2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题 专题三 函数概念与性质
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2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题
专题三 函数概念与性质
1.下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
2.已知，则( )
A.36 B.16 C.4 D.-16
3.学校宿舍与办公室相距，某同学有重要材料要给老师.从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
4.在函数①，② ，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（ ）
A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥
5.从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第k + 1次时共倒出纯酒精L，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
6.新定义运算，若，则=（ ）
A. B. C. D.
7.函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的值域为，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
9.设偶函数满足，则( )
A. B.
C. D.
10.若幂函数的图象经过点，则的定义域为( )
A.R B.
C. D.
11.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，若该商品每个每涨1元，则其销售量就减少20个，为获得最大利润，每个商品的售价应定为( )
A.94元 B.93元 C.96元 D.95元
12.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则=（ ）
A.-50 B.0 C.2 D.50
13.已知区间，则的取值范围为__________.
14.函数的定义域是，则函数的定义域是_________.
15.若函数在上是奇函数，则的解析式为 .
16.已知幂函数 ()为偶函数，且在区间上单调递增，则函数的解析式为 ___________.
17.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，那么单价为800元，如果购买2000吨，那么单价为700元，则客户购买400吨时，单价应该为__________元.
18.已知函数.
(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
19.某商店经营的某种消费品的进价为每件14元，月销售量Q(百件)与每件的销售价格p(元)的关系如图所示，每月各种开支2000元；
(1) 写出月销售量Q(百件)关于每件的销售价格p(元)的函数关系式；
(2)写出月利润y(元)与每件的销售价格p(元)的函数关系式.
(3) 当该消费品每件的销售价格为多少元时，月利润最大?并求出最大月利润.
20.已知函数的定义域是，对定义域内的任意，都有，且当时，，.
(1)证明：是偶函数；
(2)证明：在上单调递增；
(3)解不等式.
答案以及解析
1.答案：B
解析：A中，的定义域为，而的定义域为，∴不是同一函数；
B中，，定义域为，与的定义域及对应关系均相同，是同一函数；
C中，的定义域为，而的定义域为，∴不是同一函数；
D中，的定义域为 ，而的定义域为，不是同一函数，故选B.
2.答案：B
解析：令，解得.∴.
3.答案：A
解析：由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增；停留2分钟，路程不发生变化；在匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A选项符合.
4.答案：C
解析：
幂函数是形如(为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥是幂函数；③是一次函数，不是幂函数；④是常函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，不是幂函数.所以只有①②⑥是幂函数.
5.答案：A
解析：
∵倒第k次时共倒出纯酒精x L， ∴第k次后容器中含纯酒精，
第次倒出的纯酒精是，∴.
6.答案：D
解析：由题意知，且，∴，∴，∴
7.答案：C
解析：因为函数在R上为增函数，且，所以，解得.故选C.
8.答案：B
解析：设，则.∵，∴.则.∵图象的对称轴为直线，∴当时，取得最大值1，当时，取得最小值，∴函数的值域是，故选B.
9.答案：B
解析：∵，
∴令，得.
又为偶函数且，
∴，∴，解得或.
10.答案：D
解析：设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，即，其定义域为，故选D.
11.答案：D
解析：设每个商品的售价定为元，则卖出商品后获得的利润，∴当时，y取得最大值，即每个商品的售价应定为(元).故选D.
12.答案：C
解析：因为，所以函数的图象关于直线对称.又是奇函数，所以函数的图象关于坐标原点成中心对称.由数形结合，可知函数是以4为周期的周期函数.因为是上的奇函数，所以.又，所以当 时，；当时，；当时， .综上，可得. 故选C.
13.答案：
解析：由题意，得 ，所以.
14.答案：
解析：由的定义域为，可知，得，即所求定义域为.
15.答案：
解析：在上是奇函数，.又，即，
16.答案：
解析：
因为幂函数 ()为偶函 数，所以为偶数.又在区间上单调递增，
所以，所以. 又， 为偶数，所以，所以.
17.答案：860
解析：∵该种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，
∴可设.
由题意可得，
解得，
∴.
当时，有，解得.
18.答案：(1) 函数的定义域为，关于原点对称.
当时，，对定义域内的任意x，都有，
所以当时，函数是偶函数.
当时， ，.
因为，且，
所以既不是奇函数，也不是偶函数.
(2)任取，则
因为，在上单调递增，
所以恒成立，即恒成立.
又，
所以，所以.
故实数a的取值范围为.
19.答案：(1) 由题意，得
(2)当时，
即
当时，
即
所以
(3)由(2)中的解析式和二次函数的知识，可得
当时，则时，y取到最大值，为4050；
当时，则时，y取到最大值，为.
又
所以当该消费品每件的销售价格为元时，月利润最大，为4050元.
20.答案：(1)令，得.
令，得，
，
又的定义域关于原点对称，
是偶函数.
(2)任取，且，
则.
又当时，
即，即，
在上单调递增.
(3) .
又是偶函数，
不等式可化为.
又函数在上单调递增，
，且，
解得，且.
即原不等式的解集为.
