还剩41页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版九年级下册数学全套同步练习
成套系列资料，整套一键下载
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测4附答案
展开
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测4附答案
一．选择题（共10小题）
1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．
B．
C．
D．
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．
1：4
B．
1：3
C．
2：3
D．
1：2
9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（ ）
A．
5
B．
C．
D．
10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）
A．
①②⑤
B．
②③④
C．
③④⑤
D．
①④⑤
二．填空题（共10小题）
11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 _________ ．（填出一个正确的即可）
12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为 _________ cm．
13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= _________ ．
14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 _________ ．
15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= _________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 _________ cm2．
16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是 _________ （写出所有正确结论的序号）．
17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 _________ 条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= _________ 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；
②点F是GE的中点；
③AF=AB；
④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 _________ ．
19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= _________ ．（用含n的式子表示）
20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10
（1）求⊙O的半径．
（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）求弦EC的长．
28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
参考答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773
分析：
判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
解答：
解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选D．
点评：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．
2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：
由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE=AF：CD，
∵AE=2ED，CD=3cm，
∴AF=2CD=6cm．
故选B．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．
解答：
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴=，=，=，=，
∵AB=AC，
∴CD=CE，
解得：CD=CE=，DE=，EF=．
故选C．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．
4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．4387773
专题：
压轴题．
分析：
求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；
解答：
解：设正方形的ABCD的边长为a，
则BF=BC=，AN=NM=MC=a，
∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，
∴小鸟在花圃上的概率为=
故选C．
点评：
本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．4387773
分析：
根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．
解答：
解：设AE=x，则AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴=，即=，
解得：x=5．
故选B．
点评：
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．
6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴DE：AB=2：5，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故选B．
点评：
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．4387773
专题：
压轴题．
分析：
如解答图所示：
结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；
结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；
结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．
解答：
解：（1）结论①正确．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM与△ABF中，
，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；
（2）结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；
（3）结论③正确．理由如下：
证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG与△NCG中，
，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
（4）结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
故选D．
点评：
本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．
8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．
1：4
B．
1：3
C．
2：3
D．
1：2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：
首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
解答：
解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴=，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（ ）
A．
5
B．
C．
D．
考点：
圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．
解答：
解：∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴=，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ=•PC=PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．
故选D．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．
10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）
A．
①②⑤
B．
②③④
C．
③④⑤
D．
①④⑤
考点：
切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．
解答：
解：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；
而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；
由OD不一定等于OC，选项③错误，
则正确的选项有①②⑤．
故选A
点评：
此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 4s ．（填出一个正确的即可）
考点：
圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题；开放型．
分析：
根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF是直角三角形．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
而∠ABC=60°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵F是弦BC的中点，
∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，
此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，
∴t==4（s）．
故答案为4s．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．
12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为 5 cm．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．
解答：
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6cm，
∴EC=9﹣6=3（cm），
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．[来源:Zxxk.Com]
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，
∴AG==2（cm），
∴AE=2AG=4cm；
∵EC∥AD，
∴====，
∴=，=，
解得：EF=2（cm），FC=3（cm），
∴EF+CF的长为5cm．
故答案为：5．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．4387773
专题：
压轴题．
分析：
延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：
解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴==2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故答案为：12．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．
考点：
相似三角形的应用．4387773
分析：
根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即=，
则=，
∴h=1.5m．
故答案为：1.5米．
点评：
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．
考点：
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
解答：
解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=∠MNC，
又∵∠B=∠C
∴△ABM∽△MCN，则，即，
解得CN==x（1﹣x），
∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，
∵﹣＜0，
∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．
故答案是：，．
点评：
本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．
16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是 ②③④ （写出所有正确结论的序号）．
考点：
切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．
解答：
解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：
∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，选项②正确；
∵直径AB⊥CE，
∴A为的中点，即=，
又C为的中点，∴=，
∴=，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，[来源:学*科*网]
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：
∵=，
∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴=，即AC2=CQ•CB，
∵=，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴=，即AC2=AP•AD，
∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，
则正确的选项序号有②③④．
故答案为：②③④
点评：
此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1 条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 或或 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
考点：
相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．
解答：
解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；
故答案为：1；
（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．
如图2所示，共有4条相似线：
①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；
②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；
③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；
④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．
故答案为：或或．
点评：
本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．
18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；
②点F是GE的中点；
③AF=AB；
④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ①③ ．
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．4387773
专题：
压轴题．
分析：
首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．
解答：
解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∵BA=BC，
∴，
故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=AB=CB，
∵tan∠BCD==，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，
∵=，
∴FG=FB，
∵GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
故③正确；
∵BD=AB，AF=AC，
∴S△ABC=6S△BDF，
故④错误．
故答案为：①③．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）
考点：
相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题；规律型．
分析：
由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
解答：
解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，
S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，
S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，
S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，
S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，
即Sn：=，
∴Sn=．
故答案为：．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4387773
专题：
规律型．
分析：
求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长．
解答：
解：∵∠A=∠B=45°，
∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，
∴第一个内接正方形的边长=AB=1；
同理可得：
第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；
第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；
故可推出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长=AB=．
故答案为：．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．
三．解答题（共8小题）
21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵=，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，[来源:学科网ZXXK]
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠EP′P，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴=，
即=，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键．
22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
考点：
切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773[来源:Z§xx§k.Com]
分析：
（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；
（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．
解答：
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴=．
∴=，
解得AC=8．即AC的长度为8．
点评：
本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．
23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．
解答：
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵△ADC∽△BAC（已证），
∴=，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD==2，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2，
在Rt△AFD中，AF==2．
点评：
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
考点：
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4，则CD=7，易证得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
解答：
（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；
（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD===5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE===3，
在Rt△AED中，DE===4，
∴CD=CE+DE=3+4=7，
∵AB∥PD，
∴∠PDA=∠DAB=45°，
∴∠APD=∠PCD，
而∠DPA=∠CPD，
∴△PDA∽△PCD，
∴===，
∴PA=PD，PC=PD，
而PC=PA+AC，
∴PD+6=PD，
∴PD=．
点评：
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．
25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．
解答：
（1）证明：如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；
（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B==，
∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH==，
∴EH=AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．
点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．
26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
考点：
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；
（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．
解答：
（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），来源：www.bcjy123.com/tiku/
∴∠BCA=∠BAD．
（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴=，即=，
解得：DE=．
（3）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．
点评：
本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．
27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10
（1）求⊙O的半径．
（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）求弦EC的长．
考点：
切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
分析：
（1）连接OA，交EC于F，根据切线性质得出∠OAB=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA⊥EC，根据平行线判定推出即可；
（3）证△OFC∽△OAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可．
解答：
（1）解：连接AO，交EC于F，
∵AB切⊙O于A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA===6，
答：⊙O的半径是6．
（2）直线EC与AB的位置关系是EC∥AB．
证明：∵AE=AC，
∴弧AE=弧AC，
∵OA过O，
∴OA⊥EC，
∵OA⊥AB，
∴EC∥AB．
（3）解：∵EC∥AB，
∴△OFC∽△OAB，
∴=，
∴=，
∴FC=，
∵OA⊥EC，OA过O，
∴EC=2FC=．
点评：
本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；
（2）（i）过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解；
（ii）判断出DQ的中点的路径为△BDQ的中位线MN．求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长．
解答：
（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，
∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB=CE，
∴AC=AB+BC=AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴=，
即=，
∴QF=BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°，
∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°，
∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴=，
即=，
∴5AP﹣AP2+AP•BF=3•BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，=，
∴=；
（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF=AP．
当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=．
∴BF=QF×=4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ===．
∴MN=BQ=．
∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件∠1=∠E是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．
来源：www.bcjy123.com/tiku/
一．选择题（共10小题）
1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．
B．
C．
D．
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．
1：4
B．
1：3
C．
2：3
D．
1：2
9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（ ）
A．
5
B．
C．
D．
10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）
A．
①②⑤
B．
②③④
C．
③④⑤
D．
①④⑤
二．填空题（共10小题）
11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 _________ ．（填出一个正确的即可）
12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为 _________ cm．
13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= _________ ．
14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 _________ ．
15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= _________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 _________ cm2．
16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是 _________ （写出所有正确结论的序号）．
17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 _________ 条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= _________ 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；
②点F是GE的中点；
③AF=AB；
④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 _________ ．
19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= _________ ．（用含n的式子表示）
20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10
（1）求⊙O的半径．
（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）求弦EC的长．
28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
参考答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773
分析：
判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
解答：
解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选D．
点评：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．
2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ ）
A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：
由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE=AF：CD，
∵AE=2ED，CD=3cm，
∴AF=2CD=6cm．
故选B．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．
解答：
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴=，=，=，=，
∵AB=AC，
∴CD=CE，
解得：CD=CE=，DE=，EF=．
故选C．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．
4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．4387773
专题：
压轴题．
分析：
求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；
解答：
解：设正方形的ABCD的边长为a，
则BF=BC=，AN=NM=MC=a，
∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，
∴小鸟在花圃上的概率为=
故选C．
点评：
本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．
5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．4387773
分析：
根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．
解答：
解：设AE=x，则AC=x+4，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），
∴∠CAD=∠CDB，
∴△ACD∽△DCE，
∴=，即=，
解得：x=5．
故选B．
点评：
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．
6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴DE：AB=2：5，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故选B．
点评：
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．4387773
专题：
压轴题．
分析：
如解答图所示：
结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；
结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；
结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．
解答：
解：（1）结论①正确．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM与△ABF中，
，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；
（2）结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；
（3）结论③正确．理由如下：
证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．
在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，
∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG与△NCG中，
，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
（4）结论④正确．理由如下：
证法一：∵A、D、C、G四点共圆，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，
∴GD平分∠AGC．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．
故选D．
点评：
本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．
8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．
1：4
B．
1：3
C．
2：3
D．
1：2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773
分析：
首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．
解答：
解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴=，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（ ）
A．
5
B．
C．
D．
考点：
圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．
解答：
解：∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴=，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴=，
∴CQ=•PC=PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．
故选D．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．
10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）
A．
①②⑤
B．
②③④
C．
③④⑤
D．
①④⑤
考点：
切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．
解答：
解：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；
而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；
由OD不一定等于OC，选项③错误，
则正确的选项有①②⑤．
故选A
点评：
此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 4s ．（填出一个正确的即可）
考点：
圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题；开放型．
分析：
根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF是直角三角形．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
而∠ABC=60°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵F是弦BC的中点，
∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，
此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，
∴t==4（s）．
故答案为4s．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．
12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为 5 cm．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．
解答：
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6cm，
∴EC=9﹣6=3（cm），
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．[来源:Zxxk.Com]
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，
∴AG==2（cm），
∴AE=2AG=4cm；
∵EC∥AD，
∴====，
∴=，=，
解得：EF=2（cm），FC=3（cm），
∴EF+CF的长为5cm．
故答案为：5．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．4387773
专题：
压轴题．
分析：
延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：
解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴==2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故答案为：12．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．
考点：
相似三角形的应用．4387773
分析：
根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即=，
则=，
∴h=1.5m．
故答案为：1.5米．
点评：
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．
考点：
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
解答：
解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=∠MNC，
又∵∠B=∠C
∴△ABM∽△MCN，则，即，
解得CN==x（1﹣x），
∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，
∵﹣＜0，
∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．
故答案是：，．
点评：
本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．
16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是 ②③④ （写出所有正确结论的序号）．
考点：
切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
计算题；压轴题．
分析：
连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．
解答：
解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：
∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，选项②正确；
∵直径AB⊥CE，
∴A为的中点，即=，
又C为的中点，∴=，
∴=，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，[来源:学*科*网]
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：
∵=，
∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴=，即AC2=CQ•CB，
∵=，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴=，即AC2=AP•AD，
∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，
则正确的选项序号有②③④．
故答案为：②③④
点评：
此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1 条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 或或 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．
考点：
相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．
解答：
解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；
故答案为：1；
（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．
如图2所示，共有4条相似线：
①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；
②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；
③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；
④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．
故答案为：或或．
点评：
本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．
18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：
①；
②点F是GE的中点；
③AF=AB；
④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ①③ ．
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．4387773
专题：
压轴题．
分析：
首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．
解答：
解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∵BA=BC，
∴，
故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=AB=CB，
∵tan∠BCD==，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，
∵=，
∴FG=FB，
∵GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
故③正确；
∵BD=AB，AF=AC，
∴S△ABC=6S△BDF，
故④错误．
故答案为：①③．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）
考点：
相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题；规律型．
分析：
由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
解答：
解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，
S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，
S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，
S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，
S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，
即Sn：=，
∴Sn=．
故答案为：．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4387773
专题：
规律型．
分析：
求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长．
解答：
解：∵∠A=∠B=45°，
∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，
∴第一个内接正方形的边长=AB=1；
同理可得：
第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；
第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；
故可推出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长=AB=．
故答案为：．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．
三．解答题（共8小题）
21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵=，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，[来源:学科网ZXXK]
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠EP′P，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴=，
即=，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键．
22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．
考点：
切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773[来源:Z§xx§k.Com]
分析：
（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；
（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．
解答：
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴=．
∴=，
解得AC=8．即AC的长度为8．
点评：
本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．
23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．
解答：
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵△ADC∽△BAC（已证），
∴=，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD==2，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2，
在Rt△AFD中，AF==2．
点评：
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
考点：
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4，则CD=7，易证得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
解答：
（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；
（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD===5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE===3，
在Rt△AED中，DE===4，
∴CD=CE+DE=3+4=7，
∵AB∥PD，
∴∠PDA=∠DAB=45°，
∴∠APD=∠PCD，
而∠DPA=∠CPD，
∴△PDA∽△PCD，
∴===，
∴PA=PD，PC=PD，
而PC=PA+AC，
∴PD+6=PD，
∴PD=．
点评：
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．
25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．
解答：
（1）证明：如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；
（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B==，
∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH==，
∴EH=AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．
点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．
26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
考点：
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．4387773
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；
（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．
解答：
（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），来源：www.bcjy123.com/tiku/
∴∠BCA=∠BAD．
（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴=，即=，
解得：DE=．
（3）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．
点评：
本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．
27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10
（1）求⊙O的半径．
（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）求弦EC的长．
考点：
切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773
分析：
（1）连接OA，交EC于F，根据切线性质得出∠OAB=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA⊥EC，根据平行线判定推出即可；
（3）证△OFC∽△OAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可．
解答：
（1）解：连接AO，交EC于F，
∵AB切⊙O于A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA===6，
答：⊙O的半径是6．
（2）直线EC与AB的位置关系是EC∥AB．
证明：∵AE=AC，
∴弧AE=弧AC，
∵OA过O，
∴OA⊥EC，
∵OA⊥AB，
∴EC∥AB．
（3）解：∵EC∥AB，
∴△OFC∽△OAB，
∴=，
∴=，
∴FC=，
∵OA⊥EC，OA过O，
∴EC=2FC=．
点评：
本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；
（2）（i）过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解；
（ii）判断出DQ的中点的路径为△BDQ的中位线MN．求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长．
解答：
（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，
∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB=CE，
∴AC=AB+BC=AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴=，
即=，
∴QF=BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°，
∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°，
∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴=，
即=，
∴5AP﹣AP2+AP•BF=3•BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，=，
∴=；
（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF=AP．
当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=．
∴BF=QF×=4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ===．
∴MN=BQ=．
∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件∠1=∠E是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．
来源：www.bcjy123.com/tiku/
相关资料
更多
