＜4
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式12﹣2x＜20，得：x＞﹣4，
解不等式3x﹣6≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是（ ）
A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定
B．两人成绩的众数相同
C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定
D．两人的平均成绩不相同
【考点】VD：折线统计图；W5：众数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据折线统计图得出两人成绩的波动幅度，结合众数、平均数和方差的定义逐一判断即可得．
【解答】解：A，由折线统计图知，小黄的成绩波动幅度小，成绩更稳定，此选项正确，C选项错误；
B．小韦成绩的众数为10环，小黄成绩的众数为9环，此选项错误；
D．小韦成绩的平均数为＝，小黄的平均成绩为＝，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了折线统计图，方差，平均数，弄清题意是解本题的关键．
11．（3分）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等两直线平行是真命题；
②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题；
故选：C．
【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
12．（3分）阅读理解：
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（ ）
A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9
【考点】D5：坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】根据中点坐标公式求得点B的坐标，然后代入a，b满足的等式．
【解答】解：∵点A（﹣3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，
∴m＝，n＝．
∴a＝2m+3，b＝2n．
又a，b满足等式：a2+b2＝9，
∴（2m+3）2+4n2＝9．
故选：D．
【点评】考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式，难度不大．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）﹣16的相反数是 16 ．
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：﹣16的相反数是16．
故答案为：16
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥108 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由在实数范围内有意义，得x﹣108≥0．
解得x≥108，
故答案是：x≥108．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用概率公式求解可得．
【解答】解：在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，
所以编号是偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
16．（3分）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是 57 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】根据数列中的已知数得出这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，据此求解可得．
【解答】解：由题意知，这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
当n＝21时，3n﹣6＝3×21﹣6＝57，
故答案为：57．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出数列的变化规律：每次增加3．
17．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为 18 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换．菁优网版权所有
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ 30° ．
【考点】K4：三角形的稳定性；L1：多边形．菁优网版权所有
【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′D′的一半，据此可得∠A'为30°．
【解答】解：∵，
∴平行四边形A'B'C'D'的底边A′D′边上的高等于A′D′的一半，
∴∠A'＝30°．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；
【解答】解：原式＝﹣1+3﹣1﹣2×＝1﹣2×3＝﹣5；
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的运算性质是解题的关键．
20．（6分）求式子÷的值，其中m＝﹣2019．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•
＝（m+3），
当m＝2019时，
原式＝×（﹣2019+3）
＝×（﹣2016）
＝﹣1512．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式：
（2）求四边形OABC的周长．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据函数y＝（k≠0）的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线OB的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）依题意有：点C（1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝xy＝2，
∵A（3，0）
∴CB＝OA＝3，
又CB∥x轴，
∴B（4，2），
设直线OB的函数表达式为y＝ax，
∴2＝4a，
∴a＝，
∴直线OB的函数表达式为y＝x；
（2）作CD⊥OA于点D，
∵C（1，2），
∴OC＝，
在平行四边形OABC中，
CB＝OA＝3，AB＝OC＝，
∴四边形OABC的周长为：3+3+＝6+2，
即四边形OABC的周长为6+2．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号
一
二
三
四
五
人数
a
15
20
10
b
已知前面两个小组的人数之比是1：5．
解答下列问题：
（1）a+b＝ 5 ．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
【考点】VA：统计表；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意知a+b＝50﹣（15+20+10）＝5；
（2）a＝3，b＝50﹣（3+15+20+10）＝2，a+b＝5；
（3）一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P＝．
【解答】解：（1）由题意知a+b＝50﹣（15+20+10）＝5，
故答案为：5；
（2）∵a＝3，
∴b＝50﹣（3+15+20+10）＝2，
∴a+b＝5，
故答案为5；
（2）补全图形如下：
（3）由题意得a＝3，b＝2
设第一组3位同学分别为A1、A2、A3，设第五组2位同学分别为B1、B2，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P＝．
【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．
24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得：＝，
解得：a＝．
答：甲、丙两地相距千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意可得∠BOE＝∠AOC＝∠D，且∠A＝∠A，即可证△ACD∽△ABO；
（2）由切线的性质和勾股定理可求CD的长，由相似三角形的性质可求AE＝3，由平行线分线段成比例可得，即可求EF的值．
【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC
∴∠BOE＝∠AOC
∵OC＝OD
∴∠D＝∠OCD
∵∠AOC＝∠D+∠OCD
∴∠D＝∠AOC
∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABO
（2）∵EF切⊙O于E
∴∠OEF＝90°
∵EF∥OC
∴∠DOC＝∠OEF＝90°
∵OC＝OD＝3
∴CD＝＝3
∵△ACD∽△ABO
∴
∴
∴AE＝3
∵EF∥OC
∴
∴
∴EF＝6﹣3
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出AE的长是本题的关键．
26．（12分）已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据点M的坐标，利用待定系数法可求出m，b的值；
（2）由（1）可得出抛物线及直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出结论；
（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，由点P的坐标可得出PN，PO的长，再利用正弦的定义即可求出sin∠BOP的值．
【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，
∴m＝1；
将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，
∴b＝2．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．
设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20．
∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形，
∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，
整理，得：x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．
（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，如图所示．
当点P的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝＝，
∴sin∠BOP＝＝；
当点P的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2，
∴sin∠BOP＝＝．
∴满足（2）的条件时，sin∠BOP的值的值为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．
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