华师大版八年级下册19.3 正方形精品学案

这是一份华师大版八年级下册19.3 正方形精品学案，共7页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

学习目标：1.探索并掌握正方形的性质，并了解正方形与矩形、菱形之间的联系.


2.会判定一个四边形是正方形.


3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.





自主学习


一、知识链接


填表：


二、新知预习


阅读教材P119~120，完成下列问题：


1.正方形的性质：（1）正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.


（2）四条边_________.


（3）四个角都是_________.


（4）对角线________且互相______________.


2.正方形的判定：


（1）矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？





由此得出______________的矩形是正方形.


（2）菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？


一个角是_____





由此得出______________的菱形是正方形.


（3）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：








合作探究


一、探究过程


探究点1：正方形的性质


例1 如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的大小．








【针对训练】1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )


A．45° B．55° C．60° D．75°





分析：观察发现∠BFC＝∠AFE，∠AFE在△AEF中，而∠CAD＝45°，∠DAE＝60°，AE与AB构成等腰三角形，所以可以求出∠AEF的度数，从而求出结果．(或求出∠ABF的度数，直接利用三角形的外角也可求出)





例2如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点，四边形ABCD是正方形．


（1）求证：△ABE≌△CBF；


（2）CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．

















【针对训练】2.如图，以正方形的中心O为顶点作一个直角，直角的两边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，问：


（1）△BOE与△COF有什么关系？证明你的结论；


（2）若正方形的边长为2，四边形EOFC的面积为多少？











探究点2：正方形的判定


做一做：用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形．对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．那么如何判断一个四边形是正方形呢？





【要点归纳】正方形的判定方法：1.有一个角是直角的菱形是正方形．2.有一组邻边相等的矩形是正方形．


例3已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于点Q、点P．求证：四边形PQMN是正方形．





分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM＝DN，用同样的方法证AN＝DP.即可证出MN＝NP.从而得出结论．





二、课堂小结


当堂检测


1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）


A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分


C.对角线平分一组对角 D.对角线相等


2.一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是 （ ）


A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2


3.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是________.





第3题图 第4题图


4.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形ABCD是正方形．


5.如图6，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F. 求证：BF=CE.





参考答案


自主学习


一、知识链接


二、新知预习


1. (2) 都相等 （3）直角 （4）相等 垂直平分


2.（1）一组邻边相等 （2）一个角是直角


合作探究


一、探究过程


探究点1：


例1 解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，


∴∠ABD＝eq \f(1,2)×90°＝45°，∠DAC＝45°. ∠DOC＝90°.


【针对训练】1. C


例2 证明：（1）∵等腰直角△EBF，∴BE=BF，∠EBF=90°.在正方形ABCD中，BA=BC，∠ABC=90°，


∴∠ABE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°，∴∠ABE=∠CBF. 在△ABE和△CBF中，


∴△ABE≌△CBF（SAS）.


（2）CF⊥AE，理由：延长CF交AB于H，交AE于G.


∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF.∵∠BCF+∠BHC=90°，∴∠BAE+∠AHG=90°.


∴∠AGH=90°，即CF⊥AE．





【针对训练】2.解：（1）△BOE≌△COF，


理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，OB⊥OC，∠OBC=∠OCD=45°．∵∠EOF=90°，


∴∠BOE=90°-∠EOC=∠COF，且∠OBE=∠OCF.∴△BOE≌△COF（ASA）.


（2）由（1）知：四边形EOFC的面积=S△BOC=S 正方形ABCD=×4=1．


探究点2：


例3 证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM＝∠QMN=90°.


∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．


∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD.


∴∠1＋∠2＝90°.又∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.


又∠AMB＝∠DNA=90°，∴△ABM≌△DAN(AAS).∴AM＝DN.


同理，△CDP≌△DAN(AAS)，∴AN＝DP.∴AM＋AN＝DN＋DP，即MN＝PN.


∴四边形PQMN是正方形．


当堂检测


1. D 2. A 3. 22.5° 4. AB=BC


5. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB=BC，∠DAF=∠B=90°.∴∠DAG+∠EAB=90°.


∵DG⊥AE，∴∠DAG+∠FDA=90°.∴∠FDA=∠EAB.∴△DAF≌△ABE(ASA).∴AF=BE.


∴AB-AF=BC-BE，即BF=CE.

















性质
判定方法
矩形
边：


角：


对角线：


对称性：
1.


2.


3.
菱形
边：


角：


对角线：


对称性：
1.


2.


3.
内 容
正方形的性质
四条边都相等


四个角都是直角


3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的判定
1.有一个角是直角的菱形是正方形．


2.有一组邻边相等的矩形是正方形．
性质
判定方法
矩形
边：对边相等


角：四个角都是直角


对角线：相等且互相平分


对称性：轴对称，中心对称
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.


2.有三个角是直角的四边形是矩形.


3.对角线相等的平行四边形是矩形.
菱形
边：四边都相等


角：对角相等


对角线：互相垂直平分


对称性：轴对称，中心对称
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.


2.四条边都相等的四边形是菱形.


3.对角线互相垂直的四边形是菱形.