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2021年中考数学专题复习 专题32 中考几何平移类问题（教师版含解析）
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这是一份2021年中考数学专题复习 专题32 中考几何平移类问题（教师版含解析），共26页。教案主要包含了对点练习等内容，欢迎下载使用。
1.平移的定义：平面图形的每个点沿着某一方向移动相同的距离，这样的图形运动称为平移.平移是由移动的方向和移动的距离所决定.平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
2.平移的特点：经平移运动后的图形图形的位置发生变化, 形状和大小不变.
3.理解并掌握平移的三个特征：
(1)对应线段平行(或在一条直线上)且相等；对应角相等.
(2)对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等.
(3)图形在平移后形状和大小都不变.
4.图形平移的画法：
(1)确定点；(2)定方向；(3)定距离。
【例题1】(2020•广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(﹣3，2)B．(﹣2，3)C．(2，﹣3)D．(3，﹣2)
【答案】D
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(3，﹣2)．
【对点练习】(2019湖南邵阳)一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是( )
A．k1=k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x=5时，y1＞y2
【答案】B
【解析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．
∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴直线l1∥直线l2，
∴k1＝k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴b1＞b2，
∴当x＝5时，y1＞y2
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【例题2】(2019桂林)如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝(k＞0)的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为(3，5)．若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则m的值为 ．
【答案】；
【解析】∵AB＝AC＝，BC＝4，点A(3，5)．
∴B(1，)，C(5，)，
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A(3，5﹣m)，C(5，﹣m)，
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴3(5﹣m)＝5(﹣m)，
∴m＝
【对点练习】(2020枣庄模拟)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位．
【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示：C1(2，﹣2)；
故答案为：(2，﹣2)；
(2)如图所示：C2(1，0)；
故答案为：(1，0)；
(3)∵A2C22=20，B2C22=20，A2B2=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．
故答案为：10．
【点拨】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键。
【例题3】(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A(1，2)代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1，2)结合图象即可求得．
【解析】(1)∵一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点(1，2)代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
(2)把点(1，2)代入y＝mx求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
一、选择题
1．(2020•菏泽)在平面直角坐标系中，将点P(﹣3，2)向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为( )
A．(0，﹣2)B．(0，2)C．(﹣6，2)D．(﹣6，﹣2)
【答案】A
【解析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
∵将点P(﹣3，2)向右平移3个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是(0，2)，
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是(0，﹣2)．
2.(2019哈尔滨)将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线
为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为
y＝2(x﹣2)2+3
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．(2019海南)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，﹣1)，平移线段AB，使点A落在点A1(﹣2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为( )
A．(﹣1，﹣1)B．(1，0)C．(﹣1，0)D．(3，0)
【答案】C．
【解析】由点A(2，1)平移后A1(﹣2，2)可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，
∴点B的对应点B1的坐标(﹣1，0)．
4．(2019广西梧州)直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是( )
A．y＝3x+3B．y＝3x﹣2C．y＝3x+2D．y＝3x﹣1
【答案】D．
【解析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
5．(2019广西百色)抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的( )
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
因为y＝x2+6x+7＝(x+3)2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
【点拨】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．(2020济南模拟)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为( )
A．(4，3)B．(2，4)C．(3，1)D．(2，5)
【答案】D
【解析】根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
由坐标系可得A(﹣2，6)，将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为(﹣2+4，6﹣1)，
即(2，5)，
【点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式
为( )
A．y=(x﹣1)2+4B．y=(x﹣4)2+4C．y=(x+2)2+6D．y=(x﹣4)2+6
【答案】B
【解析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=(x﹣1)2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x﹣4)2+4
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
8．(2020咸宁模拟)如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )
【答案】B
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
9.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为( )
A．48B．96C．84D．42
【答案】A．
【解析】考点是平移的性质。根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=(AB+OE)•BE=(10+6)×6=48．
10.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )
A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长
【答案】D．
【解析】考点是生活中的平移现象。分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
二、填空题
11．(2020•武威)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，3)，(4，0)．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6，3)，则点E的坐标为 ．
【答案】(7，0)．
【解析】利用平移的性质解决问题即可．
∵A(3，3)，D(6，3)，
∴点A向右平移3个单位得到D，
∵B(4，0)，
∴点B向右平移3个单位得到E(7，0)。
12．(2020枣庄模拟)如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ．
【答案】(﹣1，2)．
【解析】∵直线y=2x+4与y轴交于B点，
∴x=0时，
得y=4，
∴B(0，4)．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣1．
故答案为：(﹣1，2)．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键
13．(2020咸宁模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为 ．
【答案】8
【解析】由题意可知，点A移动到点A′位置时，纵坐标不变，
∴点A′的纵坐标为6，
﹣x=6，解得x=﹣8，
∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了8个单位，
∴点B与其对应点B′间的距离为8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形OAB移动的距离是解题的关键．
14．(2020岳阳模拟)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1，则b2=4a．
【答案】③④．
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0，
∴b＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确；
∵，c=﹣1，
∴b2=4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故答案为：③④．
【点拨】(1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
(2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于(0，c)．
15.如图所示，一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯________米．
【答案】3.8
【解析】根据楼梯高为1m，楼梯的宽的和即为2.8m的长，再把高和宽的长相加即可．
根据平移可得至少要买这种地毯1＋2.8＝3.8(米)
16.如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是________cm．
【答案】98
【解析】首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加FG ．
这个垫片的周长：20×4＋9×2＝98(cm)．
17．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是_____．
【答案】线段BE的长度．
【解析】观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，
∴平移距离就是线段BE的长度．
18．(2019江苏徐州)已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
【答案】y＝(x﹣4)2．
【解析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
设原来的抛物线解析式为：y＝ax2(a≠0)．
把P(2，2)代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝(x﹣b)2．
把P(2，2)代入，得2＝(2﹣b)2．
解得b＝0(舍去)或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝(x﹣4)2．
三、解答题
19．(2020•安顺)如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标；
(3)直接写出一个一次函数，使其过点(0，5)，且与反比例函数y=kx的图象没有公共点．
【分析】(1)将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为(2，3)，将(2，3)代入反比例函数表达式，即可求解；
(2)一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
(3)设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，即可求解．
【解析】(1)将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为(2，3)，
将(2，3)代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y=6x①；
(2)一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x=-2y=-3或x=3y=2，
故交点坐标为(﹣2，﹣3)或(3，2)；
(3)设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，
故可以取k＝﹣2(答案不唯一)，
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5(答案不唯一)．
20．(2020齐齐哈尔模拟)如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
(3)求△CC1C2的面积．
【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示：
；
(2)如图所示：
；
(3)如图所示：
△CC1C2的面积为×3×6=9．
【点拨】本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力．
21.(2020浙江宁波模拟)已知抛物线，其中是常数
(1)求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线，
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵，
∴由得.
∵，∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点.
(2)①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，解得.
∴抛物线的函数解析式为.
②∵.
∴该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点.
22.如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
【答案】240m2
【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案．
平移使路变直，路是长20m宽2m的矩形，
绿地的面积20×14－20×2＝240(m2)
23．如图所示，将△ABC平移，可以得到△DEF，点B的对应点为点E，请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置，并作出△DEF．
【答案】见解析。
【解析】连接BE，过A、C分别做BE的平行线，并且在平行线上截取CF=AD=BE，连接ED，EF，DF，得到的△DEF即为平移后的新图形．如图
24．如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长?
【答案】16．
【解析】∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
25．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．求证：BE=DG
【答案】见解析。
【解析】根据平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE=DG
26.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1，3)，B(﹣4，0)，C(0，0)。画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1。
【答案】见解析。
【解析】由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1 ， 则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1。
27.如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
【答案】这块草地的绿地面积是240m2 ．
【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案．
平移使路变直，路是长20m、宽2m的矩形，
绿地的面积20×14－20×2＝240(m2)
28．(2019宁夏)将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象(如图2所示)与m轴相交于点P(，0)，与s轴相交于点Q．
(1)试确定三角板ABC的面积；
(2)求平移前AB边所在直线的解析式；
(3)求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵与m轴相交于点P(，0)，
∴OB＝，
∵∠ABC＝30°，
∴OA＝1，
∴S＝＝；
(2)∵B(0，)，A(1，0)，
设AB的解析式y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+；
(3)在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝(﹣m)＝1﹣m，
∴s＝×(﹣m)×(1﹣m)＝﹣m+，(0≤m≤)
当m＝0时，s＝，
∴Q(0，)．
29．(2019江苏淮安)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
(3)连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．
【答案】见解析。
【解析】(1)根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可；
(3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
解：(1)线段A1B1如图所示；
(2)线段A1B2如图所示；
(3)S＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6．
A．
1：2
B．
1：4
C．
1：5
D．
1：6
1.平移的定义：平面图形的每个点沿着某一方向移动相同的距离，这样的图形运动称为平移.平移是由移动的方向和移动的距离所决定.平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
2.平移的特点：经平移运动后的图形图形的位置发生变化, 形状和大小不变.
3.理解并掌握平移的三个特征：
(1)对应线段平行(或在一条直线上)且相等；对应角相等.
(2)对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等.
(3)图形在平移后形状和大小都不变.
4.图形平移的画法：
(1)确定点；(2)定方向；(3)定距离。
【例题1】(2020•广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(﹣3，2)B．(﹣2，3)C．(2，﹣3)D．(3，﹣2)
【答案】D
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(3，﹣2)．
【对点练习】(2019湖南邵阳)一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是( )
A．k1=k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x=5时，y1＞y2
【答案】B
【解析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．
∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴直线l1∥直线l2，
∴k1＝k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴b1＞b2，
∴当x＝5时，y1＞y2
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【例题2】(2019桂林)如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝(k＞0)的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为(3，5)．若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则m的值为 ．
【答案】；
【解析】∵AB＝AC＝，BC＝4，点A(3，5)．
∴B(1，)，C(5，)，
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A(3，5﹣m)，C(5，﹣m)，
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴3(5﹣m)＝5(﹣m)，
∴m＝
【对点练习】(2020枣庄模拟)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位．
【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示：C1(2，﹣2)；
故答案为：(2，﹣2)；
(2)如图所示：C2(1，0)；
故答案为：(1，0)；
(3)∵A2C22=20，B2C22=20，A2B2=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．
故答案为：10．
【点拨】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键。
【例题3】(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A(1，2)代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1，2)结合图象即可求得．
【解析】(1)∵一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点(1，2)代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
(2)把点(1，2)代入y＝mx求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
一、选择题
1．(2020•菏泽)在平面直角坐标系中，将点P(﹣3，2)向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为( )
A．(0，﹣2)B．(0，2)C．(﹣6，2)D．(﹣6，﹣2)
【答案】A
【解析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
∵将点P(﹣3，2)向右平移3个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是(0，2)，
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是(0，﹣2)．
2.(2019哈尔滨)将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线
为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为
y＝2(x﹣2)2+3
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．(2019海南)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，﹣1)，平移线段AB，使点A落在点A1(﹣2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为( )
A．(﹣1，﹣1)B．(1，0)C．(﹣1，0)D．(3，0)
【答案】C．
【解析】由点A(2，1)平移后A1(﹣2，2)可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，
∴点B的对应点B1的坐标(﹣1，0)．
4．(2019广西梧州)直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是( )
A．y＝3x+3B．y＝3x﹣2C．y＝3x+2D．y＝3x﹣1
【答案】D．
【解析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
5．(2019广西百色)抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的( )
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
因为y＝x2+6x+7＝(x+3)2﹣2．
所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．
【点拨】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．(2020济南模拟)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为( )
A．(4，3)B．(2，4)C．(3，1)D．(2，5)
【答案】D
【解析】根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
由坐标系可得A(﹣2，6)，将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为(﹣2+4，6﹣1)，
即(2，5)，
【点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式
为( )
A．y=(x﹣1)2+4B．y=(x﹣4)2+4C．y=(x+2)2+6D．y=(x﹣4)2+6
【答案】B
【解析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=(x﹣1)2+2．
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x﹣4)2+4
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
8．(2020咸宁模拟)如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )
【答案】B
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
9.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为( )
A．48B．96C．84D．42
【答案】A．
【解析】考点是平移的性质。根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=(AB+OE)•BE=(10+6)×6=48．
10.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )
A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长
【答案】D．
【解析】考点是生活中的平移现象。分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
二、填空题
11．(2020•武威)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，3)，(4，0)．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6，3)，则点E的坐标为 ．
【答案】(7，0)．
【解析】利用平移的性质解决问题即可．
∵A(3，3)，D(6，3)，
∴点A向右平移3个单位得到D，
∵B(4，0)，
∴点B向右平移3个单位得到E(7，0)。
12．(2020枣庄模拟)如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为 ．
【答案】(﹣1，2)．
【解析】∵直线y=2x+4与y轴交于B点，
∴x=0时，
得y=4，
∴B(0，4)．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣1．
故答案为：(﹣1，2)．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键
13．(2020咸宁模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为 ．
【答案】8
【解析】由题意可知，点A移动到点A′位置时，纵坐标不变，
∴点A′的纵坐标为6，
﹣x=6，解得x=﹣8，
∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了8个单位，
∴点B与其对应点B′间的距离为8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形OAB移动的距离是解题的关键．
14．(2020岳阳模拟)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1，则b2=4a．
【答案】③④．
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0，
∴b＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确；
∵，c=﹣1，
∴b2=4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故答案为：③④．
【点拨】(1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
(2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于(0，c)．
15.如图所示，一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯________米．
【答案】3.8
【解析】根据楼梯高为1m，楼梯的宽的和即为2.8m的长，再把高和宽的长相加即可．
根据平移可得至少要买这种地毯1＋2.8＝3.8(米)
16.如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是________cm．
【答案】98
【解析】首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加FG ．
这个垫片的周长：20×4＋9×2＝98(cm)．
17．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是_____．
【答案】线段BE的长度．
【解析】观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，
∴平移距离就是线段BE的长度．
18．(2019江苏徐州)已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
【答案】y＝(x﹣4)2．
【解析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
设原来的抛物线解析式为：y＝ax2(a≠0)．
把P(2，2)代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝(x﹣b)2．
把P(2，2)代入，得2＝(2﹣b)2．
解得b＝0(舍去)或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝(x﹣4)2．
三、解答题
19．(2020•安顺)如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标；
(3)直接写出一个一次函数，使其过点(0，5)，且与反比例函数y=kx的图象没有公共点．
【分析】(1)将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为(2，3)，将(2，3)代入反比例函数表达式，即可求解；
(2)一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，联立①②即可求解；
(3)设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，则△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，即可求解．
【解析】(1)将x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为(2，3)，
将(2，3)代入反比例函数表达式并解得：k＝2×3＝6，
故反比例函数表达式为：y=6x①；
(2)一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位得到y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x=-2y=-3或x=3y=2，
故交点坐标为(﹣2，﹣3)或(3，2)；
(3)设一次函数的表达式为：y＝kx+5③，
联立①③并整理得：kx2+5x﹣6﹣0，
∵两个函数没有公共点，故△＝25+24k＜0，解得：k＜-2524，
故可以取k＝﹣2(答案不唯一)，
故一次函数表达式为：y＝﹣2x+5(答案不唯一)．
20．(2020齐齐哈尔模拟)如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
(3)求△CC1C2的面积．
【答案】见解析。
【解析】(1)如图所示：
；
(2)如图所示：
；
(3)如图所示：
△CC1C2的面积为×3×6=9．
【点拨】本题考查了平移的性质，位似的性质，三角形的面积公式的应用，能根据性质的特点进行画图是解此题的关键，考查了学生的动手操作能力．
21.(2020浙江宁波模拟)已知抛物线，其中是常数
(1)求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线，
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵，
∴由得.
∵，∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点.
(2)①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，解得.
∴抛物线的函数解析式为.
②∵.
∴该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点.
22.如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
【答案】240m2
【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案．
平移使路变直，路是长20m宽2m的矩形，
绿地的面积20×14－20×2＝240(m2)
23．如图所示，将△ABC平移，可以得到△DEF，点B的对应点为点E，请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置，并作出△DEF．
【答案】见解析。
【解析】连接BE，过A、C分别做BE的平行线，并且在平行线上截取CF=AD=BE，连接ED，EF，DF，得到的△DEF即为平移后的新图形．如图
24．如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长?
【答案】16．
【解析】∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
25．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．求证：BE=DG
【答案】见解析。
【解析】根据平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE=DG
26.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1，3)，B(﹣4，0)，C(0，0)。画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1。
【答案】见解析。
【解析】由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1 ， 则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1。
27.如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
【答案】这块草地的绿地面积是240m2 ．
【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案．
平移使路变直，路是长20m、宽2m的矩形，
绿地的面积20×14－20×2＝240(m2)
28．(2019宁夏)将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象(如图2所示)与m轴相交于点P(，0)，与s轴相交于点Q．
(1)试确定三角板ABC的面积；
(2)求平移前AB边所在直线的解析式；
(3)求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵与m轴相交于点P(，0)，
∴OB＝，
∵∠ABC＝30°，
∴OA＝1，
∴S＝＝；
(2)∵B(0，)，A(1，0)，
设AB的解析式y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+；
(3)在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝(﹣m)＝1﹣m，
∴s＝×(﹣m)×(1﹣m)＝﹣m+，(0≤m≤)
当m＝0时，s＝，
∴Q(0，)．
29．(2019江苏淮安)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
(3)连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．
【答案】见解析。
【解析】(1)根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可；
(3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
解：(1)线段A1B1如图所示；
(2)线段A1B2如图所示；
(3)S＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6．
A．
1：2
B．
1：4
C．
1：5
D．
1：6
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