2021年中考数学专题复习 专题50 中考数学新定义型试题解法（教师版含解析）

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专题50 中考数学新定义型试题解法

1.新定义问题
所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．
2.新定义问题类型
主要包括以下几种类型：
(1)概念的“新定义”；
(2)运算的“新定义”；
(3)规则的“新定义”；
(4)实验操作的“新定义”；
(5)几何图形的新定义．
3.新定义问题解题策略
“新定义型专题”关键要把握两点：
一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；
二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。

【例题1】(2020•河南)定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×(﹣1)＝5＞0，
【对点练习】定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．
(1)如果[a]=-2，那么a的取值范围是 -2≤a＜-1
．
(2)如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．
【答案】(1)-2≤a＜-1(2)5，6．
【解析】运算新定义问题。
(1)∵[a]=-2，
∴a的取值范围是-2≤a＜-1；
故答案为：-2≤a＜-1．
(2)根据题意得：
3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
【例题2】(2021广东深圳模拟)定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是( )
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意得y＝3※x＝
当x≥3时，y＝2；
当x＜3且x≠0时，y＝− ,
图象如图：

【对点练习】(2020甘肃兰州模拟)通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°= .
(2)对于0° (3)如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值.
A
A
B
C
C
B
图①
图②

【答案】见解析。
【解析】(1)根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°==1．故答案为1．
(2)当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
(3)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取点D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，
AH==k．
则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正对的定义可得：sadA==，即sadα=．
【例题3】(2020•咸宁)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
(1)若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　 　；
证明：
(2)如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
(3)如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

【答案】见解析。
【分析】(1)对余四边形的定义即可得出结果；
(2)由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论；
(3)对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果．
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：90°或270°；
(2)证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
(3)解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．


【对点练习】(2020广东佛山模拟)阅读材料
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；
比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形；

我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；
请解决以下问题：
如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)；
(2)写出筝形的两个判定方法(定义除外)，并选出一个进行证明．

【答案】见解析。
【解析】本题主要考查了根据题意及图示判断筝形的定义及性质，然后根据题目要求依次进行解答，难度适中．
(1)性质1：只有一组对角相等，
性质2：只有一条对角线平分对角；
(2)判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形，判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形，
证明方法1：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，CB=CD，①
易知AC⊥BD，
又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠CBA，AB≠BC，②
由①②知四边形ABCD是筝形．

一、选择题
1.(2019•湖南岳阳•)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如
果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1.x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(　　)
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
【答案】B．
【解析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1.x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
则．
解得c＜﹣2。
二、填空题
2.(2020山东枣庄模拟)定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2009＝ 　．
【答案】3/4
【解析】这是概念的“新定义”型问题。理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
根据差倒数定义可得：，

．
显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a2009和a2的值相等．
【点拨】此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．
3.(2020毕节地区)对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，
如：，那么6*(5*4)=　 　．
【答案】1
【解析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*(5*4)的值即可求出结果．
∵，
∴5*4==3，
∴6*(5*4)=6*3，
=，
=1．
【点拨】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
4.(2020重庆江津区)我们定义，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是　 　．
【答案】3或者-3
【解析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．
由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，
∴，
∵x、y均为整数，∴xy为整数，
∴xy=2，
∴x=±1时，y=±2；
x=±2时，y=±1；
∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．
【点拨】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．
5．(2021浙江台州模拟)定义一种新运算：a※b＝，则2※3﹣4※3的值______．
【答案】8
【解析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算顺序和运算法则．
2※3﹣4※3
＝3×3﹣(4﹣3)
＝9﹣1
＝8
6．(2021湖北随州模拟)对于定义一种新运算“☆”，，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为____．
【答案】-11
【解析】根据题中的新定义得：，
解得：，
所以；
7．(2021山东乐陵模拟)对于、定义一种新运算“*”：，其中、为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．已知：，，那么_______．
【答案】24
【解析】根据题中的新定义得：，
①﹣②得：，
解得：，
把代入①得：，则方程组的解为．
．
8.(2019•湖北十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：
a◎b＝(a+b)2﹣(a﹣b)2．若(m+2)◎(m﹣3)＝24，则m＝　 　．
【答案】﹣3或4．
【解答】解：根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2＝24，
(2m﹣1)2﹣49＝0，
(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
9.定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则(4*2)*(﹣1)=　　．
【答案】0．
【解析】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算。是创新题。
先根据新定义计算出4*2=2，然后再根据新定义计算2*(﹣1)即可．
4*2==2，
2*(﹣1)==0．
故(4*2)*(﹣1)=0．
10．(2019湖南常德)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，﹣1)，P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　　．(填序号)
【答案】①④
【解析】①根据广义菱形定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点P(m，m2)，则Q(m，﹣1)，
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确。
11．阅读材料：设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，如果∥，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知＝(4，3)，＝(8，m)，且∥，则m＝　 　．
【答案】6
【解析】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键．
根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；
∵＝(4，3)，＝(8，m)，且∥，
∴4m＝3×8，
∴m＝6
三、解答题
12．(2021河北石家庄模拟)定义新运算：对于任意实数，、，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
(1)求，求的值；
(2)若的值小于10，请判断方程：的根的情况．
【答案】(1)1或-5；(2)有两个不相等的实数根
【解析】本题是对定义新运算的考查，准确根据题意列出算式和掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键.
(1)x⊕(﹣4)＝6


；
∴x的值为1或-5.
(2)3⊕a＜10，
3(3﹣a)+1＜10
10﹣3a＜10
a＞0，
∵
，
所以该方程有两个不相等的实数根.
13．(2020•遂宁)阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1、b1、c1是常数)与y＝a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2、b2、c2是常数)满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
(1)写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
(2)若函数y＝5x2+(m﹣1)x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求(m+n)2020的值．
(3)已知函数y＝2(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”．
【答案】见解析。
【分析】(1)由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
(2)由函数y＝5x2+(m﹣1)x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入(m+n)2020即可求出结论；
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”．
【解析】(1)由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
(2)∵y＝5x2+(m﹣1)x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴m-1=-nn-3=0，
解得：m=-2n=3，
∴(m+n)2020＝(﹣2+3)2020＝1．
(3)证明：当x＝0时，y＝2(x﹣1)(x+3))＝﹣6，
∴点C的坐标为(0，﹣6)．
当y＝0时，2(x﹣1)(x+3)＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(﹣3，0)．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1(﹣1，0)，B1(3，0)，C1(0，6)．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，
将C1(0，6)代入y＝a(x+1)(x﹣3)，得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2(x﹣1)(x+3)＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+(﹣2)＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+(﹣6)＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”．
14.(2020年浙江宁波)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
(3)如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

【答案】(1)∠E＝α；(2)见解析；(3)①∠AED＝45°；②
【解析】(1)由角平分线的定义可得出结论；
(2)由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
(3)①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA(AAS)，由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝(∠ACD﹣∠ABC)＝α，
(2)如图1，延长BC到点T，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
(3)①如图2，连接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA(AAS)，
∴DE＝DA，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，[来源:Z#xx#k.Com]

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，[来源:Z|xx|k.Com]
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AG＝，
Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2+52＝(5x)2，
∴x＝，[来源:学_科_网]
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．(2020•连云港)在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线L2经过点(2，﹣12)，求L2对应的函数表达式；
(2)当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．

【答案】见解析。
【分析】(1)由题意设抛物线L2的解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，利用待定系数法求出a即可解决问题．
(2)由题意BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x=32的交点．
(3)由题意，顶点D(32，-258)，∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时．②当△DPQ∽△ABC时，分别求解即可解决问题．
【解析】(1)当y＝0时，12x2-32x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，2)，
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，
把(2，﹣12)代入y＝a(x+1)(x﹣4)，
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2(x+1)(x﹣4)＝2x2﹣6x﹣8．
(2)∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x=32，
∴点P在直线x=32上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x=32的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P(32，﹣5)

(3)由题意，AB＝5，CB＝25，CA=5，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵y=12x2-32x﹣2=12(x-32)2-258，
∴顶点D(32，-258)，
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，QPDP=ACBC=12，

设Q(x，12x2-32x﹣2)，则P(32，12x2-32x﹣2)，
∴DP=12x2-32x﹣2﹣(-258)=12x2-32x+98，QP＝x-32，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3=12x2-32x+98，解得x=112或32(舍弃)，
∴P(32，398)．
②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得QO＝2PD，

x-32=x2﹣3x+94，
解得x=52或32(舍弃)，
∴P(32，-218)．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，PQDQ=ACBC=12，

过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴QMMD=PQDQ=12，由图3﹣1可知，M(32，398)，Q(112，398)，
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝45，
由DQDM=PDDQ，可得PD＝10，
∵D(32，-258)
∴P(32，558)．
②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．

同法可得M(32，-218)，Q(52，-218)，
∴DM=12，QM＝1，QD=52，
由QDDM=PDDQ，可得PD=52，
∴P(32，-58)．
16. (2019重庆)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.
例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位.
(1)请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
(2)求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.
【答案】见解析。
【解析】(1)显然1949至1999都不是“纯数”因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位.
在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义.
所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012.
(2)不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，二位不超过3时，才符合“纯数”的定义.
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100.共13个.
17．(2019湖北咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
(1)如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

【答案】见解析。
【解析】(1)由圆内接四边形互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
(2)过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根据角平分线的判定可得出结论；
(3)连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
(2)AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；
(3)如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
由(2)知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴，
即，
∴DF＝5﹣5．

18.如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

【答案】见解析。
【解析】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.
∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，
∴，即.
∴.∴点B的反演点B′与点B重合.
如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，





∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形.
∵，∴B′M⊥OM.
∴在中，由勾股定理得.
19．(2019江苏常熟)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
(1)写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　 　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【答案】见解析。
【解析】(1)①半径为1的圆的宽距离为1，
故答案为1．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝＝＝
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+，
∴这个“窗户形“的宽距为1+．
故答案为1+．
(2)①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．


②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，
∴当d＝5时．AM＝4，
∴AT＝＝2，此时M(2﹣1，2)，
当d＝8时．AM＝7，
∴AT＝＝2，此时M(2﹣1，2)，
∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．
20．(2020湖北随州模拟)
在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C．
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析。
【解析】(1)，(－2，2)，(1，0)．
(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C(－3，0)．过点A作AG⊥y轴，垂足为点G．
当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形．
设N(0，n)，∵A(－2，2),C(－3,0)，∴AC＝，∴AN＝AC＝，
在Rt△AGN中，AG2＋GN2＝AN2，又AG＝2，GN＝|n－2|，
∴4＋(n－2)2＝13，解得n＝2－3或n＝2＋3，
设M(m，0),
当n＝2－3时，在Rt△MNO中，(2－3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2－2；
当n＝2＋3时，在Rt△MNO中，(2＋3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2＋2；
又－3＜m≤1，∴m＝2＋2不合题意，舍去．∴m＝2－2，此时n＝2－3，
∴N(0，2－3)．
当点M在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
此时M与O重合，在Rt△AGM中，AG＝2，GM＝2，
∴tan∠AMG＝ ＝，∴∠AMG＝30°，
∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°，
过点N作NP⊥x轴于P，在Rt△NMP中，MN＝CM＝3，
∴NP＝，OP＝，∴N(，)．
综上所述，点N的坐标为(0，2－3)或(，)．

(3)E1(－1，－)，F1(0，)；E2(－1，－)，F2(－4，)．
【点拨】(1)∵a＝，∴“梦想直线”的解析式为；由解得从而得到A(－2，2)，B(1，0)；(2)∵△AMN为梦想三角形，而点A(－2，2)，分两种情况：①点M在y轴上，②点N在y轴上；(3)分两种情况：①AC为边，②AC为对角线．
21．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
(1)已知点A的坐标为(1，0)，
①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
(2)⊙O的半径为，点M的坐标为(m，3)，若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

【答案】见解析。
【解析】(1)①∵A(1，0)，B(3，1)
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n
把(1，0)分别y=x+m，
∴m=﹣1，
∴直线AC的解析为：y=x﹣1，
把(1，0)代入y=﹣x+n，
∴n=1，
∴y=﹣x+1，
综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；
(2)设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵点M，N的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，
∴k=±1，
∵点N在⊙O上，
∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，
当k=1时，
作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，
其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，
连接OA，OC，
把M(m，3)代入y=x+b，∴b=3﹣m，
∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D(0，2)
同理可得：B(0，﹣2)，
∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，
当k=﹣1时，把M(m，3)代入y=﹣x+b，∴b=3+m，
∴直线MN的解析式为：y=﹣x+3+m，
同理可得：﹣2≤3+m≤2，
∴﹣5≤m≤﹣1；
综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．