初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系优秀学案及答案，共6页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；


2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.





【要点梳理】


要点一、切线的判定定理和性质定理


1．切线的判定定理：


经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.


要点诠释：


切线的判定方法：


（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；


（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；


（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.


2．切线的性质定理：


圆的切线垂直于过切点的半径.


要点诠释：


切线的性质：


（1）切线和圆只有一个公共点；


（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；


（3）切线垂直于过切点的半径；


（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；


（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.





要点二、切线长定理


1．切线长：


经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.


要点诠释：


切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.


2．切线长定理：


从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.


要点诠释：


切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.


3．圆外切四边形的性质：


圆外切四边形的两组对边之和相等.


要点三、三角形的内切圆


1．三角形的内切圆：


与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.


2．三角形的内心：


三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.


要点诠释：


(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；


(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).


(3) 三角形的外心与内心的区别：





【典型例题】


类型一、切线长定理


1. 如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O的切线.





【答案与解析】


如图，连结OD、，则．


∴．


∵ ，∴．


∴是的中点．


∵是的中点，


∴．


∵于F．


∴．


∴是⊙O的切线．


【总结升华】连半径，证垂直.





举一反三：


【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．


求证：BC和⊙O相切．





【答案】


作OE⊥BC，垂足为E，


∵ AB∥DC，∠B=90°，


∴ OE∥AB∥DC，


∵ OA=OD，


∴ EB=EC，





∴ BC是⊙O的切线．





2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，


求证：DC是⊙O的切线．





【答案与解析】


连接OD．





∵ OA=OD，∴∠1=∠2．


∵ AD∥OC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4．


因此 ∠3=∠4．


又∵ OB=OD，OC=OC，∴ △OBC≌△ODC．


∴∠OBC=∠ODC．


∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，


∴∠ODC=90°， ∴ DC是⊙O的切线．


【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．


举一反三：


356967 练习题精讲


【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，


设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；


⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．


M


A


N


E


D


O


图（1）


．


M


A


N


E


D


B


C


O


图（2）


























【答案】


（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；


在△AOB中，∠A=30°，


则AO=2OB=4，


所以AD=AO-OD，


即AD=2．x=AD=2.





（2）过O点作OG⊥AM于G


∵OB=OC=2，∠BOC=90°，


∴BC=，∵OG⊥BC，∴BG=CG=，


∴OG=，∵∠A=30°


∴OA=，


∴x=AD=－2





类型二、三角形的内切圆


3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．


（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；


（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；


（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．





【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，


∴AD、AB、CD为⊙O的切线，


∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，


即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，


∵AB∥CD，


∴∠ADC+∠BAC=180°，


∴∠ODA+∠OAD=90°，


∴∠AOD=90°；


（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，


∴AD==10（cm），


∵AD切⊙O于E，


∴OE⊥AD，


∴OE•AD=OD•OA，


∴OE==（cm）；


（Ⅲ）∵F是AD的中点，


∴FO=AD=×10=5（cm）．


【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．


类型三、与相切有关的计算与证明


356967 经典例题4


4.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．


（1）求证：EF是⊙O的切线；


（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．








【答案与解析】


证明：（1）如图1，连接FO，


∵F为BC的中点，AO=CO，


∴OF∥AB，


∵AC是⊙O的直径，


∴CE⊥AE，


∵OF∥AB，


∴OF⊥CE，


∴OF所在直线垂直平分CE，


∴FC=FE，OE=OC，


∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，


∵∠ACB=90°，


即：∠0CE+∠FCE=90°，


∴∠0EC+∠FEC=90°，


即：∠FEO=90°，


∴FE为⊙O的切线；


（2）如图2，∵⊙O的半径为3，


∴AO=CO=EO=3，


∵∠EAC=60°，OA=OE，


∴∠EOA=60°，


∴∠COD=∠EOA=60°，


∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，


∴CD=，


∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，


CD=，AC=6，


∴AD=．


【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．




















名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分


∠BAC、∠ABC、∠ACB；


(3)内心在三角形内部.