【精品导学案】人教版 九年级上册数学21.3实际问题与一元二次方程（1）导学案（含答案）

学习目标：

1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．

2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．

3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．

重点

利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．

难点

如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．

教学过程：

一、引入新课

列方程解应用题的基本步骤有哪些？

①审题，②设出未知数. ③找等量关系.   ④列方程，    ⑤解方程，   ⑥答.

二、教学活动

活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有x+1人患流感．第二轮传染后共有1＋x＋x(1＋x)人患流感．

(2)本题中有哪些数量关系？

第二轮被传染上了流感的人数：x(1＋x)=121.

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：

1＋x＋x(1＋x)＝121

解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)

因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．

变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

解：按这样的传播速度，三轮传染后有121+121×10=1331人患了流感.

巩固练习.

1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

解:设每个支干长出x个小分支,

则1+x+x.x=91即，  解得 (不合题意,舍去)

答:每个支干长出9个小分支.

2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可得：

x（x-1）=90，解得x=10或-9（舍去）．故应邀请10个球队参加比赛．

活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？

(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了5000x元，此时成本为5000(1-x)元；两年后，甲种药品下降了_5000x+5000(1-x)x元，此时成本为5000(1-x)2元．

(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；

二月(或二年)后产量为a(1±x)2；

n月(或n年)后产量为a(1±x)n；

如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.

(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：5000(1-x)2=3600.

解方程,得

（不合题意舍去）

答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.

算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率

(22.5%,相同)

思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?

（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）

小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)

巩固练习

（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为．

(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

解：设平均增长率为x，则，整理，得：，解得：（不合题意舍去），

答：所求的增长率为50%．

三、课堂小结

课堂小结

1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．

2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．

3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．

4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．

四、作业布置

教材第21－22页   习题21.3第2－7题．